Число молекул кислорода в сосуде

Тема. Решение задач по теме «Скорости газовых молекул. Распределение молекул по скоростям »

Цели

На примерах решения задач познакомить учащихся с основными типами задач и методами их решения.

Ход занятия

Вспомните основные свойства модели идеального газа. Повторите понятие размера молекул и длины свободного пробега. Выведите формулу для длины свободного пробега. Покажите, что длина свободного пробега зависит от давления, под которым находится газ. Подсчитайте число молекул, находящихся в единице объема при нормальных условиях. Обсудите насколько велико это число.

Качественные вопросы

1.       Какие гипотезы положены в основу вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа?

2.       Как правильно сформулировать вопрос о распределении молекул по скоростям?

3.       Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?

4.       Чему равна ограниченная кривой распределения молекул по скоростям площадь?

5.       Как изменяются с температурой положение максимума кривой функции распределения молекул по скоростям и его высота?

Примеры решения задач

Задача 1.Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул принять равным м.

Решение

Средняя длина свободного пробега определяется формулой , где r – радиус молекулы.  Так как  d = 2r, то , где  – число молекул в единице объема, Р – давление и Т – температура. Подставляя значение  в формулу для длины свободного пробега, получим

м.

Ответ:  м.

Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия ρ = 2,1·10–2 кг/м3, а эффективный диаметр атома гелия  d = 1,9·10–2 м.

Решение

Для определения средней длины свободного пробега необходимо знать концентрацию молекул n при данных условиях. Найдем n0. Из уравнения Клапейрона–Менделеева   следует, что

.

Следовательно,

.

И для средней длины свободного пробега l получаем расчетную формулу

м.

Ответ: м.

Задача 3. Какое предельное число молекул азота может находиться в сферическом сосуде диаметром D = 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул азота  d = 3,1·10–10 м.

Решение

Для того чтобы столкновений молекул друг с другом не было, необходимо чтобы средняя длина свободного пробега λ была не меньше диаметра сосуда D, то есть λ ≥ D.  Известно, что

,

где d – эффективный диаметр молекул азота, n – число молекул в единице объема, то есть концентрация молекул. Зная d, можно найти допустимую концентрацию молекул.

.

Максимальное число молекул в сосуде, объем которого , определится следующим образом

.

Ответ: .

Задача 4. Азот  находится под давлением Па при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале скоростей, отличающихся от наиболее вероятной на Δv = 1 м/с.

Решение

Так как интервал скоростей Δv мал, то изменением функции распределения в этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной.

.

Подставляем значение наиболее вероятной скорости

;

.

Это и есть решение задачи. Производим вычисления: масса молекулы азота кг, постоянная Больцмана  Дж/К. Подставляя численные значения, получим

.

При подсчете необходимо учесть, что определяется относительное число молекул, отличающихся по скорости от наиболее вероятной в обе стороны, то есть интервал равен Δv = 2 м/с.

Ответ: .

Задача 5. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и  v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла молекул по скоростям.

Решение

Запишем функцию распределения для указанных скоростей. По условию задачи значения функции должны быть одинаковы.

;

;

;

;

.

Масса молекулы азота   кг.

Постоянная Больцмана   Дж/К.

 К.

Ответ: = 300 К.

Задача 6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

Решение

Воспользуемся формулой для определения средней квадратичной скорости

,

где  – молярная масса газа. Тогда отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах будет равно

,

где- молярная масса неона, – молярная масса гелия. Подставляя численные значения, получим

Ответ: .

Задача 7. Определить: 1) число молекул в 1 мм3 воды, 2) массу молекулы воды, 3) диаметр молекулы воды, считая условно, что молекулы воды шарообразны и соприкасаются.

Решение

Число  молекул, содержащихся в массе вещества  равно числу Авогадро , умноженному на число молей  (- молярная масса вещества)

,

где r – плотность, V – объем вещества. После подстановки числовых значений получим

.

Массу m1 одной молекулы можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро:

 кг.

Считая, что молекулы соприкасаются, объем, занимаемый одной молекулой , где d – диаметр молекулы. Отсюда . Так как  , где  – объем одного моля, то

м.

Ответ: ;  кг;  м.

Задача 8. Зная, что диаметр молекулы кислорода  d = 3·10–10 м  подсчитать, какой длины S получилась бы цепочка из молекул кислорода, находящихся в объеме  V = 2 см2  при давлении Р = 1,01·105 Н/м2  и температуре  Т = 300 К, если эти молекулы расположить вплотную в один ряд. Сравнить длину этой цепочки со средним расстоянием от Земли до Луны м.

Решение

Число молекул кислорода, содержащихся в единице объема, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, равно

,

Число молекул в объеме V будет равно  . Следовательно, м.

Тогда .

Ответ: м;  раз.

Задача 9. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа  vc.к. = 450 м/с. Давление газа  р = 7 · 104 Н/м2. Найти плотность газа ρ  при этих условиях.

Решение

Из уравнения Клайперона–Менделеева  следует: .   Учитывая, что , получаем  .

Ответ: .

Задания для самостоятельной работы

1. В опыте Штерна источник атомов серебра создает пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Определить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад  от первоначального положения.

Читайте также:  Уровень жидкости в цилиндрическом сосуде 384

Ответ: м/с.

2. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V = 60 л при температуре Т = 300 К и давлении P= 5·103 Н/м2?

Ответ:  .

3. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с. Масса молекулы водорода т = 3,35·10–27 кг.

Ответ: = 380 К.

4. Вычислить среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при нормальных условиях.

Ответ:  м.

5. В помещении площадью S = 100 м2 и высотой  h = 4 м  разлито V1 = 1 л ацетона (СН3)2СО. Сколько молекул ацетона содержится в 1 м3 воздуха, если весь ацетон испарился? Плотность r  ацетона 792 кг/м3.

Ответ:  

6. Найти число столкновений z, которые произойдут за 1 с в 1 см3 кислорода при нормальных условиях. Эффективный радиус молекулы кислорода принять равным
1,5·10–10 м.

Ответ: .

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении P = 133 Па и температуре t = 27°C.

Ответ: м.

8. Доказать, что средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул газа пропорциональны , где P – давление газа; ρ – плотность газа.

Ответ: .

9. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул кислорода, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна  , во втором – . Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды (теплообмен с окружающей средой отсутствует)?

Ответ: .


Рекомендуемая литература

1.      Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т.3. Строение и свойства вещества – Москва – Санкт-Петербург. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. С. 170-194.

2.      Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А., Цвецинская Т.С. Задачник по физике – Москва. Физматлит, 2005.

3.      Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. Москва-Ростов-на-Дону, Издательский центр «Март», 2004. С. 215-219.

Источник

В
условиях задач этого раздела температура задается в градусах Цельсия.
При проведении числовых расчетов необходимо перевести температуру в
градусы Кельвина, исходя из того, что 0° С = 273° К. Кроме того,
необходимо также представить все остальные величины в единицах системы
СИ. Так, например, 1л = 10-3 м3; 1м3 = 106 см3 = 109 мм3.Если
в задаче приведена графическая зависимость нескольких величин от
какой-либо одной и при этом все кривые изображены на одном графике, то
по оси у задаются условные единицы. При решении задач используются данные таблиц 3,6 и таблиц 9—11 из приложения.

5.1. Какую температуру T имеет масса m = 2 г азота, занимающего объем V = 820 см3 при давлении p = 0,2 МПа?

5.2. Какой объем V занимает масса m = 10г кислорода при давлении р = 100 кПа и температуре t = 20° С?

5.3. Баллон объемом V = 12 л наполнен азотом при давлении p = 8,1МПа и температуре t = 17° С. Какая масса m азота находится в баллоне?

5.4. Давление воздуха внутри плотно закупоренной бутылки при температуре t1=7C было p1= 100 кПа. При нагревании бутылки пробка вылетела. До какой температуры t2нагрели бутылку, если известно, что пробка вылетела при давлении воздуха в бутылке p = 130 кПа?

5.5. Каким должен быть наименьшей объем V баллона, вмещающего массу m = 6,4 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 20° С выдерживают давление p = 15,7 МПа?

5.7. Найти массу m сернистого газа (S02), занимающего

объем V = 25 л при температуре t=27С и давлении p = 100 кПа.

5.6. В баллоне находилась масса m1= 10 кг газа при давлении p1 = 10 МПа. Какую массу Am газа взяли из баллона, если давление стало равным p2= 2,5 МПа? Температуру газа считать постоянной.

5.8. Найти массу m воздуха, заполняющего аудиторию высотой h = 5 м и площадью пола S = 200 м2. Давление воздуха p = 100кПа, температура помещения t = 17° С. Молярная масса воздуха u = 0,029 кг/моль.

5.9. Во сколько раз плотность воздуха p1, заполняющего помещение зимой (t1 =7°С), больше его плотности p2летом (t2=37° С)? Давление газа считать постоянным.

5.10. Начертить изотермы массы m = 0,5 г водорода для температур: а) t1 = 0° С; б) t2 = 100° С.

5.11. Начертить изотермы массы m = 15,5г кислорода для температур: a) t1 = 39° С; б) t2 =180° С.

5.12. Какое количество v газа находится в баллоне объемом V = 10 м3 при давлении p =96 кПа и температуре t = 17° С?

5.13. Массу m =5 г азота, находящегося, в закрытом сосуде объемом V = 4 л при температуре t1 = 20° С, нагревают до температуры t2 = 40° С. Найти давление p1 и p2газа до и после нагревания.

5.14. Посередине откачанного и запаянного с обеих концов капилляра,
расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной l = 20 см.
Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на dl
= 10 см. До какого давления p0был откачан капилляр? Длина капилляра L –1 м.

5.15. Общеизвестен шуточный вопрос: «Что тяжелее: тонна свинца или
тонна пробки?» На сколько истинный вес пробки, которая в воздухе весит
9,8кН, больше истинного веса свинца, который в воздухе весит также
9,8кН? Температура воздуха t = 17° С, давление p = 100кПа.

5.16. Каков должен быть вес p оболочки детского воздушного шарика, наполненного водородом, чтобы результирующая подъемная сила шарика F =
0 , т.е. чтобы шарик находился во взвешенном состоянии? Воздух и
водород находится при нормальных условиях. Давление внутри шарика равно
внешнему давлению. Радиус шарика r = 12,5 см.

Читайте также:  В глазу лопнул сосуд какие капли можно

5.17. При температуре t = 50° С давление насыщенного водяного пара p = 12,3 кПа. Найти плотность p водяного пара.

5.18. Найти плотность p водорода при температуре t = 10° С и давлении p = 97,3 кПа.

5.19. Некоторый газ при температуре t = 10° С и давлении p = 200 кПа имеет плотность p = 0,34 кг/м3. Найти молярную массу u газа.

5.20. Сосуд откачан до давления p = 1,33 • 10-9 Па; температура воздуха t = 15° С. Найти плотность p воздуха в сосуде.

5.21. Масса m = 12 г газа занимает объем V = 4 л при температуре t1 = 7° С. После нагревания газа при постоянном давлении его плотность стала равной p = 0,6 кг/м3. До какой температуры г, нагрели газ?

5.22. Масса m = 10г кислорода находится при давлении p = 304 кПа и температуре t1=10° С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объ-

ем V2=10 л. Найти объем V1газа до расширения, температуру t2 газа после расширения, плотности p1и p2газа до и после расширения.

5.23. В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Найти давление p и плотность

p водяного пара при температуре t = 400° С, зная, что при этой

температуре вся вода обращается в пар.

5,24. Построить график зависимости плотности p кислорода: а) от давления p при температуре Т = const = 390 К в интервале

0 < p < 400 кПа через каждые 50 кПа; б) от температуры Т при p = const = 400 кПа в интервале 200 < Т < 300 К через каждые 20К.

5.25. В закрытом сосуде объемом V = 1 м3 находится масса m1= 1,6 кг кислорода и масса m2= 0,9 кг воды. Найти давление p в сосуде при температуре t = 500° С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар.

5.26. В сосуде 1 объем V1 = 3 л находится газ под давлением p1= 0,2 МПа. В сосуде 2 объем V2 = 4 л находится тот же газ под давлением p2= 0,1 МПа. Температуры газа в обоих сосудах одинаковы. Под каким давлением p будет находиться газ, если соединить сосуды 1 и 2 трубкой?

5.27. В сосуде объемом V = 2 л находится масса m1= 6 г углекислого газа (С02) и масса m2закиси азота (N20) при температуре t = 127° С. Найти давление p смеси в сосуде.

5.28. В сосуде находится масса m1 = 14 г азота и масса m2=9гводорода при температуре t = 10°С и давлении p = 1 МПа. Найти молярную массу p смеси и объем V сосуда.

5.29. Закрытый сосуд объемом V = 2 л наполнен воздухом при нормальных условиях. В сосуд вводится диэтиловый эфир (С2Н5ОС2Ы5). После того как весь эфир испарился, давление в сосуде стало равным p = 0,14 МПа. Какая масса m эфира была введена в сосуд?

5.30. В сосуде объемом V = 0,5 л находится масса m = 1 г парообразного йода (I2). При температуре t = 1000° С давление в сосуде = 93,3 кПа. Найти степень диссоциации а молекул йода на атомы. Молярная масса молекул йода u = 0,254 кг/моль.

5.31. В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре
степень диссоциации молекул углекислого газа на кислород и окись
углерода а = 0,25 . Во сколько раз давление в сосуде при этих
условиях будет больше того давления, которое имело бы место, если бы
молекулы углекислого газа не были диссоциированы?

5.32. В воздухе содержится 23,6% кислорода и 76,4% азота (по массе) при давлении p = 100кПа и температуре t = 13° С.

Найти плотность p воздуха и парциальные давления p1и p2

кислорода и азота.

5.33. В сосуде находится масса m1 = 10 г углекислого газа и масса m2=15г азота. Найти плотность p смеси при температуре t = 27° С и давлении p = 150 кПа.

5.34. Найти массу m0атома: а) водорода; б) гелия.

5.35. Молекула азота, летящая со скоростью v = 600 м/с, упруго ударяется о стенку сосуда по нормали к ней. Найти импульс силы Fdt, полученный стенкой сосуда за время удара.

5.36, Молекула аргона, летящая со скоростью v = 500 м/с, упруго
ударяется о стенку сосуда. Направление скорости молекулы и нормаль к
стенке сосуда составляют угол а = 60° . Найти импульс силы Fdt, полученный стенкой сосуда за время удара.

5.37. Молекула азота летит со скоростью v = 430 м/с. Найти импульс mv этой молекулы.

5.38. Какое число молекул n содержит единица массы водяного пара?

5.39. В сосуде объемом V = 4 л находится масса m = 1 г водорода. Какое число молекул n содержит единица объема сосуда?

5.40. Какое число молекул N находится в комнате объемом V = 80 m3 при температуре t = 17° С и давлении p = 100 кПа?

5.41. Какое число молекул и содержит единица объема сосуда при температуре t = 10° С и давлении p = 1,33 * 10-9 Па?

5.42. Для получения хорошего вакуума в стеклянном сосуде необходимо
подогревать стенки сосуда при откачке для удаления адсорбированного
газа. На сколько может повыситься давление в сферическом сосуде радиусом
r = 10 см, если адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд? Площадь поперечного сечения молекул s0= 10-19 м2. Температура газа в сосуде t = 300° С. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным.

5.43. Какое число частиц находится в единице массы парообразного йода (I2), степень диссоциации которого а = 0,5 ? Молярная масса молекулярного йода u = 0,254 кг/моль.

Читайте также:  Кровеносный сосуд в глазу у ребенка

5.44. Какое число частиц N находится в массе m = 16г кислорода, степень диссоциации которого а = 0,5 ?

5.45. В сосуде находится количество v1=10-7 молей кислорода и масса m2=10-6г азота. Температура смеси t = 100° С, давление в сосуде p = 133мПа. Найти объем V сосуда, парциальные давления p1и p2кислорода и азота и число молекул n в единице объема сосуда.

5.46. Найти среднюю квадратичную скорость молекул воздуха при температуре t = 17° С. Молярная масса воздуха u = 0,029 кг/моль.

5.48. В момент взрыва атомной бомбы развивается температура T=107 К.
Считая, что при такой температуре все молекулы полностью диссоциированы
на атомы, а атомы ионизированы, найти среднюю квадратичную скорость
sqr(v2) иона водорода.

5.47. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

5.49. Найти число молекул nводорода в единице объема сосуда при давлении p = 266,6 Па, если средняя квадратичная

скорость его молекул sqr(v2)= 2,4 км/с.

5.50. Плотность некоторого газа p = 0,06 кг, средняя

квадратичная скорость его молекул sqr(v2) = 500 м/с. Найти

давление p, которое газ оказывает на стенки сосуда.

5.51. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинки, взвешенной в воздухе, меньше средней квадратичной скорости

молекул воздуха? Масса пылинки /77 = 10~8г. Воздух считать однородным газом, молярная масса которого // = 0,029 кг/моль.

5.52. Найти импульс mv молекулы водорода при температуре t = 20° С. Скорость молекулы считать равной средней квадратичной скорости.

5.53. В сосуде объемом V = 2лнаходится масса m = 10 г кислорода при давлении p = 90,6 кПа. Найти среднюю

5.216. Найти изменение dS энтропии при превращении массы m = 10 г льда (t = -20° С) в пар (tn = 100° С).

5.55. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого

газа sqr(v2) = 450 м/с. Давление газа p = 50 кПа. Найти плотность p газа при этих условиях.

5.56. Плотность некоторого газа p = 0,082 кг/м3 при давлении p = 100кПа и температуре t = 17° С. Найти среднюю квадратичную скорость sqr(v2) молекул газа. Какова молярная масса p этого газа?

5.218. Найти изменение dS энтропии при плавлении массы m = 1кг льда (t = 0° С).

5.219. Массу m = 640 г расплавленного свинца при температуре плавления tплвылили на лед (t = 0° С). Найти изменение dS энтропии при этом процессе.

5.60. Найти энергию Wврвращательного движения молекул, содержащихся в массе m = 1 кг азота при температуре t = 7° С.

5.61. Найти внутреннюю энергию W двухатомного газа, находящегося в сосуде объемом V = 2л под давлением p = 150 кПа.

5.62. Энергия поступательного движения молекул азота, находящегося в баллоне объем V = 20 л, W = 5 кДж, а средняя квадратичная скорость его молекул sqr(v2) = 2*103 м/с. Найти массу m азота в баллоне и давление /?, под которым он находится.

5.63. При какой температуре Т энергия теплового
движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия
преодолели земное тяготние и навсегда покинули земную атмосферу? Решить
аналогичную задачу для Луны.

5.64. Масса m = 1 кг двухатомного газа находится под давлением p = 80кПа и имеет плотность p = 4кг/м3. Найти

энергию теплового движения W молекул газа при этих условиях.

5.65. Какое число молекул N двухатомного газа содержит объем V = 10см3 при давлении V = 5,3 кПа и температуре

t = 27° С? Какой энергией теплового движения W обладают эти молекулы?

5.66. Найти удельную теплоемкость cкислорода для: а) V = const; б) p = const.

5.67. Найти удельную теплоемкость сp: а) хлористого водорода; б) неона; в) окиси азота; г) окиси углерода; д) паров ртути.

5.68. Найти отношение удельных теплоемкостей сp/сtдля кислорода.

5.69. Удельная теплоемкость некоторого двухатомного газа с = 14,7 кДж/(кг-К). Найти молярную массу u этого газа.

5.70. Плотность некоторого двухатомного газа при нормальных условиях p = 1,43 кг/м3. Найти удельные теплоемкости сt и

сpэтого газа.

5.71. Молярная масса некоторого газа u = 0,03 кг/моль, отношение сp/сV = 1,4 . Найти удельные теплоемкости сV и сpэтого газа.

5.72. Во сколько раз молярная теплоемкость С гремучего газа больше молярной теплоемкости С” водяного пара, получившегося при его сгорании? Задачу решить для: а) V = const б) p = const.

5.73. Найти степень диссоциации а кислорода, если его удельная теплоемкость при постоянном давлении ср= 1,05 кДж/(кг-К).

5.74. Найти удельные теплоемкости сV и сp парообразного йода (I2), если степень диссоциации его а = 0,5. Молярная масса молекулярного йода u = 0,254 кг/моль.

5.75. Найти степень диссоциация а азота, если для него отношение сp /сV = 1,47.

5.76. Найти удельную теплоемкость сpгазовой смеси, состоящей из количества v1=Зкмоль аргона и количества v2 = 3 кмоль азота.

5.77. Найти отношение сp/сV для газовой смеси, состоящей из массы m1 = 8 г гелия и массы m2 = 16 г кислорода.

5.78. Удельная теплоемкость газовой смеси, состоящей из количества v1= 1 кмоль кислорода и некоторой массы m2аргона

равна сV = 430 Дж/(кгК),. Какая масса m2аргона находится в газовой смеси?

5.79. Масса m = 10 г кислорода находится при давлении p = 0,3 МПа и температуре t = 10° С. После нагревания при

p= const газ занял объем V2 =10л. Найти количество теплоты

Q, полученное газом, и энергию теплового движения молекул

газа W до и после нагревания.

5.80. Масса m = 12 г азота находится в закрытом сосуде объемом V =2л при температуре t = 10° С. После нагревания Давление в сосуде стало равным p = 1,33 МПа. Какое количество теплоты Q сообщено газу при нагревании?

Источник