Давление газа пропорционально объему сосуда
Воздух (или инертный газ), находящийся в запечатанном пакете с печеньем, расширяется, когда продукт поднят на значительную высоту над уровнем моря (ок. 2000 м)
Зако́н Бо́йля — Марио́тта — один из основных газовых законов, экспериментально установленный в 1662 году Робертом Бойлем и независимо переоткрытый Эдмом Мариоттом в 1676 году[1]. Описывает поведение газа в изотермическом процессе. С точки зрения современной физики закон представляет собой следствие уравнения Клапейрона — Менделеева[2].
Формулировки[править | править код]
Утверждение закона Бойля — Мариотта состоит в следующем[3][4][5]:
При постоянных температуре и массе газа произведение давления газа на его объём постоянно.
В математической форме это утверждение записывается в виде формулы
где — давление газа; — объём газа, а — постоянная в оговоренных условиях величина. В общем случае значение определяется химической природой, массой и температурой газа.
Очевидно, что если индексом 1 обозначить величины, относящиеся к начальному состоянию газа, а индексом 2 — к конечному, то приведённую формулу можно записать в виде
.
Из сказанного и приведённых формул следует вид зависимости давления газа от его объёма в изотермическом процессе:
Эта зависимость представляет собой другое, эквивалентное первому, выражение содержания закона Бойля — Мариотта[4][5]
. Она означает, что
Давление некоторой массы газа, находящегося при постоянной температуре, обратно пропорционально его объёму.
Тогда связь начального и конечного состояний газа, участвовавшего в изотермическом процессе, можно выразить в виде:
Следует отметить, что применимость этой и приведённой выше формулы, связывающей начальные и конечные давления и объёмы газа друг с другом, не ограничивается случаем изотермических процессов. Формулы остаются справедливыми и в тех случаях, когда в ходе процесса температура изменяется, но в результате процесса конечная температура оказывается равной начальной.
Важно уточнить, что данный закон справедлив только в тех случаях, когда рассматриваемый газ можно считать идеальным. В частности, с высокой точностью закон Бойля — Мариотта выполняется применительно к разреженным газам. Если же газ сильно сжат, то наблюдаются существенные отступления от этого закона.
Закон Бойля — Мариотта, закон Шарля и закон Гей-Люссака, дополненные законом Авогадро, являются достаточной основой для получения уравнения состояния идеального газа.
Следствия[править | править код]
Закон Бойля — Мариотта утверждает, что давление газа в изотермическом процессе обратно пропорционально занимаемому газом объёму. Если учесть, что плотность газа[6] также обратно пропорциональна занимаемому им объёму, то мы придём к заключению:
При изотермическом процессе давление газа изменяется прямо пропорционально его плотности.
Известно, что сжимаемость, то есть способность газа изменять свой объём под действием давления, характеризуется коэффициентом сжимаемости[7]. В случае изотермического процесса говорят об изотермическом коэффициенте сжимаемости, который определяется формулой
где индекс T означает, что частная производная берётся при постоянной температуре. Подставляя в эту формулу выражение для связи давления и объёма из закона Бойля — Мариотта, получаем[5]:
Таким образом, приходим к выводу:
Изотермический коэффициент сжимаемости идеального газа равен обратной величине его давления.
См. также[править | править код]
- Закон Гей-Люссака
- Закон Шарля
- Закон Авогадро
- Идеальный газ
- Уравнение состояния идеального газа
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Петрушевский Ф. Ф. Бойля-Мариотта закон // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Источник
Давление является одним из трех основных термодинамических макроскопических параметров любой газовой системы. В данной статье рассмотрим формулы давления газа в приближении идеального газа и в рамках молекулярно-кинетической теории.
Идеальные газы
Каждый школьник знает, что газ является одним из четырех (включая плазму) агрегатных состояний материи, в котором частицы не имеют определенных положений и движутся хаотичным образом во всех направлениях с одинаковой вероятностью. Исходя из такого строения, газы не сохраняют ни объем, ни форму при малейшем внешнем силовом воздействии на них.
В любом газе средняя кинетическая энергия его частиц (атомов, молекул) больше, чем энергия межмолекулярного взаимодействия между ними. Кроме того, расстояния между частицами намного превышают их собственные размеры. Если молекулярными взаимодействиями и размерами частиц можно пренебречь, тогда такой газ называется идеальным.
В идеальном газе существует лишь единственный вид взаимодействия – упругие столкновения. Поскольку размер частиц пренебрежимо мал в сравнении с расстояниями между ними, то вероятность столкновений частица-частица будет низкой. Поэтому в идеальной газовой системе существуют только столкновения частиц со стенками сосуда.
Все реальные газы с хорошей точностью можно считать идеальными, если температура в них выше комнатной, и давление не сильно превышает атмосферное.
Причина возникновения давления в газах
Прежде чем записать формулы расчета давления газа, необходимо разобраться, почему оно возникает в изучаемой системе.
Согласно физическому определению, давление – это величина, равная отношению силы, которая перпендикулярно воздействует на некоторую площадку, к площади этой площадки, то есть:
P = F/S
Выше мы отмечали, что существует только один единственный тип взаимодействия в идеальной газовой системе – это абсолютно упругие столкновения. В результате них частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. Для этого случая применим второй закон Ньютона:
F*Δt = Δp
Именно сила F приводит к появлению давления на стенки сосуда. Сама величина F от столкновения одной частицы является незначительной, однако количество частиц огромно (≈ 1023), поэтому они в совокупности создают существенный эффект, который проявляется в виде наличия давления в сосуде.
Формула давления газа идеального из молекулярно-кинетической теории
При объяснении концепции идеального газа выше были озвучены основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Эта теория основывается на статистической механике. Развита она была во второй половине XIX века такими учеными, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, хотя ее основы заложил еще Бернулли в первой половине XVIII века.
Согласно статистике Максвелла-Больцмана, все частицы системы движутся с различными скоростями. При этом существует малая доля частиц, скорость которых практически равна нулю, и такая же доля частиц, имеющих огромные скорости. Если вычислить среднюю квадратичную скорость, то она примет некоторую величину, которая в течение времени остается постоянной. Средняя квадратичная скорость частиц однозначно определяет температуру газа.
Применяя приближения МКТ (невзаимодействующие безразмерные и хаотично перемещающиеся частицы), можно получить следующую формулу давления газа в сосуде:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь N – количество частиц в системе, V – объем, v – средняя квадратичная скорость, m – масса одной частицы. Если все указанные величины определены, то, подставив их в единицах СИ в данное равенство, можно рассчитать давление газа в сосуде.
Формула давления из уравнения состояния
В середине 30-х годов XIX века французский инженер Эмиль Клапейрон, обобщая накопленный до него экспериментальный опыт по изучению поведения газов во время разных изопроцессов, получил уравнение, которое в настоящее время называется универсальным уравнением состояния идеального газа. Соответствующая формула имеет вид:
P*V = n*R*T
Здесь n – количество вещества в молях, T – температура по абсолютной шкале (в кельвинах). Величина R называется универсальной газовой постоянной, которая была введена в это уравнение русским химиком Д. И. Менделеевым, поэтому записанное выражение также называют законом Клапейрона-Менделеева.
Из уравнения выше легко получить формулу давления газа:
P = n*R*T/V
Равенство говорит о том, что давление линейно возрастает с температурой при постоянном объеме и увеличивается по гиперболе с уменьшением объема при постоянной температуре. Эти зависимости отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.
Если сравнить это выражение с записанной выше формулой, которая следует из положений МКТ, то можно установить связь между кинетической энергией одной частицы или всей системы и абсолютной температурой.
Давление в газовой смеси
Отвечая на вопрос о том, как найти давление газа и формулы, мы ничего не говорили о том, является ли газ чистым, или речь идет о газовой смеси. В случае формулы для P, которая следует из уравнения Клапейрона, нет никакой связи с химическим составом газа, в случае же выражения для P из МКТ эта связь присутствует (параметр m). Поэтому при использовании последней формулы для смеси газов становится непонятным, какую массу частиц выбирать.
Когда необходимо рассчитать давление смеси идеальных газов, следует поступать одним из двух способов:
- Рассчитывать среднюю массу частиц m или, что предпочтительнее, среднее значение молярной массы M, исходя из атомных процентов каждого газа в смеси;
- Воспользоваться законом Дальтона. Он гласит, что давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.
Пример задачи
Известно, что средняя скорость молекул кислорода составляет 500 м/с. Необходимо определить давление в сосуде объемом 10 литров, в котором находится 2 моль молекул.
Ответ на задачу можно получить, если воспользоваться формулой для P из МКТ:
P = N*m*v2/(3*V)
Здесь содержатся два неудобных для выполнения расчетов параметра – это m и N. Преобразуем формулу следующим образом:
m = M/NA;
n = N/NA;
m*N = M*n;
P = M*n*v2/(3*V)
Объем сосуда в кубических метрах равен 0,01 м3. Молярная масса молекулы кислорода M равна 0,032 кг/моль. Подставляя в формулу эти значения, а также величины скорости v и количества вещества n из условия задачи, приходим к ответу: P = 533333 Па, что соответствует давлению в 5,3 атмосферы.
Источник
Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев
Темы кодификатора ЕГЭ: изопроцессы — изотермический, изохорный, изобарный процессы.
На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными. Иными словами, мы считаем, что:
• , то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;
• , то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация — распад молекул на атомы).
Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.
Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева — Клапейрона).
Термодинамический процесс (или просто процесс) — это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров — давления, объёма и температуры.
Особый интерес представляют изопроцессы — термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.
1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: .
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: .
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: .
Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.
Изотермический процесс
Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре . В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.
Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны , а во втором — . Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:
Как мы сказали с самого начала,масса и молярная масса предполагаются неизменными.
Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:
(1)
Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:
(2)
Данное утверждение называется законом Бойля — Мариотта.
Записав закон Бойля — Мариотта в виде
(3)
можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.
Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки — давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.
Графики изотермического процесса
Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат .
График изотермического процесса называется изотермой.
Изотерма на -диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости .
Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции ). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1.
Рис. 1. Изотерма на -диаграмме
Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на –диаграмме.
В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2). Первый процесс идёт при температуре , второй — при температуре .
Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма
Фиксируем некоторое значение объёма . На первой изотерме ему отвечает давление , на второй — . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, .
В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси (рис. 3):
Рис. 3. Изотермы на и -диаграммах
Изобарный процесс
Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.
Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня и поперечное сечение поршня , то давление газа всё время постоянно и равно
где — атмосферное давление.
Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении . Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны и .
Выпишем уравнения состояния:
Поделив их друг на друга, получим:
В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):
(4)
А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:
(5)
Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре:
(6)
Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.
Графики изобарного процесса
График изобарного процесса называется изобарой. На -диаграмме изобара является прямой линией (рис. 4):
Рис. 4. Изобара на -диаграмме
Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.
Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на –диаграмме.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями и (рис. 5):
Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление
Зафиксируем некоторое значение температуры . Мы видим, что . Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).
Стало быть, .
В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 6):
Рис. 6. Изобары на и -диаграммах
Изохорный процесс
Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.
Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).
Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом . Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами и . Имеем:
Делим эти уравнения друг на друга:
Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:
(7)
Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:
(8)
Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре:
(9)
Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.
Графики изохорного процесса
График изохорного процесса называется изохорой. На -диаграмме изохора является прямой линией (рис. 7):
Рис. 7. Изохора на -диаграмме
Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.
Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на –диаграмме (рис. 8):
Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём
Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру и видим, что . Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, .
В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 9):
Рис. 9. Изохоры на и -диаграммах
Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами.
Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.
Источник