Чем выше температура тем давление газа в закрытом сосуде

§ 222. Зависимость давления газа от температуры

Начнем с выяснения зависимости давления газа от температуры при условии неизменного объема определенной массы газа. Эти исследования были впервые произведены в 1787 г. Жаком Александром Сезаром Шарлем (1746—1823). Можно воспроизвести эти опыты в упрощенном виде, нагревая газ в большой колбе, соединенной с ртутным манометром (M) в виде узкой изогнутой трубки (рис. 376).

Рис. 376. При опускании колбы в горячую воду присоединенный к колбе ртутный манометр (M) показывает увеличение давления. (T) — термометр

Пренебрежем ничтожным увеличением объема колбы при нагревании и незначительным изменением объема при смещении ртути в узкой манометрической трубке. Таким образом, можно считать объем газа неизменным. Подогревая воду в сосуде, окружающем колбу, будем отмечать температуру газа по термометру (T) , а соответствующее давление — по манометру (M) . Наполнив сосуд тающим льдом, измерим давление (

_0) , соответствующее температуре (0^C) . Опыты подобного рода показали следующее.

1. Приращение давления некоторой массы газа при нагревании на (1^C) составляет определенную часть (alpha) того давления, которое имела данная масса газа при температуре (0^C) . Если давление при (0^C) обозначить через (

_0) , то приращение давления газа при нагревании на (1^C) есть (

_0+alpha

_0) .

При нагревании на (tau) приращение давления будет в (tau) раз больше, т. е. приращение давления пропорционально приращению температуры.

2. Величина (alpha) , показывающая, на какую часть давления при (0^C) увеличивается давление газа при, нагревании на (1^C) , имеет одно и то же значение (точнее, почти одно и тоже) для всех газов, а именно ( >) . Величину (alpha) называют температурным коэффициентом давления. Таким образом, температурный коэффициент давления для всех газов имеет одно и то же значение, равное ( >) .

Закон Шарля
Давление некоторой массы газа при нагревании на (1^C) при неизменном объеме увеличивается на () часть давления, которое эта масса газа имела при (0^C) .

Следует, однако, иметь в виду, что температурный коэффициент давления газа, полученный при измерении температуры по ртутному термометру, не в точности одинаков для разных температур: закон Шарля выполняется только приближенно, хотя и с очень большой степенью точности.

Источник

Изопроцессы

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: изопроцессы — изотермический, изохорный, изобарный процессы.

На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными. Иными словами, мы считаем, что:

• , то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;

• , то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация — распад молекул на атомы).

Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.

Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева — Клапейрона).

Термодинамический процесс (или просто процесс) — это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров — давления, объёма и температуры.

Особый интерес представляют изопроцессы — термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: .
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: .
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: .

Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.

Изотермический процесс

Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре . В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.

Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны , а во втором — . Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

Как мы сказали с самого начала,масса и молярная масса предполагаются неизменными.

Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:

Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:

Данное утверждение называется законом Бойля — Мариотта.

Записав закон Бойля — Мариотта в виде

можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.

Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки — давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.

Графики изотермического процесса

Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:

• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат .

График изотермического процесса называется изотермой.

Изотерма на -диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости .

Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции ). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1 .

Рис. 1. Изотерма на -диаграмме

Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на —диаграмме.

В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2 ). Первый процесс идёт при температуре , второй — при температуре .

Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма

Фиксируем некоторое значение объёма . На первой изотерме ему отвечает давление , на второй — p_1′ alt=’p_2 > p_1′/> . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, T_1′ alt=’T_2 > T_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси (рис. 3 ):

Рис. 3. Изотермы на и -диаграммах

Изобарный процесс

Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.

Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня и поперечное сечение поршня , то давление газа всё время постоянно и равно

где — атмосферное давление.

Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении . Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны и .

Выпишем уравнения состояния:

Поделив их друг на друга, получим:

В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):

А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:

Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре:

Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.

Графики изобарного процесса

График изобарного процесса называется изобарой. На -диаграмме изобара является прямой линией (рис. 4 ):

Рис. 4. Изобара на -диаграмме

Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.

Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на —диаграмме.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями и (рис. 5 ):

Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление

Зафиксируем некоторое значение температуры . Мы видим, что . Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).

Стало быть, p_1′ alt=’p_2 > p_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 6 ):

Рис. 6. Изобары на и -диаграммах

Изохорный процесс

Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.

Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).

Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом . Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами и . Имеем:

Делим эти уравнения друг на друга:

Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:

Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:

Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре:

Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.

Графики изохорного процесса

График изохорного процесса называется изохорой. На -диаграмме изохора является прямой линией (рис. 7 ):

Рис. 7. Изохора на -диаграмме

Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.

Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на —диаграмме (рис. 8 ):

Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём

Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру и видим, что . Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, V_1′ alt=’V_2 > V_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 9 ):

Рис. 9. Изохоры на и -диаграммах

Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами.

Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.

Источник

Тема урока: «Давление газа». 7-й класс

Класс: 7

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебник «Физика. 7 кл.» А.В. Перышкин – М. : Дрофа, 2011 г.

Тип урока: комбинированный на основе исследовательской деятельности.

Цели:

установить причину существования давления в газах с точки зрения молекулярного строения вещества;
выяснить:
от чего зависит давление газа
как можно его изменить.

Задачи:

сформировать знания о давлении газа и природе возникновения давления на стенки сосуда, в котором находится газ;
сформировать умение объяснять давление газа на основе учения о движении молекул, зависимости давления от объема при постоянной массе и температуре, а также и при изменении температуры;
развить общеучебные знания и умения: наблюдать, делать выводы;
способствовать привитию интереса к предмету, развития внимания, научного и логического мышления учащихся.

Оборудование и материалы к уроку: компьютер, экран, мультимедиапроектор, презентация к уроку, колба с пробкой, штатив, спиртовка, шприц, воздушный шар, пластиковая бутылка с пробкой.

План урока:

Проверка домашнего задания.
Актуализация знаний.
Объяснение нового материала.
Закрепление пройденного материала на уроке.
Итог урока. Домашнее задание.

Я предпочитаю то, что можно увидеть, услышать и изучить. (Гераклит) (Слайд 2)

– Это девиз нашего урока

– На прошлых уроках мы с вами узнали о давлении твердых тел, от каких физических величин зависит давление.

1. Повторение пройденного материала

1. Что такое давление?
2. От чего зависит давление твердого тела?
3. Как давление зависит от силы, приложенной перпендикулярно опоре? Каков характер этой зависимости?
4. Как давление зависит от площади опоры? Каков характер этой зависимости?
5. В чем причина давления твердого тела на опору?

Качественная задача.

Одинаковы ли силы, действующие на опору, и давление в обоих случаях? Почему?

Проверка знаний. Тестирование (проверка и взаимопроверка)

Тест

1. Физическая величина, имеющая размерность паскаль (Па), называется:

а) сила; б) масса; в) давление; г) плотность.

2. Силу давления увеличили в 2 раза. Как изменится давление?

а) уменьшится в 2 раза; б) останется прежним; в) увеличится в 4 раза; г) увеличится в 2 раза.

3. Давление можно рассчитать по формуле:

4. Какое давление на пол оказывает ковёр весом 200 Н, площадью 4 м 2 ?

а) 50 Па; б) 5 Па; в) 800Па; г) 80 Па.

5. Два тела равного веса поставлены на стол. Одинаковое ли давление они производят на стол?

2. Актуализация знаний (в форме беседы)

– Почему воздушные шары и мыльные пузыри круглые?
Учащиеся надувают воздушные шары.
– Чем мы заполнили шары? (Воздухом) Чем еще можно заполнить шары? (Газами)
– Предлагаю сжать шары. Что вам мешает сжать шары? Что действует на оболочку шара?
– Возьмите пластиковые бутылки, закройте пробкой и попробуйте сжать.
– О чем пойдет речь на уроке?

– Тема урока: Давление газа

3. Объяснение нового материала

Газы, в отличии от твёрдых тел и жидкостей, заполняют весь сосуд, в котором находятся.
Стремясь расшириться, газ оказывает давление на стенки, дно и крышку любого тела, с которым он соприкасается.
(Слайд 9) Картинки стальных баллонов, в которых находится газ; камеры автомобильной шины; мяча
Давление газа обусловлено иными причинами, чем давление твердого тела на опору.

Вывод: давление газа на стенки сосуда (и на помещенное в газ тело) вызывается ударами молекул газа.
Например, число ударов молекул воздуха, находящегося в комнате, о поверхность площадью 1 см 2 за 1 с выражается двадцатитрехзначным числом. Хотя сила удара отдельной молекулы мала, но действие всех молекул на стенки сосуда значительно, оно и создает давление газа.
Учащиеся самостоятельно работают с учебником. Читают опыт с резиновым шаром под колоколом. Как объяснить этот опыт? (стр.83 рис. 91)

Учащиеся объясняют опыт.

(Слайд 11) Просмотр видеофрагмента с объяснением опыта для закрепления материала.

(Слайд 12) Минутка отдыха. Зарядка для глаз.

«Ощущение тайны – наиболее прекрасное из доступных нам переживаний. Именно это чувство стоит у колыбели настоящей науки».

(Слайд 14) ИМЕЮТ ЛИ ГАЗЫ ОБЪЁМ? ЛЕГКО ЛИ ИЗМЕНИТЬ ОБЪЁМ ГАЗОВ? ЗАНИМАЮТ ЛИ ГАЗЫ ВЕСЬ ПРЕДОСТАВЛЯЕМЫЙ ИМ ОБЪЁМ? ПОЧЕМУ?ПОЧЕМУ? ИМЕЮТ ЛИ ГАЗЫ ПОСТОЯННЫЙ ОБЪЁМ И СОБСТВЕННУЮ ФОРМУ? ПОЧЕМУ?

(Слайд 15) У учащихся сделаны модели из шприцов. Выполнение опыта.
Учащиеся делают вывод: при уменьшении объёма газа его давление увеличивается, а при увеличении объёма давление уменьшается при условии, что масса и температура газа остаются неизменными.

(Слайд 16) Опыт с колбой

– Как изменится давление газа, если нагреть его при постоянном объеме?
При нагревании давление газа в колбе будет постепенно возрастать до тех пор, пока пробка не вылетит из склянки.
Учащиеся делают вывод: давление газа в закрытом сосуде тем больше, чем выше температура газа,при условии, что масса газа и объём не изменяются. (Слайд 17)

Газы, заключенные в сосуде, можно сжимать или сдавливать, уменьшая при этом их объем. Сжатый газ равномерно распределяется во всех направлениях. Чем сильнее вы сжимаете газ, тем выше будет его давление.
Учащиеся делают вывод: давление газа тем больше, чем чаще и сильнее молекулы ударяют о стенки сосуда

4. Закрепление пройденного материала на уроке.

(Слайд 18) Подумай-ка

– Что происходит с молекулами газа при уменьшении объёма сосуда, в котором находится газ?

молекулы начинают быстрее двигаться,
молекулы начинают медленнее двигаться,
среднее расстояние между молекулами газа уменьшается,
среднее расстояние между молекулами газа увеличивается.

(Слайд 19) Сравни-ка свои ответы

Чем вызвано давление газа?
Почему давление газа увеличивается при его сжатии и уменьшается при расширении?
Когда давление газа больше: в холодном или горячем состоянии? Почему?

Ответ 1. Давление газа вызвано ударами молекул газа о стенки сосуда или о помещенное в газ тело
Ответ 2. При сжатии плотность газа увеличивается, из-за чего возрастает число ударов молекул о стенки сосуда. Следовательно, увеличивается и давление. При расширении плотность газа уменьшается, что влечет за собой уменьшение числа ударов молекул о стенки сосуда. Поэтому давление газа уменьшается
Ответ 3. Давление газа больше в горячем состоянии. Это связано с тем, что молекулы газа при повышении температуры начинают двигаться быстрее, из-за чего удары их становятся чаще и сильнее.

(Слайд 20) Качественные задачи. (Сборник задач по физике В.И. Лукашик, Е.В.Иванова, Москва «Просвещение» 2007 г. стр. 64)

1. Почему при накачивании воздуха в шину автомобиля с каждым разом становится все труднее двигать ручку насоса?

2. Массы одного и того же газа, находящегося в разных закрытых сосудах при одинаковой температуре, одинаковы. В каком из сосудов давление газа наибольшее? Наименьшее? Ответ объясните

3. Объясните появление вмятины на мяче

Мяч при комнатной температуре

Мяч на снегу в морозный день

Решать загадки можно вечно.
Вселенная ведь бесконечна.
Спасибо всем нам за урок,
А главное, чтоб был он впрок!

Источник

Физика

При рассмотрении идеального газа, находящегося в закрытом сосуде (баллоне), необходимо учитывать, что изменение термодинамических параметров происходит при постоянной массе газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде, необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в закрытом сосуде, вследствие изменения его термодинамических параметров не изменяется:

объем газа, заполняющего сосуд определенного объема, также фиксирован: V = const;
постоянными также остаются следующие параметры газа:

ρ = const; ν = const; n = const;

где ρ — плотность газа; ν — количество вещества (газа); n — концентрация молекул (атомов) газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде и изменяющего свое состояние, уравнение Менделеева — Клапейрона записывается в виде системы (рис. 5.8):

Рис. 5.8

p 1 V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , >

где p 1 , T 1 — давление и температура газа в начальном состоянии; p 2 , T 2 — давление и температура газа в конечном состоянии; V — объем баллона; ν — количество газа; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Термин избыточное давление , встречающийся в задачах об идеальном газе в закрытом сосуде (баллоне), означает абсолютную разность между давлением газа, находящегося в сосуде, и давлением на стенки сосуда снаружи:

где p — давление газа, находящегося внутри сосуда; p 0 — давление (атмосферное либо гидростатическое) на стенки сосуда снаружи.

Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м 3 на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?

Решение . Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:

где p 1 — первоначальное давление газа в баллоне; p 2 — давление газа в баллоне в конце нагревания; V — объем газа (баллона), V = const; ν — количество вещества (газа) в баллоне; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 — температура газа в начале процесса; T 2 — температура газа в конце процесса.

p 1 V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

позволяет определить давление газа в конце процесса:

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p 2 − p 0 | ,

где p 0 — давление снаружи баллона; p 2 — давление газа внутри баллона.

При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:

снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) —

p 0 = p атм + p гидр = p атм + ρ 0 gh ,

где p атм — атмосферное давление; p гидр — гидростатическое давление, p гидр = ρ 0 gh ; ρ 0 — плотность воды; g — модуль ускорения свободного падения; h — глубина погружения баллона;

где T 2 — максимальная температура газа (искомая величина).

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h − p атм | ≈ | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h | ,

так как p атм 0 gh , p атм p 2 .

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h , p изб max = ρ 0 g h − p 1 T 2 T 1 ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h + p изб max p 1 , T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h − p изб max p 1 .

Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

T 2 = 300 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 150 ⋅ 10 6 120 ⋅ 10 6 = 400 К.

Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.

Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?

Решение . Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:

где p — давление углекислого газа в бутылке; V — объем газа (бутылки); m — масса углекислого газа в бутылке; M — молярная масса углекислого газа; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа.

Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p − p 0 | ,

где p 0 — давление снаружи бутылки.

Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:

снаружи (атмосферное давление) — p 0 ;
внутри (давление углекислого газа) —

где m соответствует искомой величине — максимальной массе углекислого газа.

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | m R T V M − p 0 | .

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = m R T V M − p 0 , p изб max = p 0 − m R T V M ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

m = V M ( p 0 + p изб max ) R T , m = V M ( p 0 − p изб max ) R T .

Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

m = 0,75 ⋅ 10 − 3 ⋅ 44,0 ⋅ 10 − 3 ( 100 + 150 ) ⋅ 10 3 8,31 ⋅ 300 = 3,3 ⋅ 10 − 3 кг = 3,3 г .

Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.

Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм 3 , чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.

Решение . Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.

Необходимое количество газа заполняет следующий объем:

в начале процесса (до заполнения оболочки)

где N — количество баллонов; V бал — объем одного баллона, V бал = 4,0 л;

в конце процесса (после заполнения оболочки)

V 2 = NV бал + V обол ,

где V обол — объем оболочки, V обол = 800 дм 3 .

Указанное количество газа находится при давлении:

в начале процесса (до заполнения оболочки) —

и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;

в конце процесса (после заполнения оболочки) —

и совпадает с давлением в оболочке.

Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

в начале процесса (до заполнения оболочки) —

где ν — количество вещества (газа) в оболочке; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

в конце процесса (после заполнения оболочки) —

записанное в явном виде

p 1 NV бал = p 2 ( NV бал + V обол ),

позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:

N = V обол V бал ⋅ p 2 p 1 − p 2 .

N = 800 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ( 500 − 100 ) ⋅ 10 3 = 50 .

Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.

Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?

Решение . Силы (сила тяжести m g → и сила Архимеда F → A ), действующие на аэростат, показаны на рисунке.

Подъемная сила — это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:

где F → A — сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; m g → — сила тяжести; m — масса газа, заполняющего оболочку аэростата; g → — ускорение свободного падения.

В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:

при заполнении оболочки азотом —

F под1 = F A1 − m 1 g ,

где F A1 — модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F A1 = ρ 0 g V 1 ; ρ 0 — плотность воздуха; V 1 — объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 1 — масса азота, заполняющего оболочку, m 1 = ρ 1 V 1 ; ρ 1 — плотность азота;

при заполнении оболочки водородом —

F под2 = F A2 − m 2 g ,

где F A2 — модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F A2 = ρ 0 g V 2 ; V 2 — объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 2 — масса водорода, заполняющего оболочку, m 2 = ρ 2 V 2 ; ρ 2 — плотность водорода.

Искомой величиной является отношение

F под 2 F под 1 = F A 2 − m 2 g F A 1 − m 1 g .

С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом ( V 1 = V 2 ), указанное отношение принимает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 g V 2 − ρ 2 V 2 g ρ 0 g V 1 − ρ 1 V 1 g = ( ρ 0 − ρ 2 ) V 2 g ( ρ 0 − ρ 1 ) V 1 g = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 .

Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:

где M 0 — молярная масса воздуха; V µ0 — молярный объем воздуха;

где M 1 — молярная масса азота; V µ1 — молярный объем азота;

где M 2 — молярная масса водорода; V µ2 — молярный объем водорода.

Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:

V µ0 = V µ1 = V µ2 = V µ .

Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 = M 0 − M 2 M 0 − M 1 .

Расчет дает значение:

F под 2 F под 1 = 29 ⋅ 10 − 3 − 2,0 ⋅ 10 − 3 29 ⋅ 10 − 3 − 28 ⋅ 10 − 3 = 27 .

При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.

Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм 3 , а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.

Решение . Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:

где ρ 0 — плотность воздуха, окружающего шар; g — модуль ускорения свободного падения; V — объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);

mg = ( m обол + m возд ) g ,

где m обол — масса оболочки; m возд — масса воздуха в оболочке, m возд = ρ V ; ρ — плотность воздуха внутри оболочки.

Шар взлетает, когда выполняется равенство

или, в проекции на вертикальную ось, —

Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)

с учетом записанных выше выражений

ρ 0 gV = ( m обол + m возд ) g , или (ρ 0 − ρ) V = m обол .

Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:

для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

где p 0 — атмосферное давление; ρ 0 — плотность воздуха снаружи оболочки; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 — температура окружающего шар воздуха; M — молярная масса воздуха;

для воздуха внутри оболочки воздушного шара

где p — давление воздуха внутри оболочки; ρ — плотность воздуха внутри оболочки; T 2 — температура воздуха внутри оболочки.

Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому

для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

для воздуха внутри оболочки воздушного шара

Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:

( 1 T 1 − 1 T 2 ) p 0 M V R = m обол .

Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как

T 2 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол ,

а искомая разность —

Δ T = T 2 − T 1 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол − T 1 = T 1 p 0 M V R T 1 m обол − 1 .

Δ T = 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 29,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 830 ⋅ 10 − 3 8,31 ⋅ 300 ⋅ 333 ⋅ 10 − 3 − 1 = 158 К.

Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.

Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.

Решение . За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.

Указанное количество воздуха имеет следующий объем:

воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, —

где V нас — объем насоса, V нас = 0,150 л; N — количество качаний;

воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, —

где V мяч — объем камеры мяча, V мяч = 3,00 л.

Данное количество воздуха находится при следующем давлении:

воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, —

совпадает с атмосферным давлением;

воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, — p 2 (является искомой величиной).

Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, —

где R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, —

записанное в явном виде

p 1 NV нас = p 2 V мяч ,

позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:

p 2 = p 1 N V нас V мяч .

p 2 = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 30 ⋅ 0,15 ⋅ 10 − 3 3,00 ⋅ 10 − 3 = 150 ⋅ 10 3 Па = 150 кПа.

Источник