Число молекул в сосуде

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева, или уравнение состояния идеального газа. Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь — пара примеров задач:

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?

В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Теперь немного формул.

где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль

Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также

где n — число молей газа

И как нетрудно заметить, соотношение

есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.

И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы — законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.

Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.

Источник

Как найти количество молекул при давлении и температуре

Примеры решения задач

Задача 1: Сколько молекул содержится в газе объемом 2 м³ при давлении 150 кПа и температуре 29 °С?

Переведем значение температуры по шкале Цельсия в значение абсолютной шкалы температур: Т = 29 + 273 = 302 К

Проанализировав условие, приходим к выводу, что количество молекул целесообразнее находить из формулы концентрации молекул n = N/v. Выразив N, получим: N = nV (1).
Для нахождения N необходимо знать концентрацию молекул и объем газа. Объем дан по условию, а концентрацию выразим из формулы зависимости давления от температуры: p = nkT, откуда n = p/kT (2). Подставив (2) в (1), имеем: N = pV/kT.

Подставляя численные значения в полученную формулу получаем: N = 150 · 10³ Па · 2 м³/1,38 · 10 -23 Дж/К · 302 К = 7,2 · 10 25 мол.

Ответ: N = 7,2 · 10 25 молекул

Задача 2: Определите давление, которое оказывает углекислый газ, массой 44 г при температуре 20 °С, если он занимает объем 0,1 м³

Выполним перевод величин в единицы СИ: T = 293 K, m = 44 · 10 -3 кг.

Используя таблицу Менделеева определим молярную массу углекислого газа: M (CO2) = 12 + 2 · 16 = 12 + 32 = 44 г/моль = 44 · 10 -3 кг/моль

Давление идеального газа рассчитывается по формуле: p = nkT (1). Для непосредственного нахождения давления нам неизвестна концентрация молекул. Ее можно найти как n = N/V (2). Количество молекул найдем из формулы N = Na · m/M (3), где Na = 6 · 10 23 мол/моль. Объединив формулы (1) — (3), получим: p = Na · m · k · T / M · V

Подставляем численные значения: p = 6 · 10 23 мол/моль · 44 · 10 -3 кг · 1,38 · 10 -23 Дж/К · 293 К / 44 · 10 -3 кг/моль · 0,1 м³ = 24260 Па ≈ 24 кПа

Задачи для решения

Задача 1: Определите объем идеального газа, если количество молекул газа в этом объеме равно 25 · 10 25 . Давление идеального газа равно 100 кПа, а его температура 17 °С.

Задача 2: Чему равна температура кислорода (O2), объем которого 0,5 м³, давление равно 150 кПа, а масса 16 г?

Источник

Как найти количество молекул при давлении и температуре

Тема. Решение задач по теме «Скорости газовых молекул. Распределение молекул по скоростям »

На примерах решения задач познакомить учащихся с основными типами задач и методами их решения.

Вспомните основные свойства модели идеального газа. Повторите понятие размера молекул и длины свободного пробега. Выведите формулу для длины свободного пробега. Покажите, что длина свободного пробега зависит от давления, под которым находится газ. Подсчитайте число молекул, находящихся в единице объема при нормальных условиях. Обсудите насколько велико это число.

1. Какие гипотезы положены в основу вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа?

2. Как правильно сформулировать вопрос о распределении молекул по скоростям?

3. Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?

4. Чему равна ограниченная кривой распределения молекул по скоростям площадь?

5. Как изменяются с температурой положение максимума кривой функции распределения молекул по скоростям и его высота?

Примеры решения задач

Задача 1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул принять равным

м.

Средняя длина свободного пробега определяется формулой

, где r – радиус молекулы. Так как d = 2r, то , где – число молекул в единице объема, Р – давление и Т – температура. Подставляя значение в формулу для длины свободного пробега, получим

м.

Ответ:

м.

Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия ρ = 2,1·10 –2 кг/м 3 , а эффективный диаметр атома гелия d = 1,9·10 –2 м.

Для определения средней длины свободного пробега необходимо знать концентрацию молекул n при данных условиях. Найдем n. Из уравнения Клапейрона–Менделеева

следует, что

.

.

И для средней длины свободного пробега l получаем расчетную формулу

м.

Ответ:

м.

Задача 3. Какое предельное число молекул азота может находиться в сферическом сосуде диаметром D = 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул азота d = 3,1·10 –10 м.

Для того чтобы столкновений молекул друг с другом не было, необходимо чтобы средняя длина свободного пробега λ была не меньше диаметра сосуда D, то есть λ ≥ D. Известно, что

,

где d – эффективный диаметр молекул азота, n – число молекул в единице объема, то есть концентрация молекул. Зная d, можно найти допустимую концентрацию молекул.

.

Максимальное число молекул в сосуде, объем которого

, определится следующим образом

.

Ответ:

.

Задача 4. Азот находится под давлением

Па при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале скоростей, отличающихся от наиболее вероятной на Δv = 1 м/с.

Так как интервал скоростей Δv мал, то изменением функции распределения в этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной.

.

Подставляем значение наиболее вероятной скорости

;

.

Это и есть решение задачи. Производим вычисления: масса молекулы азота

кг, постоянная Больцмана Дж/К. Подставляя численные значения, получим

.

При подсчете необходимо учесть, что определяется относительное число молекул, отличающихся по скорости от наиболее вероятной в обе стороны, то есть интервал равен Δv = 2 м/с.

Ответ:

.

Задача 5. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла молекул по скоростям.

Запишем функцию распределения для указанных скоростей. По условию задачи значения функции должны быть одинаковы.

;

;

;

;

.

Масса молекулы азота

кг.

Постоянная Больцмана

Дж/К.

К.

Ответ:

= 300 К.

Задача 6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

Воспользуемся формулой для определения средней квадратичной скорости

,

где

— молярная масса газа. Тогда отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах будет равно

,

где

— молярная масса неона, — молярная масса гелия. Подставляя численные значения, получим

Ответ:

.

Задача 7. Определить: 1) число молекул в 1 мм 3 воды, 2) массу молекулы воды, 3) диаметр молекулы воды, считая условно, что молекулы воды шарообразны и соприкасаются.

Число

молекул, содержащихся в массе вещества равно числу Авогадро , умноженному на число молей (— молярная масса вещества)

,

где r – плотность, V – объем вещества. После подстановки числовых значений получим

.

Массу m1 одной молекулы можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро:

кг.

Считая, что молекулы соприкасаются, объем, занимаемый одной молекулой

, где d – диаметр молекулы. Отсюда . Так как , где – объем одного моля, то

м.

Ответ:

; кг; м.

Задача 8. Зная, что диаметр молекулы кислорода d = 3·10 –10 м подсчитать, какой длины S получилась бы цепочка из молекул кислорода, находящихся в объеме V = 2 см 2 при давлении Р = 1,01·10 5 Н/м 2 и температуре Т = 300 К, если эти молекулы расположить вплотную в один ряд. Сравнить длину этой цепочки со средним расстоянием от Земли до Луны

м.

Число молекул кислорода, содержащихся в единице объема, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, равно

,

Число молекул в объеме V будет равно

. Следовательно, м.

Тогда

.

Ответ:

м; раз.

Задача 9. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа vc.к. = 450 м/с. Давление газа р = 7 · 10 4 Н/м 2 . Найти плотность газа ρ при этих условиях.

Из уравнения Клайперона–Менделеева

следует: . Учитывая, что , получаем .

Ответ:

.

Задания для самостоятельной работы

1. В опыте Штерна источник атомов серебра создает пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Определить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад от первоначального положения.

Ответ:

м/с.

2. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V = 60 л при температуре Т = 300 К и давлении P= 5·10 3 Н/м 2 ?

Ответ:

.

3. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с. Масса молекулы водорода т = 3,35·10 –27 кг.

Ответ:

= 380 К.

4. Вычислить среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при нормальных условиях.

Ответ:

м.

5. В помещении площадью S = 100 м 2 и высотой h = 4 м разлито V1 = 1 л ацетона (СН3)2СО. Сколько молекул ацетона содержится в 1 м 3 воздуха, если весь ацетон испарился? Плотность r ацетона 792 кг/м 3 .

Ответ:

6. Найти число столкновений z, которые произойдут за 1 с в 1 см 3 кислорода при нормальных условиях. Эффективный радиус молекулы кислорода принять равным
1,5·10 –10 м.

Ответ:

.

7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении P = 133 Па и температуре t = 27°C.

Ответ:

м.

8. Доказать, что средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул газа пропорциональны

, где P – давление газа; ρ – плотность газа.

Ответ:

.

9. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул кислорода, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна

, во втором – . Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды (теплообмен с окружающей средой отсутствует)?

Ответ:

.

1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т.3. Строение и свойства вещества – Москва – Санкт-Петербург. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. С. 170-194.

2. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А., Цвецинская Т.С. Задачник по физике – Москва. Физматлит, 2005.

3. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. Москва-Ростов-на-Дону, Издательский центр «Март», 2004. С. 215-219.

Источник