Цилиндрический сосуд и поршень
В эту статью намеренно сведены задачи про газы в сосудах, закрытых поршнями – легкими и тяжелыми. Под влиянием нагрева газы меняют свое состояние и сдвигают поршни в новое состояние равновесия. Как правило, нужно определить сдвиг поршня или отношение объемов.
Задача 1. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при нормальных условиях. Сосуд расположен горизонтально и разделен подвижным поршнем в отношении . В каком отношении поршень будет делить сосуд, если его меньшую часть нагреть до , а большую охладить до ?
Понятно, что, раз поршень в равновесии, то давление одинаково с обеих сторон: .
К задаче 1
Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:
Его количество пропорционально величине:
Количество газа в правой части сосуда пропорционально:
После изменения температур в левой части состояние газа таково:
А в правой:
Возьмем отношение двух последних равенств:
То есть, подставляя и , получим:
Ответ:
Задача 2. В закрытом цилиндрическом сосуде находится газ при температуре . Внутри сосуд перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса см на две части объемами см и см. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если большую часть газа нагреть на 30К? Температура в другой части не меняется.
Давление изначально одинаково с обеих сторон: .
К задаче 2
Состояние газа в левой части сосуда описывается уравнением:
А в правой части:
После того как газ нагрели, его давление и объем в обеих частях сосуда должны измениться, но по-прежнему давление слева и справа равны:
Возьмем отношение двух последних равенств:
Количество газа в меньшей части сосуда пропорционально величине:
Количество газа в правой части сосуда пропорционально:
Тогда:
Так как объем равен произведению , то
Тогда
Но , поэтому в левой части имеем:
И, так как , то
Наконец,
Но нам неизвестно, поэтому вместо этой величины используем отношение :
Ответ: поршень сдвинется на 0,67 см.
Задача 3. Сосуд с газом плотно закрыт пробкой, площадь сечения которой см. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы пробка вылетела из сосуда, если сила трения, удерживающая пробку, Н? Начальное давление воздуха в сосуде Па, начальная температура .
Газ, находящийся в сосуде, изначально оказывает давление на пробку. Только его недостаточно для того, чтобы выдавить ее. Поэтому считаем, что избыточное давление, то есть изменение давления – как раз и выдавит пробку. Тогда
В свою очередь,
А так как процесс изохорный, то
Тогда
И
Тогда
Или
Откуда
Ответ: газ надо нагреть на , то есть до температуры .
Задача 4. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень. Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в сосуде увеличить в 2 раза?
Рассмотрим состояние газа до нагрева. Температура обеих частей одинакова, массы равны, то есть
При этом понятно, что давления разные в обеих частях, так как объемы не одинаковы:
К задаче 4
Следовательно, так как , то
И
Аналогично и после нагрева: так как газ нагревают в обеих частях сосуда, и масса газа в обеих частях одинакова, то можно записать, что
Искомое отношение –
А
И
Подставим давление поршня:
Перейдем к объемам:
Подставим эти соотношения:
Запишем объем после нагрева через приращение объема:
Перейдем к полному объему сосуда:
Теперь мы имеем всего две неизвестных в одном уравнении, и можем разделить все уравнение, например, на :
Где – заметим, что корень должен быть меньше 1 по модулю и при этом положительный, иначе будет потерян физический смысл.
Выбираем в связи с вышеизложенными соображениями второй корень. Тогда .
Найдем оба объема частей сосуда после подогрева:
Наконец, отношение объемов (Алилуйя! Мы сделали это!):
Источник