Цилиндрический сосуд заполненный водой приведен во вращение
Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w вращения вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная поверхность ее видоизменится: в центральной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).
На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны g и w2r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.
Рис. 2.11
Учитывая, что сила j нормальна к свободной поверхности, получим
отсюда
или после интегрирования
В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C = h, поэтому окончательно будем иметь
(2.10)
т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.
Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.
На практике очень часто приходится иметь дело с вращением сосуда, заполненного жидкостью, вокруг горизонтальной оси. При этом угловая скорость w столь велика, что сила тяжести на порядок меньше центробежных сил, и ее действие можно не учитывать. Закон изменения давления в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равновесия элементарного объема с площадью основания dS и высотой dr, взятой вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давления и центробежная сила.
Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса
или
Рис. 2.12
После интегрирования
Постоянную C найдем из условия, что при r = r0 p = p0.
Следовательно
Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:
(2.11)
Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.
Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим
а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.
При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.
Источник
Часть 4-1 Равновесие жидкости в движущихся сосудах
Задача (Куколевский И.И.) 4-1. Для измерения ускорения горизонтально движущегося тела может быть использована закрепленная на нем U-образная трубка малого диаметра, наполненная жидкостью. С каким ускорением движется тело, если при движении установилась разность уровней жидкости в ветвях трубки, равная h = 5 см при расстоянии между ними l = 30 см?
Ответ. а = 1,635 м/с2.
Скачать решение задачи 4-1 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-2. Призматический сосуд длиной 3*l = 3 м и шириной с = 1 м, перемещающийся горизонтально с постоянным ускорением а =0,4g, разделен на два отсека, заполненных водой до высот h1 = 1 м и h2 = 1,75л.
1) Определить cуммарную силу давления P воды на перегородку.
2) Найти ускорение, при котором эта сила станет равной нулю.
Ответ. 1) Р = 2,17 кН.2) а = 0,5g.
Скачать решение задачи 4-2 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-3. Цистерна диаметром D = 1,2 м и длиной L = 2,5 м, наполненная нефтью (δ = 0,9) до высоты b = 1 л, движется горизонтально с постоянным ускорением а = 2 м/с2.
1) Определить силы давления на плоские боковые крышки А и В цистерны.
2) Как изменятся эти силы при замене плоских крышек сферическими. Увеличение объема цистерны при такой замене равно 2W, где W = 0,2 м3.
Ответ 1) PА = 7,42 кН. РB = 12,5 кН; 2) Р’А = 7,3 кН; Р’В = 13 кН.
Скачать решение задачи 4-3 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-4. По наклоненной под углом а = 45° к горизонту плоскости под действием силы тяжести скользит призматический сосуд, целиком заполненный водой. Сосуд закрыт крышкой с малым отверстием, расположенным на расстоянии l = 0,5 м от передней стенки. Собственный вес сосуда G=150 кГ, размер b=1 м, коэффициент трения дна сосуда о плоскость скольжения f= 0,278. Найти величины сил давления воды на крышку 1, стенки 2 и 3, дно 4, считая, что жидкость из сосуда не выливается.
Ответ. P1=0 Р2=4,9 кН; P3 = 8,98 кН; Р4 =13,3 кН.
Скачать решение задачи 4-4 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-5. Составной цилиндрический сосуд, заполненный водой до высоты h1+h2 = 800 мм, подвешен на шнуре, перекинутом через блоки, и соединен с грузом массой m = 200 кг. Определить нагрузки болтовых групп А, В и С при имеющем место ускоренном движении сосуда. Размеры сосуда D1 = 400 мм, D2=600 мм, h1 = 300 мм. Собственным весом сосуда и трением в блоках пренебречь.
Ответ. РА1= 1,67 кН; РВ = PС= 2,56 кН.
Скачать решение задачи 4-5 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-6. Цилиндрический сосуд диаметром d = 0,8 м, имеющий плоскую крышку и полусферическое дно, заполнен водой до высоты у =0,3 ми поднимается вертикально вверх с ускорением а =10 м/с2.
1) Определить усилие Т в тяге, если вес дна сосуда m1 = 50 кк, цилиндрической части m2 = 30 кг и крышки m3 = 20 кu.
2) Силу давления на дно сосуда, если вакуумметр, присоединенный к нижней точке сосуда, показывал V = 30 кПа, когда сосуд был неподвижен.
3) Построить эпюру давления жидкости по высоте в неподвижном сосуде и при ускоренном его движении.
Ответ. 1) Т = 7,63 кН. 2) P = 12,9 кН.
Скачать решение задачи 4-6 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-7. Вычислить величины горизонтальной и вертикальной сил давления на полусфгрическую крышку цилиндрического сосуда диаметром D = 0,6 м, скользящего с ускорением а = 5 м/с2 по плоскости, наклоненной под углом а = 60° к горизонту, если сосуд заполнен водой до уровня h=1 м в открытой трубке, присоединенной к верхней точке сосуда. Как изменятся эти силы, если сосуд остановить?
Ответ. Рв = 1700Н, Рг = 141 Н. Для неподвижного сосуда Рв = 3050 Н; Рг=0
Скачать решение задачи 4-7 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-8. Закрытый цилиндрический сосуд диаметром D = 0,6 м, имеющий полусферическое дно, наполнен до уровня H = 0,8 м водой и движется прямолинейно под углом а = 30° к горизонту с постоянным ускорением а = 2g. Определить вертикальную и горизонтальную силы давления на дно, если избыточное давление газа лад поверхностью воды в сосуде Рн = 20 кПа.
Ответ. Рв = 8980 Н; Рг = 960 Н.
Скачать решение задачи 4-8 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-9. Найти зависимость показания h водяного манометра (радиусы ветвей R1 и R2 заданы), присоединенного к замкнутому сосуду, который наполнен газом, находящимся под вакуумом Pв, от: 1) поступательного ускорения сосуда (а), направленного по вертикали вверх и вниз; 2) угловой скорости вращения сосуда (w).
Скачать решение задачи 4-9 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-10. Цилиндрический сосуд, заполненный водой, приведен во вращение с постоянной угловой скоростью w = 10 рад/с. Найти наименьшее давление в воде, заполняющей сосуд, по показанию h= 1 м ртутного манометра, вращающегося вместе с сосудом, если r1 = 0,8 м; r2 = 0,7 м. При какой угловой скорости равновесие жидкости в сосуде нарушится?
Ответ. 1) р=3 кПа. 2) w=13,2 рад/с.
Скачать решение задачи 4-10 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-11. Вал жидкостного тахометра вращает диск, который увлекает во вращательное движение масло, находящееся в нижней полости корпуса прибора, куда оно поступает из верхней полости через радиальные отверстия полого вала. Создающееся в нижней полости повышенное за счет вращения давление измеряется пьезометром.
Определить высоту Н шкалы пьезометра, необходимую для измерения числа оборотов вала тахометра n = 300 об/мин, если диаметр диска D = 0,2 м. Влиянием зазора между диском и корпусом прибора пренебречь.
Ответ. H= 0,504 м.
Скачать решение задачи 4-11 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-12. Цилиндрический сосуд с закраиной, имеющий диаметр D = 400 мм и высоту H = 300 мм. предварительно целиком заполненный жидкостью, равномерно вращается относительно вертикальной оси, делая 200 об/мин. Какой объем жидкости может удержаться в сосуде при данном числе оборотов, если диаметр закраины d = 200 мм? Какой наибольший объем жидкости удержится в сосуде при сколь угодно большом числе оборотов?
Ответ W1=34,2л, W2= 28,3 л.
Скачать решение задачи 4-12 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-13. Найти число оборотов цилиндрического сосуда высотой H0 = 1,2 м и диаметром D = 0,8м, наполненного жидкостью до высоты H0/2, при котором жидкость поднимется до краев сосуда. Определить число оборотов сосуда, при котором в нем останется лишь половина первоначального объема жидкости.
Ответ, n1= 116 об/мин. n2 = 163,5 об/мин.
Скачать решение задачи 4-13 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-14. Тормозной шкив диаметром D1 = 800 мм и высотой H0=200 мм, вращающийся относительно вертикальной оси при n=120 об/мин, наполнен охлаждающей водой до предела, соответствующего данному числу оборотов.
1) Определить радиус rх сухой части дна, если D2 = 500 мм.
2) Силы, приложенные к верхнему и нижнему днищам.
3) На какой высоте х установится вода после остановки шкива.
Ответ. 1) rх = 194 мм. 2) Р1= 1180 Н; Р2= 1850 Н. 3) r = 137 мм.
Скачать решение задачи 4-14 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-15. Замкнутый цилиндр размерами R= 0,4 лг и H0 = 0,7 м содержит воду в количестве W = 0,25 м3 и вращается относительно вертикальной оси с угловой скоростью w = 10; 20 и 100 рад/с. Определить усилия, действующие при указанных оборотах на крышку цилиндра, если давление над водой равно атмосферному.
. Ответ. Р = 0,176 кН; 2,9 кН и 100 кН
Скачать решение задачи 4-15 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-16. Цилиндрический сосуд диаметром D = 690 мм и высотой H0 = 500 мм заполнен водой до Н = 400 мм. Остальной объем сосуда заполнен маслом (δ=0,8). Сосуд закрыт крышкой с малым отверстием в центре и приведен во вращение относительно центральной вертикальной оси. Определить, с какой угловой скоростью ш нужно вращать сосуд для того, чтобы поверхность раздела жидкостей коснулась дна сосуда. Найти усилия, действующие при этом на дно и крышку сосуда.
Ответ. w= 16,5 рад/с; Pкр = 1,51 кН; Рдно = 2,84 кН.
Скачать решение задачи 4-16 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Задача (Куколевский И.И.) 4-17. Цилиндрический сосуд диаметром D = 1,2 м, наполненный водой до высоты а = 0,6м в пьезометрах одинакового диаметра, установленных на крышке сосуда на расстояниях r1 = 0,2 м и r2 = 0,4 м от оси, вращается с числом оборотов n = 60 об/мин. Определить силу давления на крышку сосуда и указать, как она будет меняться качественно, если поочередно выключать пьезометры.
Ответ. Р = 8450 Н.
Скачать решение задачи 4-17 (Куколевский И.И.) (цена 80р)
Источник
В.Л.БУЛЫНИН,
ЦО № 17 ЦАО, г. Москва
Согласно школьной программе, законы
гидростатики изучаются лишь в 7-м классе,
возвращение к их изучению и закреплению в
дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи
на гидростатику относятся к весьма трудным и,
если в старших классах не было решено достаточно
подобных задач, то на вступительных экзаменах в
технические вузы ученик может столкнуться с
очень серьёзными, а то и непреодолимыми
трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет
своей целью дать школьнику и преподавателю
физики представление об уровне сложности
материала по этой теме.
Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Плотность раствора соли с глубиной меняется по
закону = 0 + Ah, где 0 = 1 г/см3, А =
0,01 г/см4. В раствор опущены два шарика,
связанные нитью такой длины, что расстояние
между центрами шариков не может превышать L = 5 см.
Объём каждого шарика V = 1 см3,
массы m1 = 1,2 г и m2 = 1,4 г.
На какой глубине находится каждый шарик?
Решение.
В силу симметрии шариков относительно
горизонтальной плоскости, пороходящей через их
центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на
уровне центра шарика. Запишем условие равновесия
для каждого из шариков и сложим уравнения:
где
Объединяя все уравнения, находим:
h2 = h1 + L.
Подставляя числовые данные, получаем:
h1 = 27,5 см; h2 = 32,5 см.
Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем
так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень,
лежавший вначале на поверхности воды, медленно
поднимают на высоту H = 15 м. Какую
работу пришлось на это затратить, если площадь
поршня 1 дм2, атмосферное давление p0 = 105 Па?
Массой поршня пренебречь.
Решение. Сила, которую надо
прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до Fmax = pS.
Зависимость этой силы от высоты столба поднятой
воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба
поднятой воды, S – площадь поршня.
Максимально возможная высота столба
воды, поднятой таким способом, h1 = 10 м,
при этом gh1 = p0.
График зависимости F = F(h)
изображён на рисунке. Очевидно, что работа по
подъёму поршня равна площади трапеции под
графиком F(h):
Подставив числовые данные, получаем A = 104 Дж.
Задача 3. Льдина площадью
1 м2 и толщиной 0,4 м плавает в воде.
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы
полностью погрузить льдину в воду? Плотность
льда 900 кг/м3, g = 10 м/с2.
Решение. Пусть в исходном
состоянии h – глубина погружения плавающей
льдины. Запишем условие равновесия и следствия
из него:
где в,
л –
плотности воды и льда соответственно, Vпогр
– объём погружённой части льдины, V – её
полный объём, Н – толщина льдины, h –
толщина погружённой части.
При погружении льдины сила нажима
линейно возрастает от нуля до Fmax,
совершая работу
Задача 4. Бетонная однородная
свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h,
большей, чем длины сваи l. Привязав трос к
одному концу сваи, её медленно вытаскивают из
воды так, что центр тяжести сваи поднимается на
высоту H от поверхности воды (H > l).
Какая работа совершается при подъёме сваи?
Плотность бетона в n раз больше плотности
воды. Силами сопротивления пренебречь.
Решение
1-й способ. Разобьём работу на три
этапа:
Подъём верхнего конца сваи до
поверхности воды:
– центр тяжести поднимается на высоту
– сила натяжения троса постоянна и
равна mg – FA;
– работа (плотность бетона, по условию, в n
раз больше плотности воды).
Подъём сваи на высоту l – такую,
чтобы нижний конец сваи касался поверхности
воды:
– сила натяжения троса линейно
возрастает от mg – FA до mg, и
работа этой силы равна
Наконец, подъём центра тяжести на
высоту H над поверхностью воды:
– сила натяжения троса постоянна и
равна mg;
– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на
предыдущем этапе).
Общая работа A = A1 + A2 + A3:
2-й способ. Применим закон
сохранения энергии. Работа равна изменению
энергии системы свая–вода. Потенциальная
энергия сваи возросла на mg(H + h).
Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего
слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём,
прежде занятый сваей. Отсюда:
Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В
сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости
плотностями (сверху вниз) , 2 и 3. Толщина этих слоёв
Н/3, H и H соответственно. На дне
сосуда лежит стержень из материала плотностью 6, массой m,
длиной H. Какую работу надо совершить,
поднимая стержень за один конец вертикально,
чтобы его верхний торец коснулся поверхности
жидкости плотностью ? Толщиной стержня пренебречь. Трение
отсутствует.
Решение
Пусть V – объём стержня, A1
– работа по подъёму стержня в жидкости
плотностью 3 в
вертикальное положение (подъём центра масс на
высоту H/2):
При перемещении стержня из жидкости
плотностью 3 до
верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется
от При этом
центр тяжести стержня перемещается на высоту H.
Следовательно, работа равна:
A3 – работа по подъёму части
стержня длиной
внутри жидкости плотностью 2 (при этом нижний конец стержня и
соответственно центр тяжести этой части стержня
поднимается на ):
A4 – работа по перемещению
части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :
Полная работа равна:
A = A1 + A2 + A3 + A4
=
где –
масса стержня.
Задача 6. Акселерометр
представляет собой изогнутую под прямым углом
трубку, заполненную маслом. Трубка располагается
в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в
горизонтальном направлении с ускорением a
уровни масла в коленах трубки соответственно
равны h1 = 8 см и h2 =
12 см. Найдите величину ускорения a.
Решение
Рассмотрим сосуд с жидкостью
(аквариум), который движется в горизонтальном
направлении с ускорением a. При
таком движении поверхность жидкости составляет
угол с
горизонтальной плоскостью, такой что
Такой же перепад высот имеет и
жидкость в трубке акселерометра, движущегося с
тем же ускорением. Получаем l = h2 + h1,
т.к., по условию, = 45°.
Задача 7 (НГУ). Вертикальный
цилиндрический сосуд радиусом R, частично
заполненный жидкостью, вращается вместе с
жидкостью вокруг своей оси.
К боковой стенке сосуда на нити длиной l
привязан воздушный шарик радиусом r; во
время вращения нить образует со стенкой угол . Найдите угловую
скорость вращения сосуда.
Решение
Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО1.
Внутри сосуда к оси OO1 в точке A
прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB,
по которому без трения может скользить муфта в
виде шара радиусом r. Шар связан с концом A
стержня пружиной жёсткостью k, длина которой
в нерастянутом состоянии равна L0.
Определите расстояние до центра шара от оси
вращения, если плотность материала шара в четыре
раза меньше плотности жидкости.
Решение
Направим ось X по направлению
стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO1.
По условию задачи, перемещение шара возможно
лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше
плотности жидкости, составляющая силы Архимеда
вдоль оси X больше составляющей силы mgэфф,
и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения,
сжимая пружину. Исходное положение центра шара L0 + r.
Пусть во время вращения центр шара находится на
расстоянии x от оси, при этом пружина сжата
на величину L0 + r – x.
Уравнение движения шара массой m по
окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m2x = Fц,
где сила Fц – результат сложения
горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости
сжатой пружины: Fупр = k(L
+ r – x).
Если –
плотность материала шара, то
Отсюда получаем:
По условию, В итоге получаем ответ:
Задача 9 (НГУ). Цилиндрический
космический корабль радиусом R вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью . Бассейн в корабле имеет
глубину H, а дном бассейна служит боковая
стенка корабля. Определите плотность плавающей в
бассейне палочки длиной l < H,
если из воды выступает её верхняя часть длиной .
Решение
Во вращающейся неинерциальной системе
отсчёта роль силы тяжести играет центробежная
сила инерции Fц = m2r, где r –
расстояние элемента массы m от оси вращения.
Центр масс погружённой части палочки находится
от оси вращения на расстоянии
Сила Архимеда, действующая на
погружённую часть палочки длиной l – , равна FA
= ж2rц(l
– )S, где ж – плотность
жидкости (воды), S – площадь поперечного
сечения палочки.
Центр масс всей палочки находится от
оси вращения на расстоянии
Условие плавания палочки: P = FA,
где P – вес палочки.
где –
плотность палочки;
Приравняв P и FА,
находим плотность палочки:
Вячеслав Леонидович Булынин окончил
физический факультет Ленинградского
государственного университета в 1964 г. и по 1992
г. работал в научно-исследовательских институтах
в области прикладной сверхпроводимости. С
1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию,
математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель
высшей квалификационной категории, методист ЦО
№ 17. Автор двух пособий по физике, изданных
«Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и
задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к
государственному экзамену». Женат, имеет двух
дочерей.
Источник