3 сосуда как перелить
Предмет математики настолько
серьезен, что нельзя упускать случая,
сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его
применять.
Рене Декарт
Математика – самый короткий путь к
самостоятельному мышлению.
В. Каверин
Введение
В этой работе приведены материалы одного
занятия математического кружка, проводимого для
учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г.
Москвы.
Цель проведения кружка: создание
условий для развития творческой, познавательной
активности учащихся при изучении математики,
развитие и сохранение устойчивого и
долговременного интереса к предмету.
Задачи:
- развивать познавательные интересы ребенка
(восприятие, мышление, внимание, воображение,
память и др.); - формировать у учащихся устойчивый интерес к
предмету и познавательную активность; - формировать навыки самостоятельной работы и
потребности в исследовательской деятельности; - развивать коммуникативные качества учащихся.
Увлечение математикой часто начинается с
размышлений над какой-то новой, интересной,
нестандартной задачей. Она может встретиться и
на школьном уроке, и на занятии математического
кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от
друга или от родителей. Задачи на логику
развивают сообразительность, интеллект и
упорство в достижении цели. Очень часто одна
решенная логическая задача пробуждает у
ребенка устойчивый и долговременный интерес к
изучению математики, желание искать и решать
новые логические, нестандартные задачи и задачи
повышенной трудности. А это, во многом, и есть
главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития
умственных способностей.
Задачи на переливания
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку,
набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л
краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний
необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и
пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую
кастрюлю.
Решения задач
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
Решение.
Отразим результаты каждого шага переливания в
таблице.
| Банка 2 л | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и наполнить 5-литровую | 1 |
| Банка 5 л | 2 | 4 | 5 | 5 |
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
Решение.
| Фляга 4 л | 2 | 2 | 2 | 4 |
| Фляга 5 л | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 |
| Банка 3 л | 3 | 3 |
3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую
банку, набрать из реки ровно три литра воды?
Решение.
Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л
в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается
4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и
наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В
9-литровое набираем воду из реки, выливаем
оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху.
Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем
воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В
9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не
нужна, то ее можно вылить.
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых трехлитровой банки и
пятилитрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду не землю нельзя).
Решение.
| Ведро, 8л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
| Бидон, 5 л | 5 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | ||
| Банка, 3 л | 3 | 2 | 2 | 3 |
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
Решение.
| Бидон 17 л | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 17 | 3 | 3 | 8 | 8 | 13 |
| Бидон 5 л | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 | 5 | 5 |
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12
л краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число
переливаний необходимо при этом сделать?
Решение.
| Сосуд 12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
| Сосуд 5 л | 5 | 3 | 3 | 5 | ||||
| Сосуд 8 л | 8 | 3 | 3 | 8 | 6 | 6 |
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые четырехлитровая и
пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в
каждую кастрюлю.
Решение.
| № шага | Фляга 10 л | Фляга 10 л | Кастрюля 5 л | Кастрюля 4 л |
1 | 10 | 10 | ||
2 | 10 | 5 | 5 | |
3 | 10 | 5 | 1 | 4 |
4 | 10 | 9 | 1 | |
5 | 10 | 4 | 5 | 1 |
6 | 10 | 4 | 2 | 4 |
7 | 10 | 8 | 2 | |
8 | 10 | 8 | 2 | |
9 | 10 | 3 | 5 | 2 |
10 | 10 | 3 | 3 | 4 |
11 | 10 | 7 | 3 | |
12 | 6 | 7 | 3 | 4 |
13 | 6 | 7 | 5 | 2 |
14 | 6 | 10 | 2 | 2 |
Дополнительные задачи и задачи для
самостоятельного решения
1. Для разведения картофельного пюре быстрого
приготовления “Зеленый великан” требуется 1
л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров,
налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея
банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот
порциями по 300 г?
3. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
4. Взгляни на берег – там ты увидишь две
банки. В одну из них помещается ровно два литра
воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую
банку точно один литр? Укажи два способа.
5. В два достаточно больших бидона как-то
разлили 3 л воды. Из первого переливают
половину имеющейся в нем воды во второй, затем из
второго переливают половину имеющейся в
нем воды в первый, затем из первого
переливают половину имеющейся в нем воды во
второй и т.д. Докажите, что независимо от того,
сколько воды было сначала в каждом из сосудов,
после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с
точностью до миллилитра.
6. Две группы альпинистов готовятся к
восхождению. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином.
В альплагере имеется 10-литровая канистра
бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров.
Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в
каждом?
7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и
решил разделить его пополам, чтобы съесть
половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре,
которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые
банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он
разделить мед так, как задумал?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась
морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно,
сколько гномов решатся отправиться в далекое
путешествие в гости, однако знает, что их будет не
более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12
чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9
чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого
количества гостей, если угощать каждого одной
чашкой напитка?
9. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в
семилитровый бидон, используя при этом ещё один
бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и
имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое
вместимостью 16 л?
12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В
большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с
помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7
л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом
маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний
получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Источник
Предмет математики настолько
серьезен, что нельзя упускать случая,
сделать его немного занимательным.
Блез Паскаль
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его
применять.
Рене Декарт
Математика – самый короткий путь к
самостоятельному мышлению.
В. Каверин
Введение
В этой работе приведены материалы одного
занятия математического кружка, проводимого для
учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г.
Москвы.
Цель проведения кружка: создание
условий для развития творческой, познавательной
активности учащихся при изучении математики,
развитие и сохранение устойчивого и
долговременного интереса к предмету.
Задачи:
- развивать познавательные интересы ребенка
(восприятие, мышление, внимание, воображение,
память и др.); - формировать у учащихся устойчивый интерес к
предмету и познавательную активность; - формировать навыки самостоятельной работы и
потребности в исследовательской деятельности; - развивать коммуникативные качества учащихся.
Увлечение математикой часто начинается с
размышлений над какой-то новой, интересной,
нестандартной задачей. Она может встретиться и
на школьном уроке, и на занятии математического
кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от
друга или от родителей. Задачи на логику
развивают сообразительность, интеллект и
упорство в достижении цели. Очень часто одна
решенная логическая задача пробуждает у
ребенка устойчивый и долговременный интерес к
изучению математики, желание искать и решать
новые логические, нестандартные задачи и задачи
повышенной трудности. А это, во многом, и есть
главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития
умственных способностей.
Задачи на переливания
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку,
набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л
краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний
необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и
пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую
кастрюлю.
Решения задач
1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы, в одной из них оказался
ровно один литр воды?
Решение.
Отразим результаты каждого шага переливания в
таблице.
| Банка 2 л | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и вылить их в 5-литровую | Набрать 2 л и наполнить 5-литровую | 1 |
| Банка 5 л | 2 | 4 | 5 | 5 |
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
Решение.
| Фляга 4 л | 2 | 2 | 2 | 4 |
| Фляга 5 л | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 | Набираем 5 л и 3 л выливаем | 2 |
| Банка 3 л | 3 | 3 |
3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую
банку, набрать из реки ровно три литра воды?
Решение.
Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л
в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается
4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и
наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В
9-литровое набираем воду из реки, выливаем
оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху.
Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем
воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В
9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не
нужна, то ее можно вылить.
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых трехлитровой банки и
пятилитрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду не землю нельзя).
Решение.
| Ведро, 8л | 8 | 3 | 3 | 6 | 6 | 1 | 1 | 4 |
| Бидон, 5 л | 5 | 2 | 2 | 5 | 4 | 4 | ||
| Банка, 3 л | 3 | 2 | 2 | 3 |
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
Решение.
| Бидон 17 л | 5 | 5 | 10 | 10 | 15 | 15 | 17 | 3 | 3 | 8 | 8 | 13 |
| Бидон 5 л | 5 | 5 | 5 | 5 | 3 | 3 | 5 | 5 |
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12
л краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число
переливаний необходимо при этом сделать?
Решение.
| Сосуд 12 л | 12 | 4 | 4 | 9 | 9 | 1 | 1 | 6 |
| Сосуд 5 л | 5 | 3 | 3 | 5 | ||||
| Сосуд 8 л | 8 | 3 | 3 | 8 | 6 | 6 |
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые четырехлитровая и
пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в
каждую кастрюлю.
Решение.
| № шага | Фляга 10 л | Фляга 10 л | Кастрюля 5 л | Кастрюля 4 л |
1 | 10 | 10 | ||
2 | 10 | 5 | 5 | |
3 | 10 | 5 | 1 | 4 |
4 | 10 | 9 | 1 | |
5 | 10 | 4 | 5 | 1 |
6 | 10 | 4 | 2 | 4 |
7 | 10 | 8 | 2 | |
8 | 10 | 8 | 2 | |
9 | 10 | 3 | 5 | 2 |
10 | 10 | 3 | 3 | 4 |
11 | 10 | 7 | 3 | |
12 | 6 | 7 | 3 | 4 |
13 | 6 | 7 | 5 | 2 |
14 | 6 | 10 | 2 | 2 |
Дополнительные задачи и задачи для
самостоятельного решения
1. Для разведения картофельного пюре быстрого
приготовления “Зеленый великан” требуется 1
л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров,
налить 1 литр воды из водопроводного крана?
2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея
банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот
порциями по 300 г?
3. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
4. Взгляни на берег – там ты увидишь две
банки. В одну из них помещается ровно два литра
воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую
банку точно один литр? Укажи два способа.
5. В два достаточно больших бидона как-то
разлили 3 л воды. Из первого переливают
половину имеющейся в нем воды во второй, затем из
второго переливают половину имеющейся в
нем воды в первый, затем из первого
переливают половину имеющейся в нем воды во
второй и т.д. Докажите, что независимо от того,
сколько воды было сначала в каждом из сосудов,
после 100 переливаний в них будет 2 л и 1 л с
точностью до миллилитра.
6. Две группы альпинистов готовятся к
восхождению. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином.
В альплагере имеется 10-литровая канистра
бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров.
Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в
каждом?
7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и
решил разделить его пополам, чтобы съесть
половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре,
которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые
банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он
разделить мед так, как задумал?
8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась
морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно,
сколько гномов решатся отправиться в далекое
путешествие в гости, однако знает, что их будет не
более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12
чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9
чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого
количества гостей, если угощать каждого одной
чашкой напитка?
9. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?
10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в
семилитровый бидон, используя при этом ещё один
бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?
11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и
имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое
вместимостью 16 л?
12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В
большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с
помощью этих бидонов разделить молоко пополам?
13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7
л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом
маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний
получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Источник