Быстро откачивают воздух из сосуда

2017-10-13   
Сжиженные газы хранят в сосудах Дьюара, которые представляют собой стеклянные или металлические колбы с двойными стенками (рис. 1). Из пространства между стенками откачан воздух, что приводит к уменьшению их теплопроводности. Так как весь воздух выкачать невозможно, то оставшиеся молекулы будут переносить теплоту от окружающей среды к содержимому сосуда Дьюара. Эта остаточная теплопроводность стенок приводит к тому, что находящийся в сосуде сжиженный газ непрерывно испаряется. При заполнении сосуда Дьюара жидким азотом, температура кипения которого при нормальном атмосферном давлении равна 77,3 К, оказалось, что за единицу времени испарилась масса $M_{1}$ азота. Какая масса газа испарится из этого же сосуда за единицу времени, если его заполнить жидким водородом, температура кипения которого равна 20,4 К? Температура окружающей среды в обоих случаях равна 300 К.

Решение:

Перенос теплоты происходит при таких отклонениях от состояния термодинамического равновесия, когда различные части системы имеют разную температуру. При обычных условиях механизм теплопроводности газа заключается в следующем: молекулы из более «горячей» области в результате хаотического движения перемещаются по всем направлениям и, сталкиваясь с молекулами из более «холодных» областей, передают им часть своей энергии. Каждая молекула может перенести «избыток» тепловой энергии на расстояние порядка средней длины свободного пробега $lambda$. Поэтому полный поток теплоты от участка с более высокой температурой к участку с более низкой температурой пропорционален концентрации молекул $n$ и их средней длине свободного пробега.

Каждая из величин $n$ и $lambda$ зависит от давления, при котором находится газ. Но их произведение не зависит от давления. В самом деле, вспомните задачу 6 о торможении спутника в верхних слоях атмосферы, где обсуждалось, от чего зависит средняя длина свободного пробега молекул. Там было получено соотношение

$n lambda sigma approx 1$. (1)

Величина $sigma = pi d^{2}$ ($d$ — диаметр молекулы) от давления не зависит. Поэтому не зависит от давления и произведение $n lambda$, хотя концентрация молекул $n$ пропорциональна давлению.

Таким образом, при обычных условиях теплопроводность газа не зависит от Давления, ибо все остальные величины, входящие в выражение для потока теплоты (разность температур, площадь стенок и расстояние между ними), также не зависят от давления.

Так зачем же в сосудах Дьюара откачивают воздух из пространства между стенками? Все дело в том, что при очень низком давлении газа, когда длина свободного пробега молекул оказывается больше расстояния между стенками, механизм теплопроводности становится другим! молекулы газа свободно пролетают от одной стенки до другой, не сталкиваясь друг с другом, и переносят «избыток» энергии непосредственно от стенки к стенке. Теперь теплопроводность не зависит от длины свободного пробега молекул — важно лишь, чтобы она превышала расстояние $l$ между двойными стенками сосуда. Так как поток теплоты, разумеется, и в этом случае пропорционален концентрации молекул, то чем ниже давление оставшегося между стенками воздуха, тем меньше будет его теплопроводность.

Для того чтобы оценить поток теплоты от наружной стенки сосуда Дьюара к холодной внутренней стенке, будем считать, что каждая молекула воздуха, покидая стенку сосуда, имеет энергию, соответствующую температуре этой стенки. Сталкиваясь с другой стенкой, молекула целиком передает ей свою энергию. Другими словами, мы считаем, что взаимодействие молекул со стенкой носит характер неупругого удара. Если бы удар молекул о стенку был абсолютно упругим, то молекулы газа вообще не переносили бы тепла.

Будем считать, что наружная стенка сосуда имеет температуру $T_{0}$, равную температуре окружающей среды. Находящийся в сосуде Дьюара сжиженный газ все время понемногу выкипает, поэтому, несмотря на непрерывный подвод теплоты, его температура остается неизменной. Горлышко сосуда Дьюара держится открытым, чтобы испарившийся газ мог свободно выходить в атмосферу — в противном случае сосуд непременно взорвется вследствие непрерывного роста давления. Таким образом, температура внутренней стенки равна температуре кипения $T_{1}$ сжиженного газа при атмосферном давлении.

Поток энергии, переносимый молекулами воздуха от горячей стенки к холодной, пропорционален энергии улетающей молекулы (т. е. температуре горячей стенки $T_{0}$) н числу молекул $z$, покидающих горячую стенку за единицу времени. Сколько же молекул покидают горячую стенку? Очевидно, столько же, сколько прилетает к ней от холодной стенки. Число таких молекул пропорционально концентрации молекул, имеющих температуру холодной стенки $T_{1}m$ и их средней скорости $langle v_{1} rangle$:

$z sim n_{1} langle v_{1} rangle$. (2)

Поэтому поток энергии от горячей стенки к холодной пропорционален произведению $T_{0} z sim T_{0} n_{1} langle v_{1} rangle$. Аналогично, поток энергии, переносимый молекулами от холодной стенки к горячей, пропорционален произведению $T_{1}z sim T_{1} n_{1} langle v_{1} rangle$. Следовательно, поток теплоты $Q$ от горячей стенки к холодной, равный разности встречных потоков энергии, пропорционален разности температур, концентрации и средней скорости молекул:

$Q sim (T_{0} – T_{1}) n_{1} langle v_{1} rangle$. (3)

Какова же концентрация $n_{1}$ «холодных» молекул воздуха в пространстве между стенками? Если обозначить через $n_{0}$ концентрацию «горячих» молекул, т. е. тех, которые покинули наружную стенку, то сумма $n_{1} + n_{0}$ равна полной концентрации воздуха $n$ между стенками:

$n = n_{1} + n_{0}$. (4)

Как уже отмечалось, к горячей стенке прилетает в единицу времени столько же молекул, сколько и к холодной. Поэтому

$n_{1} langle v_{1} rangle = n_{0} langle v_{0} rangle$. (5)

Так как средняя скорость пропорциональна корню из термодинамической температуры, то из равенства (5) имеем

$n_{0} = n_{1} langle v_{1} rangle / langle v_{0} rangle = n_{1} sqrt{ T_{1} / T_{0}}$. (6)

Подставляя $n_{0}$ в соотношение (4), находим

$n_{1} = frac{n}{1 + sqrt{T_{1}/T_{0}}}$. (7)

Теперь выражение (3) для потока теплоты можно переписать в виде

$Q sim (T_{0} – T_{1}) frac{n sqrt{T_{1}}}{1 + sqrt{T_{1} / T_{0}}} = n sqrt{T_{0}T_{1}} ( sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}})$. (8)

За счет этого потока теплоты за единицу времени испаряется масса сжиженного газа $M_{1}$, равная отношению $Q$ к удельной теплоте парообразования $Lambda_{1}$:

$M_{1} sim frac{n}{ Lambda_{1}} sqrt{T_{0}T_{1}} ( sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}})$. (9)

Точно такое же выражение будет справедливо и в том случае, когда сосуд Дьюара заполнен другим сжиженным газом, у которого температура кипения равна $T_{2}$, а удельная теплота парообразования равна $Lambda_{2}$. Все опущенные в формуле (9) коэффициенты пропорциональности не зависят от того, какой именно газ находится в сосуде. Поэтому для отношения масс разных газов, испаряющихся за единицу времени из одного и того же сосуда Дьюара, получим

$frac{M_{2}}{M_{1}} = frac{ Lambda_{1}}{ Lambda_{2}} sqrt{ frac{T_{2}}{T_{1}}} frac{ sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{2}}}{ sqrt{T_{0}} – sqrt{T_{1}}}$. (10)

Подставляя сюда значения удельной теплоты парообразования водорода $lambda_{2} = 4,5 cdot 10^{5} Дж/кг$, азота $Lambda_{1} = 2,0 cdot 10^{5} Дж/кг$ и их температуры кипения $T_{2} = 20,4 К, T_{1}=77,3 К$, найдем $M_{2}/M_{1} approx 0,34$.

Получилось, что по массе водород выкипает из сосуда Дьюара медленнее азота, хотя температура кипения водорода ниже. Однако со скоростью выкипания по объему все обстоит иначе. Плотность жидкого водорода равна примерно $0,07 г/см^{3}$, азота $0,8 г/см^{3}$, поэтому для отношения объемов испарившихся водорода $V_{2}$ и азота $V_{1}$ получаем $V_{2}/V_{1} = 3,89$, т. е. водород выкипает приблизительно в 4 раза быстрее азота.

Из формулы (9) видно, что масса испаряющегося газа пропорциональна концентрации и оставшегося между стенками сосуда Дьюара воздуха. Поэтому теплоизоляция будет тем лучше, чем этого воздуха меньше. Обычно сосуды Дьюара откачивают до высокого вакуума ($10^{-3} – 10^{-5}$ мм рт. ст.). Это соответствует концентрации оставшегося воздуха $n = p/kT_{0} sim 10^{11} – 10^{13} см^{-3}$. При таких концентрациях длина свободного пробега будет составлять, как видно из соотношения (1), величину порядка $lambda approx 1/( n pi d^{2}) sim 10 – 10^{3} см$. Расстояние между двойными стенками I обычно равно нескольким миллиметрам. Поэтому при таком давлении оставшегося воздуха средняя длина свободного пробега значительно превышает расстояние между стенками и механизм теплопроводности именно такой, какой рассмотрен в задаче.

При давлении воздуха между стенками порядка $10^{-2}^ мм рт. ст. длина свободного пробега становится сравнимой с расстоянием между стенками. Поэтому откачка до такого или большего давления вообще лишена смысла, поскольку в таких условиях теплопроводность воздуха не зависит от давления.

Поверхности стенок сосуда, образующих вакуумное пространство, обычно покрываются тонким слоем серебра, чтобы уменьшить лучистый теплообмен между стенками. Поэтому в данной задаче мы не учитывали лучистую составляющую теплового потока.

Сосуды Дьюара используются и для хранения веществ при температуре более высокой, чем температура окружающей среды. Распространенные в быту термосы представляют собой стеклянные сосуды Дьюара, заключенные в металлическую или пластмассовую оболочку для защиты от повреждений.

2017-10-13   
Теплоизолированный сосуд с внутренним объемом $V$ откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру $Т_{0}$ и давление $p_{0}$. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру $T$ будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?

Решение:

Почему вообще при заполнении сосуда атмосферным воздухом должна измениться его температура? Чтобы разобраться в этом, нужно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при заполнении сосуда. При открывании крана какая-то порция воздуха «заталкивается» в сосуд атмосферным давлением. Это значит, что над вошедшим в сосуд воздухом силами атмосферного давления совершается некоторая работа. Благодаря этой работе врывающийся в сосуд воздух приобретает кинетическую энергию направленного макроскопического движения — воздух в сосуд входит струей. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд воздухом струя меняет направление, ослабевает и в конце концов исчезает совсем. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения воздуха в струе превращается во внутреннюю энергию, т. е. в энергию хаотического теплового движения его молекул.

Все это происходит настолько быстро, что теплообменом входящего в сосуд воздуха с воздухом в атмосфере можно пренебречь. Поэтому применительно к рассматриваемому процессу первый закон термодинамики имеет вид: работа $A$ сил атмосферного давления над вошедшим в сосуд воздухом равна изменению внутренней энергии этого воздуха $Delta U$:

$A = Delta U$. (1)

Как же подсчитать эту работу? Проще всего для этого поступить следующим образом. Представим себе, что наш откачанный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (рис. 1). Давление и температура воздуха внутри большого цилиндра такие же, как и в атмосфере. Так как при заполнении откачанного сосуда воздухом давление и температура воздуха в окружающей сосуд атмосфере остаются неизменными, то процессу заполнения сосуда на рис. 1 соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении $p_{0}$. При этом действующая слева на поршень сила совершает работу $p_{0}V_{0}$, где $V_{0}$ — уменьшение объема внутри цилиндра. Поскольку энергия не вошедшего в сосуд воздуха внутри цилиндра остается неизменной, то эта совершенная при перемещении поршня работа равна работе, совершаемой силами атмосферного давления при «заталкивании» воздуха в сосуд.

Обратите внимание на то, что приведенное здесь вычисление работы при перемещении воздуха отличается от вычисления, рассмотренного в задаче 4192. Объясняется это различие тем, что в предыдущей задаче нас интересовала работа, совершаемая над отдельной порцией движущегося газа, в то время как здесь мы находим суммарную работу внешних сил над всем вошедшим в сосуд воздухом.

Изменение внутренней энергии $Delta U$ того воздуха, который попал в сосуд, выражается только через изменение его температуры, если считать воздух идеальным газом:

$Delta U = nu C_{V}(T – T_{0})$, (2)

где $C_{V}$ — молярная теплоемкость воздуха. Количество пошедшего в сосуд воздуха $nu$ можно выразить с помощью уравнения состояния. Так как в откачанный сосуд вошло ровно столько воздуха, сколько вытеснил из цилиндра переместившийся поршень (рис. 1), то можно написать

$p_{0}V_{0} = nu RT_{0}$. (3)

Теперь выражение (2) для изменения внутренней энергии $Delta U$ переписывается в виде

$Delta U = frac{p_{0}V_{0}}{RT_{0}} C_{V}( T – T_{0})$. (4)

Приравнивая, в соответствии с первым законом термодинамики (I), изменение внутренней энергии (4) совершенной работе $A = p_{0}V_{0}$, находим

$C_{V} (T – T_{0}) = RT_{0}$,

откуда для конечной температуры воздуха в сосуде $T$ получаем

$T = T_{0}(1 + R/C_{V})$. (5)

Так как сумма $C_{V} + R$ равна молярной теплоемкости при постоянном давлении $C_{ mu}$, то выражение (5) можно переписать в виде

$T = T_{0} C_{p}/C_{V} = gamma T_{0}$. (6)

Температура заполнившего откачанный сосуд воздуха оказывается выше температуры воздуха в атмосфере. Отметим, что результат не зависит ни от объема сосуда, ни от давления воздуха в атмосфере. Температура воздуха в сосуде не зависит также и от того, будет ли заполнение сосуда происходить до конца, пока давление воздуха в нем не. сравняется с атмосферным, или же кран будет перекрыт раньше. Действительно, все приведенные в решении рассуждения справедливы и в том случае, когда конечное давление воздуха в сосуде меньше атмосферного.

Увеличение температуры при заполнении сосуда, рассчитываемое по формуле (6), оказывается весьма значительным. Так как для воздуха $gamma approx 1,4$, то находящийся при комнатной температуре воздух должен нагреваться на сотни кельвинов. Однако наблюдать на опыте такое большое повышение температуры затруднительно. Дело в том, что в течение промежутка времени, необходимого для измерения температуры воздуха, будет устанавливаться термодинамическое равновесие не только между воздухом в сосуде и термометром, но и между воздухом и стенками сосуда. Но теплоемкость сосуда при решении задачи в расчет не принималась. Поэтому формула (6) справедлива только до тех пор, пока воздух в сосуде не успеет прийти в термодинамическое равновесие со стенками.