Давление газа в закрытом сосуде чем больше

В жизни мы встречаем газообразное состояние вещества, когда чувствуем запахи. Запах очень легко распространяется, потому что газ не имеет ни формы, ни объема (он занимает весь предоставленный ему объем), состоит из хаотично движущихся молекул, расстояние между которыми больше, чем размеры молекул.

Агрегатных состояния точно три?

На самом деле, есть еще четвертое – плазма. Звучит, как что-то из научной фантастики, но это просто ионизированный газ – газ, в котором помимо нейтральных частиц, есть еще и заряженные. Ионизаторы воздуха как раз строятся на принципе перехода из газообразного вещества в плазму.

Давление газа

Мы только что выяснили, что молекулы газа беспорядочно движутся. Во время движения они сталкиваются друг с другом, а также со стенками сосуда, в котором этот газ находится. Поскольку молекул много, ударов тоже много.

Например, в комнате, в которой вы сейчас находитесь, на каждый квадратный сантиметр за 1 с молекулами воздуха наносится столько ударов, что их количество выражается двадцати трехзначным числом.

Хотя сила удара отдельной молекулы мала, действие всех молекул о стенки сосуда приводит к значительному давлению. Это как если бы один комар толкал машину, то она бы и не сдвинулась с места, а вот пару сотен миллионов комаров вполне себе способны эту машину сдвинуть.

Зависимость давления от других величин

Зависимость давления от объема

В механике есть формула давления, которая показывает: давление прямо пропорционально силе и обратно пропорционально площади, на которую эта сила оказывается.

Давление

p = F/S

p – давление [Па]

F – сила [Н]

S – площадь [м^2]

То есть, если наши двести миллионов комаров будут толкать легковую машину, они распределятся по меньшей площади, чем если бы они толкали грузовой автомобиль (просто потому что легковая меньше грузовика).

Из формулы давления следует, что давление на легковой автомобиль будет больше из-за меньшей площади.

Давайте рассмотрим аналогичный пример с двумя сосудами разной площади.

Давление в левом сосуде будет больше, чем во втором, по аналогичной схеме – потому что площадь меньше. Но если площадь основания меньше, то и объем меньше. Это значит, что давление будет зависеть от объема следующим образом: чем больше объем, тем меньше давление – и наоборот.

При этом зависимость будет не линейная, а примет вот такой вид (при условии, что температура постоянна):

Такая зависимость называется законом Бойля-Мариотта.

Она экспериментально проверяется с помощью такой установки.

Объем шприца увеличивают с помощью насоса, а манометр измеряет давление. Эксперимент показывает, что при увеличении объема давление действительно уменьшается.

Зависимость давления от температуры

Рассмотрим зависимость давления газа от температуры при условии неизменного объема определенной массы газа. Эти исследования были впервые произведены в Жаком Шарлем.

Газ нагревался в большой колбе, соединенной с ртутным манометром в виде узкой изогнутой трубки. Пренебрегая ничтожным увеличением объема колбы при нагревании и незначительным изменением объема при смещении ртути в узкой манометрической трубке.

Таким образом, можно считать объем газа неизменным. Подогревая воду в сосуде, окружающем колбу, измеряли температуру газа по термометру, а соответствующее давление – по манометру.

Этот эксперимент показал, что давление газа увеличивается с увеличением температуры. Это связано с тем, что при нагревании молекулы газа движутся быстрее, из-за чего чаще ударяются о стенки сосуда.

С температурой все проще. Зависимость давления от температуры при постоянных объеме и массе будет линейно:

Эта зависимость называется законом Шарля.

Хранение и транспортировка газов

Если нужно перевезти значительное количество газа из одного места в другое, или когда газы необходимо длительно хранить – их помещают в специальные прочные металлические сосуды. Из-за того, что при уменьшении объема увеличивается давление, газ можно закачать в небольшой баллон, но он должен быть очень прочным.

Сосуды, предназначенные для транспортировки газов, выдерживают высокие давления. Поэтому с помощью специальных насосов (компрессоров) туда можно закачать значительные массы газа, которые в обычных условиях занимали бы в сотни раз больший объем.

Поскольку давление газов в баллонах даже при комнатной температуре очень велико, их ни в коем случае нельзя нагревать. Например, держать под прямыми лучами солнца или любым способом пытаться сделать в них отверстие, даже после использования.

Понимать и любить этот мир проще, когда разбираешься в физике. В этом помогут небезразличные и компетентные преподаватели онлайн-школы Skysmart.

Чтобы формулы и задачки ожили и стали более дружелюбными, на уроках мы разбираем примеры из обычной жизни современных подростков. Приходите на бесплатный вводный урок по физике и начните учиться в удовольствие уже завтра!

Источник

5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа

5.4.2. Уравнение состояния для газа в закрытом сосуде

При рассмотрении идеального газа, находящегося в закрытом сосуде (баллоне), необходимо учитывать, что изменение термодинамических параметров происходит при постоянной массе газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде, необходимо учитывать следующее:

• масса газа, находящегося в закрытом сосуде, вследствие изменения его термодинамических параметров не изменяется:

m = const;

• объем газа, заполняющего сосуд определенного объема, также фиксирован: V = const;
• постоянными также остаются следующие параметры газа:

ρ = const; ν = const; n = const;

где ρ – плотность газа; ν – количество вещества (газа); n – концентрация молекул (атомов) газа.

Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде и изменяющего свое состояние, уравнение Менделеева – Клапейрона записывается в виде системы (рис. 5.8):Рис. 5.8

p 1 V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , }

где p 1, T 1 – давление и температура газа в начальном состоянии; p 2, T 2 – давление и температура газа в конечном состоянии; V – объем баллона; ν – количество газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Термин избыточное давление, встречающийся в задачах об идеальном газе в закрытом сосуде (баллоне), означает абсолютную разность между давлением газа, находящегося в сосуде, и давлением на стенки сосуда снаружи:

p изб = |p − p 0|,

где p – давление газа, находящегося внутри сосуда; p 0 – давление (атмосферное либо гидростатическое) на стенки сосуда снаружи.

Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м3 на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?

Решение. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:

• в начале нагревания

p 1V = νRT 1;

• в конце нагревания

p 2V = νRT 2;

где p 1 – первоначальное давление газа в баллоне; p 2 – давление газа в баллоне в конце нагревания; V – объем газа (баллона), V = const; ν – количество вещества (газа) в баллоне; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в начале процесса; T 2 – температура газа в конце процесса.

Отношение уравнений

p 1 V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

позволяет определить давление газа в конце процесса:

p 2 = p 1 T 2 T 1 .

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p 2 − p 0 | ,

где p 0 – давление снаружи баллона; p 2 – давление газа внутри баллона.

При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:

• снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) –

p 0 = p атм + p гидр = p атм + ρ0gh,

где p атм – атмосферное давление; p гидр – гидростатическое давление, p гидр = ρ0gh; ρ0 – плотность воды; g – модуль ускорения свободного падения; h – глубина погружения баллона;

• внутри (давление газа) –

p 2 = p 1 T 2 T 1 ,

где T 2 – максимальная температура газа (искомая величина).

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h − p атм | ≈ | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h | ,

так как p атм << ρ0gh, p атм << p 2.

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h , p изб max = ρ 0 g h − p 1 T 2 T 1 ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h + p изб max p 1 , T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h − p изб max p 1 .

Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

T 2 = 300 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 150 ⋅ 10 6 120 ⋅ 10 6 = 400 К.

Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.

Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?

Решение. Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:

p V = m M R T ,

где p – давление углекислого газа в бутылке; V – объем газа (бутылки); m – масса углекислого газа в бутылке; M – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа.

Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:

p = m R T V M .

В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой

p изб max = | p − p 0 | ,

где p 0 – давление снаружи бутылки.

Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:

• снаружи (атмосферное давление) – p 0;
• внутри (давление углекислого газа) –

p = m R T V M ,

где m соответствует искомой величине – максимальной массе углекислого газа.

Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает

p изб max = | m R T V M − p 0 | .

Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:

p изб max = m R T V M − p 0 , p изб max = p 0 − m R T V M ,

из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:

m = V M ( p 0 + p изб max ) R T , m = V M ( p 0 − p изб max ) R T .

Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:

m = 0,75 ⋅ 10 − 3 ⋅ 44,0 ⋅ 10 − 3 ( 100 + 150 ) ⋅ 10 3 8,31 ⋅ 300 = 3,3 ⋅ 10 − 3 кг = 3,3 г .

Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.

Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм3, чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.

Решение. Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.

Необходимое количество газа заполняет следующий объем:

• в начале процесса (до заполнения оболочки)

V 1 = NV бал,

где N – количество баллонов; V бал – объем одного баллона, V бал = 4,0 л;

• в конце процесса (после заполнения оболочки)

V 2 = NV бал + V обол,

где V обол – объем оболочки, V обол = 800 дм3.

Указанное количество газа находится при давлении:

• в начале процесса (до заполнения оболочки) –

p 1 = 500 кПа

и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;

• в конце процесса (после заполнения оболочки) –

p 2 = 100 кПа

и совпадает с давлением в оболочке.

Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:

• в начале процесса (до заполнения оболочки) –

p 1V 1 = νRT,

где ν – количество вещества (газа) в оболочке; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);

• в конце процесса (после заполнения оболочки) –

p 2V 2 = νRT.

Равенство

p 1V 1 = p 2V 2,

записанное в явном виде

p 1NV бал = p 2(NV бал + V обол),

позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:

N = V обол V бал ⋅ p 2 p 1 − p 2 .

Произведем расчет:

N = 800 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ( 500 − 100 ) ⋅ 10 3 = 50 .

Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.

Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?

Решение. Силы (сила тяжести m g → и сила Архимеда F → A ), действующие на аэростат, показаны на рисунке.

Подъемная сила – это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:

F → под = F → A + m g → ,

где F → A – сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; m g → – сила тяжести; m – масса газа, заполняющего оболочку аэростата; g → – ускорение свободного падения.

В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:

• при заполнении оболочки азотом –

F под1 = F A1 − m 1g,

где F A1 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F A1 = ρ0gV 1; ρ0 – плотность воздуха; V 1 – объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 1 – масса азота, заполняющего оболочку, m 1 = ρ1V 1; ρ1 – плотность азота;

• при заполнении оболочки водородом –

F под2 = F A2 − m 2g,

где F A2 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F A2 = ρ0gV 2; V 2 – объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 2 – масса водорода, заполняющего оболочку, m 2 = ρ2V 2; ρ2 – плотность водорода.

Искомой величиной является отношение

F под 2 F под 1 = F A 2 − m 2 g F A 1 − m 1 g .

С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом (V 1 = V 2), указанное отношение принимает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 g V 2 − ρ 2 V 2 g ρ 0 g V 1 − ρ 1 V 1 g = ( ρ 0 − ρ 2 ) V 2 g ( ρ 0 − ρ 1 ) V 1 g = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 .

Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:

• для воздуха

ρ 0 = M 0 V μ 0 ,

где M 0 – молярная масса воздуха; V µ0 – молярный объем воздуха;

• для азота

ρ 1 = M 1 V μ 1 ,

где M 1 – молярная масса азота; V µ1 – молярный объем азота;

• для водорода

ρ 2 = M 2 V μ 2 ,

где M 2 – молярная масса водорода; V µ2 – молярный объем водорода.

Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:

V µ0 = V µ1 = V µ2 = V µ.

Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид

F под 2 F под 1 = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 = M 0 − M 2 M 0 − M 1 .

Расчет дает значение:

F под 2 F под 1 = 29 ⋅ 10 − 3 − 2,0 ⋅ 10 − 3 29 ⋅ 10 − 3 − 28 ⋅ 10 − 3 = 27 .

При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.

Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм3, а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.

Решение. Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:

• сила Архимеда

F A = ρ0gV,

где ρ0 – плотность воздуха, окружающего шар; g – модуль ускорения свободного падения; V – объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);

• сила тяжести

mg = (m обол + m возд)g,

где m обол – масса оболочки; m возд – масса воздуха в оболочке, m возд = ρV; ρ – плотность воздуха внутри оболочки.

Шар взлетает, когда выполняется равенство

F → A + m g → = 0,

или, в проекции на вертикальную ось, –

F A − mg = 0.

Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)

F A = mg

с учетом записанных выше выражений

ρ0gV = (m обол + m возд)g, или (ρ0 − ρ)V = m обол.

Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:

• для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

p 0 = ρ 0 R T 1 M ,

где p 0 – атмосферное давление; ρ0 – плотность воздуха снаружи оболочки; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура окружающего шар воздуха; M – молярная масса воздуха;

• для воздуха внутри оболочки воздушного шара

p = ρ R T 2 M ,

где p – давление воздуха внутри оболочки; ρ – плотность воздуха внутри оболочки; T 2 – температура воздуха внутри оболочки.

Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому

p = p 0.

Плотности:

• для воздуха снаружи оболочки воздушного шара

ρ 0 = p 0 M R T 1 ;

• для воздуха внутри оболочки воздушного шара

ρ = p 0 M R T 2 .

Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:

( 1 T 1 − 1 T 2 ) p 0 M V R = m обол .

Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как

T 2 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол ,

а искомая разность –

Δ T = T 2 − T 1 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол − T 1 = T 1 p 0 M V R T 1 m обол − 1 .

Произведем вычисление:

Δ T = 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 29,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 830 ⋅ 10 − 3 8,31 ⋅ 300 ⋅ 333 ⋅ 10 − 3 − 1 = 158 К.

Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.

Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.

Решение. За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.

Указанное количество воздуха имеет следующий объем:

• воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –

V 1 = NV нас,

где V нас – объем насоса, V нас = 0,150 л; N – количество качаний;

• воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, –

V 2 = V мяч,

где V мяч – объем камеры мяча, V мяч = 3,00 л.

Данное количество воздуха находится при следующем давлении:

• воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –

p 1 = 100 кПа

совпадает с атмосферным давлением;

• воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, – p 2 (является искомой величиной).

Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:

• для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, –

p 1V 1 = νRT,

где R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);

• для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, –

p 2V 2 = νRT.

Равенство

p 1V 1 = p 2V 2,

записанное в явном виде

p 1NV нас = p 2V мяч,

позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:

p 2 = p 1 N V нас V мяч .

Произведем вычисление:

p 2 = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 30 ⋅ 0,15 ⋅ 10 − 3 3,00 ⋅ 10 − 3 = 150 ⋅ 10 3 Па = 150 кПа.

Источник