Давление идеального газа в закрытом сосуде равно 40
Физика
При рассмотрении идеального газа, находящегося в закрытом сосуде (баллоне), необходимо учитывать, что изменение термодинамических параметров происходит при постоянной массе газа.
Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде, необходимо учитывать следующее:
- масса газа, находящегося в закрытом сосуде, вследствие изменения его термодинамических параметров не изменяется:
- объем газа, заполняющего сосуд определенного объема, также фиксирован: V = const;
- постоянными также остаются следующие параметры газа:
ρ = const; ν = const; n = const;
где ρ – плотность газа; ν – количество вещества (газа); n – концентрация молекул (атомов) газа.
Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде и изменяющего свое состояние, уравнение Менделеева – Клапейрона записывается в виде системы (рис. 5.8):
Рис. 5.8
p 1 V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , >
где p 1 , T 1 – давление и температура газа в начальном состоянии; p 2 , T 2 – давление и температура газа в конечном состоянии; V – объем баллона; ν – количество газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).
Термин избыточное давление , встречающийся в задачах об идеальном газе в закрытом сосуде (баллоне), означает абсолютную разность между давлением газа, находящегося в сосуде, и давлением на стенки сосуда снаружи:
где p – давление газа, находящегося внутри сосуда; p 0 – давление (атмосферное либо гидростатическое) на стенки сосуда снаружи.
Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м 3 на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?
Решение . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:
где p 1 – первоначальное давление газа в баллоне; p 2 – давление газа в баллоне в конце нагревания; V – объем газа (баллона), V = const; ν – количество вещества (газа) в баллоне; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в начале процесса; T 2 – температура газа в конце процесса.
p 1 V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2
позволяет определить давление газа в конце процесса:
В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой
p изб max = | p 2 − p 0 | ,
где p 0 – давление снаружи баллона; p 2 – давление газа внутри баллона.
При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:
- снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) –
p 0 = p атм + p гидр = p атм + ρ 0 gh ,
где p атм – атмосферное давление; p гидр – гидростатическое давление, p гидр = ρ 0 gh ; ρ 0 – плотность воды; g – модуль ускорения свободного падения; h – глубина погружения баллона;
где T 2 – максимальная температура газа (искомая величина).
Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает
p изб max = | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h − p атм | ≈ | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h | ,
так как p атм 0 gh , p атм p 2 .
Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:
p изб max = p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h , p изб max = ρ 0 g h − p 1 T 2 T 1 ,
из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:
T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h + p изб max p 1 , T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h − p изб max p 1 .
Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:
T 2 = 300 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 150 ⋅ 10 6 120 ⋅ 10 6 = 400 К.
Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.
Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?
Решение . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:
где p – давление углекислого газа в бутылке; V – объем газа (бутылки); m – масса углекислого газа в бутылке; M – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа.
Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:
В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой
p изб max = | p − p 0 | ,
где p 0 – давление снаружи бутылки.
Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:
- снаружи (атмосферное давление) – p 0 ;
- внутри (давление углекислого газа) –
где m соответствует искомой величине – максимальной массе углекислого газа.
Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает
p изб max = | m R T V M − p 0 | .
Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:
p изб max = m R T V M − p 0 , p изб max = p 0 − m R T V M ,
из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:
m = V M ( p 0 + p изб max ) R T , m = V M ( p 0 − p изб max ) R T .
Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:
m = 0,75 ⋅ 10 − 3 ⋅ 44,0 ⋅ 10 − 3 ( 100 + 150 ) ⋅ 10 3 8,31 ⋅ 300 = 3,3 ⋅ 10 − 3 кг = 3,3 г .
Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.
Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм 3 , чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.
Решение . Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.
Необходимое количество газа заполняет следующий объем:
- в начале процесса (до заполнения оболочки)
где N – количество баллонов; V бал – объем одного баллона, V бал = 4,0 л;
- в конце процесса (после заполнения оболочки)
V 2 = NV бал + V обол ,
где V обол – объем оболочки, V обол = 800 дм 3 .
Указанное количество газа находится при давлении:
- в начале процесса (до заполнения оболочки) –
и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;
- в конце процесса (после заполнения оболочки) –
и совпадает с давлением в оболочке.
Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:
- в начале процесса (до заполнения оболочки) –
где ν – количество вещества (газа) в оболочке; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);
- в конце процесса (после заполнения оболочки) –
записанное в явном виде
p 1 NV бал = p 2 ( NV бал + V обол ),
позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:
N = V обол V бал ⋅ p 2 p 1 − p 2 .
N = 800 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ( 500 − 100 ) ⋅ 10 3 = 50 .
Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.
Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?
Решение . Силы (сила тяжести m g → и сила Архимеда F → A ), действующие на аэростат, показаны на рисунке.
Подъемная сила – это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:
где F → A – сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; m g → – сила тяжести; m – масса газа, заполняющего оболочку аэростата; g → – ускорение свободного падения.
В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:
- при заполнении оболочки азотом –
F под1 = F A1 − m 1 g ,
где F A1 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F A1 = ρ 0 g V 1 ; ρ 0 – плотность воздуха; V 1 – объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 1 – масса азота, заполняющего оболочку, m 1 = ρ 1 V 1 ; ρ 1 – плотность азота;
- при заполнении оболочки водородом –
F под2 = F A2 − m 2 g ,
где F A2 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F A2 = ρ 0 g V 2 ; V 2 – объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 2 – масса водорода, заполняющего оболочку, m 2 = ρ 2 V 2 ; ρ 2 – плотность водорода.
Искомой величиной является отношение
F под 2 F под 1 = F A 2 − m 2 g F A 1 − m 1 g .
С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом ( V 1 = V 2 ), указанное отношение принимает вид
F под 2 F под 1 = ρ 0 g V 2 − ρ 2 V 2 g ρ 0 g V 1 − ρ 1 V 1 g = ( ρ 0 − ρ 2 ) V 2 g ( ρ 0 − ρ 1 ) V 1 g = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 .
Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:
где M 0 – молярная масса воздуха; V µ0 – молярный объем воздуха;
где M 1 – молярная масса азота; V µ1 – молярный объем азота;
где M 2 – молярная масса водорода; V µ2 – молярный объем водорода.
Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:
V µ0 = V µ1 = V µ2 = V µ .
Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид
F под 2 F под 1 = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 = M 0 − M 2 M 0 − M 1 .
Расчет дает значение:
F под 2 F под 1 = 29 ⋅ 10 − 3 − 2,0 ⋅ 10 − 3 29 ⋅ 10 − 3 − 28 ⋅ 10 − 3 = 27 .
При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.
Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм 3 , а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.
Решение . Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:
где ρ 0 – плотность воздуха, окружающего шар; g – модуль ускорения свободного падения; V – объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);
mg = ( m обол + m возд ) g ,
где m обол – масса оболочки; m возд – масса воздуха в оболочке, m возд = ρ V ; ρ – плотность воздуха внутри оболочки.
Шар взлетает, когда выполняется равенство
или, в проекции на вертикальную ось, –
Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)
с учетом записанных выше выражений
ρ 0 gV = ( m обол + m возд ) g , или (ρ 0 − ρ) V = m обол .
Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:
- для воздуха снаружи оболочки воздушного шара
где p 0 – атмосферное давление; ρ 0 – плотность воздуха снаружи оболочки; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура окружающего шар воздуха; M – молярная масса воздуха;
- для воздуха внутри оболочки воздушного шара
где p – давление воздуха внутри оболочки; ρ – плотность воздуха внутри оболочки; T 2 – температура воздуха внутри оболочки.
Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому
- для воздуха снаружи оболочки воздушного шара
- для воздуха внутри оболочки воздушного шара
Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:
( 1 T 1 − 1 T 2 ) p 0 M V R = m обол .
Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как
T 2 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол ,
а искомая разность –
Δ T = T 2 − T 1 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол − T 1 = T 1 p 0 M V R T 1 m обол − 1 .
Δ T = 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 29,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 830 ⋅ 10 − 3 8,31 ⋅ 300 ⋅ 333 ⋅ 10 − 3 − 1 = 158 К.
Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.
Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.
Решение . За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.
Указанное количество воздуха имеет следующий объем:
- воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –
где V нас – объем насоса, V нас = 0,150 л; N – количество качаний;
- воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, –
где V мяч – объем камеры мяча, V мяч = 3,00 л.
Данное количество воздуха находится при следующем давлении:
- воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –
совпадает с атмосферным давлением;
- воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, – p 2 (является искомой величиной).
Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:
- для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, –
где R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);
- для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, –
записанное в явном виде
p 1 NV нас = p 2 V мяч ,
позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:
p 2 = p 1 N V нас V мяч .
p 2 = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 30 ⋅ 0,15 ⋅ 10 − 3 3,00 ⋅ 10 − 3 = 150 ⋅ 10 3 Па = 150 кПа.
Источник
Источник
Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по физике
Вариант 1
Часть 1
При выполнении заданий части 1 запишите номер выполняемого задания, а затем ответ. Единицы физических величин писать не нужно.
| 1.На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Какой путь пройден телом за вторую секунду? |
2.Камень массой 1 кг брошен вертикально вверх. В начальный момент его энергия равна 200 Дж. На какую максимальную высоту поднимется камень? Сопротивлением воздуха пренебречь.
3. Давление идеального газа в закрытом сосуде было равно 40 кПа. При неизменной температуре концентрацию молекул газа увеличили в 3 раза. Определите давление газа в конечном состоянии.
| 4. На рисунке представлено расположение двух неподвижных точечных электрических зарядов: +q и -q (q>0). Как направлен ( вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор напряженности суммарного электрического поля этих зарядов в точке А? Ответ запишите словом (словами). Ответ: _____ . |
5.Участок цепи состоит из трех последовательно соединенных резисторов, сопротивления которых равны 10 Ом, 20 Ом и 30 Ом. Каким должно быть сопротивление четвертого резистора, добавленного в этот участок последовательно к первым трем, чтобы суммарное сопротивление участка увеличилось в 2 раза?
| 6.По проводнику течёт постоянный электрический ток. Величина заряда, проходящего через проводник, возрастает с течением времени согласно графику. Чему равна сила тока в проводнике? |
7.Прямолинейный проводник длиной 0,2 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 4 Тл и расположен под углом 30 0 к вектору индукции. Чему равен модуль силы, действующей на проводник со стороны магнитного поля при силе тока в нем 2 А?
8.В закрытом сосуде находится идеальный газ. Как при охлаждении сосуда с газом изменятся величины: давление газа, его плотность и внутренняя энергия?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Давление газа | Плотность газа | Внутренняя энергия газа |
| ? | ? | ? |
Часть 2
При выполнении заданий части 2 запишите номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
9.Сколько времени потребуется электрическому нагревателю, чтобы довести до кипения 2,2 кг воды, начальная температура которой 10 °С? Сила тока в нагревателе 7 А, напряжение в сети 220 В, КПД нагревателя равен 45%.
Вариант 2
Часть 1
При выполнении заданий части 1 запишите номер выполняемого задания, а затем ответ. Единицы физических величин писать не нужно.
| 1.По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 с. |
2.Тележка движется со скоростью 3 м/с. Её кинетическая энергия равна 27 Дж. Какова масса тележки?
3.Давление идеального газа в закрытом сосуде было равно 40 кПа. Концентрацию молекул газа уменьшили в 2 раза, одновременно увеличив его температуру в 3 раза. Определите давление газа в конечном состоянии.
| 4.На рисунке представлено расположение двух неподвижных точечных электрических зарядов: +q и -2q (q>0). Как направлен ( вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор напряженности суммарного электрического поля этих зарядов в точке А? Ответ запишите словом (словами). Ответ: _____ . |
5.Участок цепи состоит из четырех последовательно соединенных резисторов, сопротивления которых равны 1 Ом, 2 Ом и 3 Ом и 4 Ом. Каким должно быть сопротивление пятого резистора, добавленного в этот участок последовательно к первым четырем, чтобы суммарное сопротивление участка увеличилось в 3 раза?
| 6.По проводнику течёт постоянный электрический ток. Величина заряда, проходящего через проводник, возрастает с течением времени согласно графику. Чему равна сила тока в проводнике? Ответ: _____ А. |
7.Прямолинейный проводник длиной 0,1 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 8 Тл и расположен под углом 30 0 к вектору индукции. Чему равен модуль силы, действующей на проводник со стороны магнитного поля при силе тока в нем 5 А?
8.В сосуде под поршнем находится идеальный газ. Если при нагревании газа его давление остается постоянным, то как изменятся величины: объем газа, его плотность и внутренняя энергия?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.
| Объем газа | Плотность газа | Внутренняя энергия газа |
| ? | ? | ? |
Часть 2
При выполнении заданий части 2 запишите номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.
9.Чему равна масса воды, которую нагревают от 20 до 100 °С с помощью электронагревателя мощностью 500 Вт в течение 35 мин, если известно, что КПД нагревателя 64%?
Инструкция по проверке и оценке работ учащихся по физике
Вариант 1
Часть 1
| Номер задания | ||||||||
| Правильный ответ | влево | 0,75 | 0,8 | |||||
| Баллы | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;Н | 0;1;2;Н |
За полный правильный ответ на 8 задание ставится 2 балла, 1 балл – допущена одна ошибка; за неверный ответ (более одной ошибки) – 0 баллов.
Часть 2
9.Сколько времени потребуется электрическому нагревателю, чтобы довести до кипения 2,2 кг воды, начальная температура которой 10 °С? Сила тока в нагревателе 7 А, напряжение в сети 220 В, КПД нагревателя равен 45%.
Решение.
КПД нагревателя – есть отношение теплоты Q1, поглощённой водой к теплотеQ2, выделившейся на нагревателе за то же время:
, где ; . Имеем
За полный и правильный ответ ставится 3 балла, 2 балла – допущена ошибка в математических преобразованиях или вычислениях, 1 балл – записаны и использованы не все исходные формулы, необходимые для решения задачи, или записаны все исходные формулы, но в одной из них допущена ошибка.
Источник
Физика
При рассмотрении идеального газа, находящегося в закрытом сосуде (баллоне), необходимо учитывать, что изменение термодинамических параметров происходит при постоянной массе газа.
Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде, необходимо учитывать следующее:
- масса газа, находящегося в закрытом сосуде, вследствие изменения его термодинамических параметров не изменяется:
- объем газа, заполняющего сосуд определенного объема, также фиксирован: V = const;
- постоянными также остаются следующие параметры газа:
ρ = const; ν = const; n = const;
где ρ – плотность газа; ν – количество вещества (газа); n – концентрация молекул (атомов) газа.
Для идеального газа, находящегося в закрытом сосуде и изменяющего свое состояние, уравнение Менделеева – Клапейрона записывается в виде системы (рис. 5.8):
Рис. 5.8
p 1 V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , >
где p 1 , T 1 – давление и температура газа в начальном состоянии; p 2 , T 2 – давление и температура газа в конечном состоянии; V – объем баллона; ν – количество газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).
Термин избыточное давление , встречающийся в задачах об идеальном газе в закрытом сосуде (баллоне), означает абсолютную разность между давлением газа, находящегося в сосуде, и давлением на стенки сосуда снаружи:
где p – давление газа, находящегося внутри сосуда; p 0 – давление (атмосферное либо гидростатическое) на стенки сосуда снаружи.
Пример 13. Баллон рассчитан на максимальное избыточное давление 150 МПа. В него накачали газ при температуре 300 К до давления 120 МПа. Постепенно нагревая газ, баллон погружают в воду плотностью 1000 кг/м 3 на глубину 1000 м. До какой максимальной температуры можно нагреть газ в баллоне, чтобы он не взорвался?
Решение . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для двух состояний газа, находящегося в баллоне:
где p 1 – первоначальное давление газа в баллоне; p 2 – давление газа в баллоне в конце нагревания; V – объем газа (баллона), V = const; ν – количество вещества (газа) в баллоне; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в начале процесса; T 2 – температура газа в конце процесса.
p 1 V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2
позволяет определить давление газа в конце процесса:
В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой
p изб max = | p 2 − p 0 | ,
где p 0 – давление снаружи баллона; p 2 – давление газа внутри баллона.
При погружении баллона в воду с одновременным нагреванием указанные давления снаружи и внутри баллона определяются следующими формулами:
- снаружи (сумма атмосферного и гидростатического давлений) –
p 0 = p атм + p гидр = p атм + ρ 0 gh ,
где p атм – атмосферное давление; p гидр – гидростатическое давление, p гидр = ρ 0 gh ; ρ 0 – плотность воды; g – модуль ускорения свободного падения; h – глубина погружения баллона;
где T 2 – максимальная температура газа (искомая величина).
Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает
p изб max = | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h − p атм | ≈ | p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h | ,
так как p атм 0 gh , p атм p 2 .
Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:
p изб max = p 1 T 2 T 1 − ρ 0 g h , p изб max = ρ 0 g h − p 1 T 2 T 1 ,
из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:
T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h + p изб max p 1 , T 2 = T 1 ⋅ ρ 0 g h − p изб max p 1 .
Максимальному значению искомой температуры соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:
T 2 = 300 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 1000 + 150 ⋅ 10 6 120 ⋅ 10 6 = 400 К.
Чтобы баллон не взорвался, его можно погрузить на заданную глубину, одновременно нагревая до температуры 400 К.
Пример 14. Бутылка емкостью 0,75 л выдерживает максимальное избыточное давление 150 кПа. Из бутылки откачивают воздух и запечатывают некоторое количество твердого углекислого газа с молярной массой 44,0 г/моль. Атмосферное давление равно 100 кПа. Считая, что объем твердого углекислого газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом бутылки, найти его максимальную массу, которая не вызовет взрыва бутылки при температуре 300 К?
Решение . Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для углекислого газа, находящегося в бутылке, после его превращения в газообразное состояние:
где p – давление углекислого газа в бутылке; V – объем газа (бутылки); m – масса углекислого газа в бутылке; M – молярная масса углекислого газа; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа.
Записанное уравнение позволяет получить выражение для расчета давления газа внутри бутылки:
В условии задачи задано максимальное избыточное давление, определяемое формулой
p изб max = | p − p 0 | ,
где p 0 – давление снаружи бутылки.
Указанные давления снаружи и внутри бутылки определяются следующим образом:
- снаружи (атмосферное давление) – p 0 ;
- внутри (давление углекислого газа) –
где m соответствует искомой величине – максимальной массе углекислого газа.
Подстановка выражений для давлений внутри и снаружи баллона в формулу для избыточного давления дает
p изб max = | m R T V M − p 0 | .
Данное уравнение содержит модуль разности, что приводит к двум независимым уравнениям:
p изб max = m R T V M − p 0 , p изб max = p 0 − m R T V M ,
из которых следуют две формулы для расчета искомой величины:
m = V M ( p 0 + p изб max ) R T , m = V M ( p 0 − p изб max ) R T .
Максимальному значению искомой массы соответствует значение, рассчитанное по первой формуле:
m = 0,75 ⋅ 10 − 3 ⋅ 44,0 ⋅ 10 − 3 ( 100 + 150 ) ⋅ 10 3 8,31 ⋅ 300 = 3,3 ⋅ 10 − 3 кг = 3,3 г .
Чтобы бутылка не взорвалась, в нее можно запечатать не более 3,3 г твердого углекислого газа.
Пример 15. В наличии имеется неограниченное количество баллонов объемом по 4,0 л, заполненных некоторым идеальным газом до давления 500 кПа. Баллоны предназначены для наполнения газом оболочки аэрозонда и их можно соединять между собой. Сколько баллонов с газом необходимо одновременно подсоединить к пустой оболочке аэрозонда объемом 800 дм 3 , чтобы наполнить ее до давления 100 кПа, равного атмосферному? Температура газа при заполнении оболочки не изменяется.
Решение . Для осуществления процесса, описанного в условии задачи, требуется определенное количество газа ν.
Необходимое количество газа заполняет следующий объем:
- в начале процесса (до заполнения оболочки)
где N – количество баллонов; V бал – объем одного баллона, V бал = 4,0 л;
- в конце процесса (после заполнения оболочки)
V 2 = NV бал + V обол ,
где V обол – объем оболочки, V обол = 800 дм 3 .
Указанное количество газа находится при давлении:
- в начале процесса (до заполнения оболочки) –
и совпадает с давлением газа в каждом из баллонов;
- в конце процесса (после заполнения оболочки) –
и совпадает с давлением в оболочке.
Считая процесс заполнения газом оболочки аэрозонда изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:
- в начале процесса (до заполнения оболочки) –
где ν – количество вещества (газа) в оболочке; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);
- в конце процесса (после заполнения оболочки) –
записанное в явном виде
p 1 NV бал = p 2 ( NV бал + V обол ),
позволяет получить формулу для вычисления искомого числа баллонов:
N = V обол V бал ⋅ p 2 p 1 − p 2 .
N = 800 ⋅ 10 − 3 4,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 ( 500 − 100 ) ⋅ 10 3 = 50 .
Следовательно, для заполнения оболочки до указанного давления необходимо 50 баллонов с газом.
Пример 16. Аэростат, оболочка которого заполнена азотом с молярной массой 28 г/моль, находится в воздухе. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль. Массы гондолы и оболочки аэростата пренебрежимо малы. Во сколько раз возрастет подъемная сила аэростата, если азот в его оболочке заменить на водород с молярной массой 2,0 г/моль, не изменяя при этом объем аэростата?
Решение . Силы (сила тяжести m g → и сила Архимеда F → A ), действующие на аэростат, показаны на рисунке.
Подъемная сила – это векторная сумма силы тяжести и силы Архимеда:
где F → A – сила Архимеда, действующая на оболочку со стороны воздуха; m g → – сила тяжести; m – масса газа, заполняющего оболочку аэростата; g → – ускорение свободного падения.
В проекциях на вертикальную ось подъемная сила определяется следующими выражениями:
- при заполнении оболочки азотом –
F под1 = F A1 − m 1 g ,
где F A1 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки азотом, F A1 = ρ 0 g V 1 ; ρ 0 – плотность воздуха; V 1 – объем оболочки аэростата при заполнении ее азотом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 1 – масса азота, заполняющего оболочку, m 1 = ρ 1 V 1 ; ρ 1 – плотность азота;
- при заполнении оболочки водородом –
F под2 = F A2 − m 2 g ,
где F A2 – модуль силы Архимеда, действующей на оболочку аэростата при заполнении оболочки водородом, F A2 = ρ 0 g V 2 ; V 2 – объем оболочки аэростата при заполнении ее водородом (объем воздуха, вытесненного оболочкой); m 2 – масса водорода, заполняющего оболочку, m 2 = ρ 2 V 2 ; ρ 2 – плотность водорода.
Искомой величиной является отношение
F под 2 F под 1 = F A 2 − m 2 g F A 1 − m 1 g .
С учетом записанных выражений для сил Архимеда, масс азота и водорода, а также равенства объемов оболочки при заполнении ее азотом и водородом ( V 1 = V 2 ), указанное отношение принимает вид
F под 2 F под 1 = ρ 0 g V 2 − ρ 2 V 2 g ρ 0 g V 1 − ρ 1 V 1 g = ( ρ 0 − ρ 2 ) V 2 g ( ρ 0 − ρ 1 ) V 1 g = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 .
Плотности воздуха, азота и водорода определим как отношения:
где M 0 – молярная масса воздуха; V µ0 – молярный объем воздуха;
где M 1 – молярная масса азота; V µ1 – молярный объем азота;
где M 2 – молярная масса водорода; V µ2 – молярный объем водорода.
Молярные объемы (объемы одного моля) воздуха, азота и водорода равны между собой, так как газы находятся при одних и тех же условиях:
V µ0 = V µ1 = V µ2 = V µ .
Поэтому формула для расчета искомого отношения приобретает вид
F под 2 F под 1 = ρ 0 − ρ 2 ρ 0 − ρ 1 = M 0 − M 2 M 0 − M 1 .
Расчет дает значение:
F под 2 F под 1 = 29 ⋅ 10 − 3 − 2,0 ⋅ 10 − 3 29 ⋅ 10 − 3 − 28 ⋅ 10 − 3 = 27 .
При замене азота на водород в оболочке аэростата его подъемная сила возрастет в 27 раз.
Пример 17. Воздушный шар с температурой 300 К находится в воздухе при атмосферном давлении 100 кПа. Молярная масса воздуха составляет 29,0 г/моль. Объем воздушного шара равен 830 дм 3 , а масса его оболочки равна 333 г. На сколько градусов необходимо нагреть газ в оболочке, чтобы шар взлетел? Воздух в оболочке шара сообщается с атмосферой.
Решение . Силы, действующие на воздушный шар, показаны на рисунке:
где ρ 0 – плотность воздуха, окружающего шар; g – модуль ускорения свободного падения; V – объем оболочки шара (объем вытесненного оболочкой воздуха);
mg = ( m обол + m возд ) g ,
где m обол – масса оболочки; m возд – масса воздуха в оболочке, m возд = ρ V ; ρ – плотность воздуха внутри оболочки.
Шар взлетает, когда выполняется равенство
или, в проекции на вертикальную ось, –
Преобразуем равенство (условие равновесия шара в воздухе)
с учетом записанных выше выражений
ρ 0 gV = ( m обол + m возд ) g , или (ρ 0 − ρ) V = m обол .
Входящие в равенство плотности воздуха не известны, но фигурируют в качестве параметра в уравнении состояния:
- для воздуха снаружи оболочки воздушного шара
где p 0 – атмосферное давление; ρ 0 – плотность воздуха снаружи оболочки; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура окружающего шар воздуха; M – молярная масса воздуха;
- для воздуха внутри оболочки воздушного шара
где p – давление воздуха внутри оболочки; ρ – плотность воздуха внутри оболочки; T 2 – температура воздуха внутри оболочки.
Давления воздуха внутри и снаружи оболочки воздушного шара одинаковы, так как воздух, находящийся в оболочке, сообщается с атмосферой; поэтому
- для воздуха снаружи оболочки воздушного шара
- для воздуха внутри оболочки воздушного шара
Подставим выражения для плотностей в условие равновесия шара в воздухе:
( 1 T 1 − 1 T 2 ) p 0 M V R = m обол .
Температура воздуха внутри оболочки, при которой шар начинает взлетать, определяется как
T 2 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол ,
а искомая разность –
Δ T = T 2 − T 1 = p 0 M V T 1 p 0 M V − R T 1 m обол − T 1 = T 1 p 0 M V R T 1 m обол − 1 .
Δ T = 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 29,0 ⋅ 10 − 3 ⋅ 830 ⋅ 10 − 3 8,31 ⋅ 300 ⋅ 333 ⋅ 10 − 3 − 1 = 158 К.
Следовательно, чтобы воздушный шар начал взлетать, воздух в его оболочке необходимо нагреть на 158 К, или 158 °С.
Пример 18. Камеру футбольного мяча объемом 3,00 л накачивают с помощью насоса, забирающего из атмосферы 0,150 л воздуха при каждом качании. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Определить давление в камере после 30 качаний, если первоначально она была пустой. Температура постоянна.
Решение . За N качаний насос забирает из атмосферы определенное количество воздуха ν. Это же количество воздуха попадает в камеру футбольного мяча.
Указанное количество воздуха имеет следующий объем:
- воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –
где V нас – объем насоса, V нас = 0,150 л; N – количество качаний;
- воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, –
где V мяч – объем камеры мяча, V мяч = 3,00 л.
Данное количество воздуха находится при следующем давлении:
- воздух, забранный из атмосферы за N качаний насоса, –
совпадает с атмосферным давлением;
- воздух, накачанный в камеру футбольного мяча, – p 2 (является искомой величиной).
Считая процесс заполнения воздухом камеры мяча изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:
- для воздуха, забранного из атмосферы за N качаний насоса, –
где R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);
- для воздуха, накачанного в камеру футбольного мяча, –
записанное в явном виде
p 1 NV нас = p 2 V мяч ,
позволяет получить формулу для вычисления давления в камере футбольного мяча:
p 2 = p 1 N V нас V мяч .
p 2 = 100 ⋅ 10 3 ⋅ 30 ⋅ 0,15 ⋅ 10 − 3 3,00 ⋅ 10 − 3 = 150 ⋅ 10 3 Па = 150 кПа.
Источник
Источник