Число ударов молекул о стенку сосуда и давление газа

Получим формулу для вычисления числа ударов молекул в единицу времени о единичную площадь стенки сосуда, в котором находится газ.

Возьмем на стенке сосуда, бесконечно малую площадку dS, перпендикулярную оси Z системы координат XYZ ( рис. 8).

На этой площадке , как на основании, построим бесконечно узкий цилиндр с осью, имеющей направление, определяемое сферическими углами j и J,идлина которой равна vdt, где v – скорость молекулы, dt – промежуток времени. Объем этого цилиндра

, (1.4.1)

а число молекул в нем dn=ndV, где n – концентрация молекул в сосуде. Из-за хаотичности движения не все dn молекул достигнут площадки dS за время dt. Ее достигнут только те из молекул, которые, во-первых, движутся в направлении к площадке dS и, во-вторых, имеют скорости, близкие к u, при этом за время dt они проходят расстояние udt, равное длине образующей цилиндра, и достигают площадки dS. Найдем число таких молекул в объеме dV цилиндра.

И если к моменту времени t эти молекулы находились в объеме dV цилиндра, тогда время от t до t+dt все они достигнут площадки dS.

Р и с. 8

Обозначим через dnu число молекул в единице объема газа, которые имеют скорости, заключенные в интервале (u, u+du). Пусть среди этих молекул молекул в единице объема име­ют направления движения, определяемые сферическими углами, взяты­ми из интервалов (j,j+dj) и (J,J+dJ). Согласно формуле (1.3.5), количество таких молекул в единице объема газа равно

(1.4.2)

Число же указанных молекул в объеме dV рассматриваемого цилинд­ра

dnu,J,j=dnu,J,j × dV (1.4.3)

С учетом формул (1.4.1) и (1.4.2) выражение (1.4.3) примет вид

(1.4.4) Таким образом, среди всех молекул, находящихся в объеме dV цилиндра, dnu,J,j молекул имеют близкие к u скорости, и их направления движения определяются углами, близкими к углам J и j. Однако из объема V, занимаемого газом, к площадке dS подлетают молекулы с других направлений и с иными скоростями. Чтобы учесть эти молекулы, необходимо проинтегрировать выражение (1.4.4) по всем возможным углам j и J и скоростям u:

(1.4.5)

Сферический угол J в общем случае изменяется от до p. В выражении (1.4.5) интегрирование по J произведено от до p/2, так как при интегрировании по J в пределах от p/2 до p рас­сматриваемые молекулы, как легко видеть из рис.8, будут иметь на­правление движения, соответствующее их удалению от площадки.

Разделив обе части соотношения (1.4.5) на dtdS, получим

(1.4.6)

Таким образом, выражение (1.4.6) определяет число ударов молекул га­за в единицу времени о единичную площадку стенки сосуда.

Для выяснения смысла величины интеграла в выражении (1.4.6) умножим и разделим его на концентрацию молекул n=N/V.

(1.4.7)

Если обозначить через dNu число молекул в объеме V, которые имеют скорость от u до u + du, то dnu=dNu /V будет опре­делять число таких молекул в единице объема газа. Величина же

(1.4.8)

при больших N представляет собой вероятность того, что случайно “взятая” в газе молекула будет иметь скорость, заключенную в ин­тервале (u,u+du). Эта вероятность связана с функцией распре­деления (плотностью вероятности) следующим соотношением (см. А.23):

(1.4.9)

Функция распределения молекул по скоростям F(u) является важ­нейшей характеристикой равновесного состояния газа. Ее явный вид будет получен в последующих параграфах из весьма общих предпосылок.

С учетом формул (1.4.8) и (1.4.9), выражение (1.4.7) примет вид

(1.4.10)

Интеграл, стоящий в соотношении (1.4.10), представляет среднее зна­чение скорости (см. формулу (А.25) Приложения А):

(1.4.11)

Поэтому

(1.4.12)

Как видно из выражения (1.4.12), число ударов молекул газа в единицу времени о единичную площадку пропорционально концентрации и средней скорости их движения, что находится в полном согласии с нашей интуицией.

Пример

1. В космическом корабле находится воздух объема V с концентрацией n0, поддерживаемый при постоянной температуре. За бортом корабля вакуум. Найти зависимость концентрации молекул воздуха в корабле от времени, если в тонкой части его стенки образовалось малое отверстие площади S?

Решение. Пусть через время t после образования отверстия кон­центрация воздуха в корабле стала равной n(t). Тогда число молекул воздуха, влетающих в отверстие площади S за время dt (от момента t до t+dt), согласно формуле (1.4.5)

dn= n(t)<u>Sdt (1.4.13)

Эти молекулы покидают кабину корабля. С другой стороны, это число молекул можно выразить иначе.

Изменение концентрации воздуха в корабле за время dt (от t до t+dt)

Откуда находим

dn = –Vdn (1.4.14)

Сравнивая выражения (1.36) и (1.37), получаем

(1.4.15)

Проинтегрируем равенство (1.4.15).

Откуда находим искомую зависимость концентрации от времени

(1.4.16)

Простейшая молекулярно-кинетнческая модель газа выглядит следующим
образом

Простейшая молекулярно-кинетнческая модель газа выглядит
следующим образом. Газ-это совокупность одинаковых, хаотически движущихся, не
взаимодействующих друг с другом на расстоянии молекул. Размеры молекул столь
малы, что суммарным объемом можно пренебречь по сравнению с объемом сосуда.
Подавляющую часть времени каждая молекула движется свободно, претерпевая иногда
упругие соударения с другими молекулами или со стенками сосуда.

Такая модель представляет собой не что иное, а идеальный газ.
У реальных газов молекулы обладают конечными размерами и взаимодействуют друг с
другом с силами, быстро убывающими с увеличением расстояния между молекулами.
Однако по мере уменьшения плотности газа собственный объем молекул делается все
меньше по сравнению с объемом, занимаемым газом, а средние расстояния между
молекулами становятся настолько большими, что силами взаимодействия молекул
друг с другом можно вполне пренебречь. Следовательно, при условиях, когда
всякий газ бывает близок к идеальному, справедливы допущения, положенные нами в
основу описанной выше модели.

При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс,
численно равный изменению импульса молекулы. Каждый элемент поверхности стенки ΔS непрерывно подвергается бомбардировке большим количеством
молекул, в результате чего за время Δt получает суммарный импульс ΔK,
направленный по нормали к ΔS, Отношение ΔK к Δt дает, как
известно из механики, силу, действующую на ΔS, а отношение этой силы к ΔS
даст давление p.

Молекулы движутся совершенно беспорядочно, хаотически; все
направления движения равновероятны, ни одному из них не может быть отдано
предпочтение перед другими. Основанием для такого утверждения служит то
обстоятельство, что давление газа на стенки сосуда всюду одинаково. Если бы
движение молекул в каком-то направлении преобладало, давление газа на участок
стенки, лежащий в этом направлении, было бы, естественно, больше.

Скорости молекул могут быть самыми различными по величине.
Более того, скорость молекулы должна меняться, вообще говоря, при каждом
соударении[1],
при чем с равной вероятностью она может как возрасти, так и уменьшиться. Это
следует из того, что суммарная кинетическая энергия двух молекул до и после их
соударения должна быть одинакова. Следовательно, возрастание скорости одной
молекулы должно сопровождаться одновременным уменьшением скорости другой.

Для облегчения решения поставленной задачи мы введем
некоторые упрощения, касающиеся характера движения молекул. Во-первых, будем
полагать молекулы движущимися только вдоль трех взаимно перпендикулярных
направлений

Если газ содержит N молекул, то в любой момент времени вдоль
каждого из направлений будет двигаться N/3 молекул, причем полови на из них (т.
е. N/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина в
противоположную (рис. 219).

Рис.
219.

Основываясь на таком предположении, мы будет считать, что в
интересующем нас направлении (например, по нормали к данному элементу стенки ΔS)
движется 1/6 часть молекул. Второе упрощение состоит в том, что всем молекулам
мы припишем одинаковое значение скорости V.

Первое упрощение не влияет, как мы покажем в следующем
параграфе, на конечный результат вычисления давления; уточнения, к которым
приводит отказ от второго упрощения, будут выяснены в этом параграфе.

Вычислим импульс, сообщаемый стенке сосуда ударяющейся о нее
молекулой. До удара о стенку импульс молекулы направлен по внешней нормали к ΔS
(рис. 220) и равен mv.

Рис.
220

В результате удара импульс меняет знак. Таким образом,
приращение импульса молекулы оказывается равным

По третьему закону Ньютона слепка получает при ударе им пульс
2тv, имеющий направление нормали.

За время Δt до элемента стенки ΔS долетят все
движущиеся по направлению к нему молекулы, заключенные в объеме цилиндра с
основанием ΔS и высотой Δt (рис. 221).

Число этих молекул равно

где n – число молекул в единице
объема.

Можно, правда, возразить, что часть этих молекул на своем
пути к стенке перетерпит столкновения с другими молекулами, вследствие чего изменит
направление своего движения и не достигнет ΔS. Однако соударения не
нарушают хаотического характера движения молекул: переход некоторого количества
молекул из группы, движущейся по направлению к стенке, в группы, движущиеся в
других направлениях, сопровождается одновременным переходом такого же числа
молекул из других групп в группу, движущуюся по направлению к стенке. Поэтому
при вычислении количества молекул, долетающих до стенки, соударения молекул
друг с другом можно не принимать во внимание.

Рис.
221.

В соответствии с (90.2) число ударов молекул о площадку ΔS
за единицу времени будет равно

а число ударов о единичную площадку
(ΔS=1м2)за секунду

Умножив число ударов (99.2) на импульс (99.1), сообщаемый стенке
при каждом ударе, получим суммарный импульс ΔK, сообщаемый элементу стенки
ΔS за время Δt:

Отнеся импульс ΔK к промежутку времени Δt получим
силу, действующую на ΔS. Наконец, отнеся полученную силу к площадке ΔS,
получим давление газа, оказываемое им на стенки сосуда. Следовательно,

Учитывая, что представляет собой кинетическую энергию
поступательного движения молекулы, выражению для давления можно придать
следующий вид:

Прежде чем приступить к анализу полученных формул, выясним,
как повлияет на их вид отказ от предположения о равенстве скоростей всех
молекул.

Пусть скорости молекул различны, причем из n молекул,
содержащихся в единице объема, n1 молекул имеют скорости,
практически равные v1, n2 молекул имеют скорость v2
и вообще n1 молекул имеют скорость vi. Очевидно, что

Зная распределение молекул по скоростям, можно найти среднее
значение скорости молекул. Для этого нужно сложить скорости всех n молекул и
разделить по лученный результат на n:

При этом мы должны взять v1 слагаемым n1
раз, v2 слагаемым n2 раз и т. д. Следовательно, можно записать
в виде

Проведя аналогичные рассуждения для кинетической энергии
поступательного движения молекулы, найдем для среднего значения этой энергии
следующее выражение:

где n’i -число молекул,
обладающих энергией, практически равнойi.

Заметим, что согласно (99.7) суммарная кинетическая энергия
молекул, содержащихся в единице объема, равна n – произведению числа молекул в единице объема
на среднюю энергию одной молекулы, причем этот результат не зависит от
конкретного вида распределения молекул по скоростям.

Полагая, что молекулы каким-то образом распределены по
скоростям, определим число ударов молекул о стенку сосуда. Среди молекул,
обладающих значением скорости v1 имеются молекулы, движущиеся в
самых различных направлениях. Поэтому можно упрощенно считать, что по
направлению к элементу стенки ΔS движется 1/6 часть таких молекул.
Следовательно, из числа молекул, имеющих скорость vi, достигает
элемента ΔS (рис. 222) за время Δt

А полное число ударов молекул любых скоростей

Рис.
222.

Заменяя в соответствии с (99.6) через n, получим для числа ударов об
единичную площадку в единицу времени следующее выражение:

Это выражение отличается от полученного нами ранее (99.3)
только тем, что вместо одинаковой для всех молекул скорости v в него входит
средняя скорость молекул .Каждая
из ΔNiмолекул
[см. (99.8)] при ударе о стенку сообщает ей импульс 2mvi. Суммарный
импульс, сообщаемый ΔS за время Δt молекулами всех скоростей, равен

Чтобы получить давление, нужно ΔK
разделить на ΔS и Δt

где =mv2i/2 — кинетическая энергия поступательного
движения молекулы, имеющей скорость vi.

Заменяя в соответствии с (99.7) через , получим:

Это выражение отличается от ранее полученного выражения
(99.5) тем, что вместо одинаковой для всех молекул энергии в него входит средняя энергия –

Уравнение (99.10) является основным в кинетической теории
газов. Согласно этому уравнению давление равно двум третям кинетической энергии
поступательного движения молекул, заключенных в единице объема.

Из (99.10) следует, что при постоянном n (т. е. при
неизменном объеме данной массы газа) давление пропорционально средней
кинетической энергии поступательного движения молекулы . Вместе с тем мы видели в предыдущем параграфе,
что температура T, измеренная по идеальной газовой шкале, определяется как
величина пропорциональная давлению идеального газа при постоянном объеме.
Отсюда следует вывод, что температура Т пропорциональна . Чтобы найти коэффи циент
пропорциональности между абсолютной темпера турой Т и , сопоставим уравнение (99.10) с уравнением
состояния идеального газа (98,13), Для этого умножим уравнение (99.10) па объем
киломоля Vкм:

Замечая, что произведение числа молекул в единице объема на
объем одного киломоля равно числу Авогадро, последнее равенство можно написать
в виде:

Сопоставляя это уравнение с уравнением состояния идеального
газа для одного киломоля ,
мы заключаем, что

откуда

где буквой k обозначена величина
R/Na , называемая постоянной Больцмана. Ее значение равно

Итак, мы пришли к важному выводу: абсолютная температура
есть величина, пропорциональная средней энергии движения одной молекулы. Этот
вывод справедлив не только для газов, но и для вещества в любом состоянии.

Выражение (99.11) замечательно в том отношении, что средняя
энергия оказывается
зависящей только от температуры и не зависит от массы молекулы.

Заменив в уравнении состояния идеального газа R через NAk и
учитывая, что NA/Vкм равно n, можно получить важную формулу:

Если имеется смесь нескольких газов, разные по массе
молекулы будут иметь различную среднюю скорость, но средняя энергия молекул
будет одна и та же. Давление в этом случае будет равно

где n1,
n2 и т. д. обозначают количество молекул
первого, второго и т. д. сорта, содержащееся в единице объема, выражение
(99.13) может быть представлено в виде

Но n1kT— это то давление р1, которое было бы в сосуде,
если в нем находились бы только молекулы первого сорта, n2kT— то давление p2,
которое было бы при наличии в сосуде только молекул второго сорта, и т.д.
Давление, обусловленное молекулами какого-либо одного сорта, при условии, что
они одни присутствуют в сосуде в том количестве, в каком они содержатся в
смеси, называется парциальным давлением соответствующей компоненты газовой
смеси. Введя парциальные давления, на основании (99.1З) можно написать, что

Таким образом, мы пришли к закону Дальтона, который гласит,
что давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений газов
образующих смесь.