Давление молекул на стенки сосуда

§ 7. Основное уравнение кинетической теории газов

Величина, измеряемая силой, действующей перпендикулярно на единицу площади поверхности тела, называется давлением.

Согласно определению, давлении Ниже приводятся единицы давления и соотношения между ними:

1 н/м2, 1 атм, 1 ат, 1 мм рт. ст.

1 атм = 760 мм рт. ст. = 1,01*105н/м2.

1 ат = 9,81*104н/м2.

1 мм рт. ст. = 133 н/м2.

Давление газа на стенки сосуда – это сила, действующая перпендикулярно на единицу площади последнего. Причиной давления являются удары молекул о стенки сосуда. Сила удара одной молекулы пренебрежительно мала, но большое число ударов огромного количества молекул создает заметное давление газа на стенки сосуда. Выведем упрощенно формулу, по которой вычисляется давление идеального газа на стенки сосуда.

Допустим, что имеется прямоугольный цилиндр с поршнем, который может двигаться без трения (рис. 8).

Рис. 8. К выводу основного уравнения кинетической теории газов

Давление газа на поршень Найдем общую силу удара F молекул о поршень. Для этого первоначально по второму закону Ньютона найдем силу одного удара одной молекулы о поршень: F1 = Ma, где М – масса поршня, а – ускорение, с которым будет двигаться поршень. Умножив силу F1 на число молекул, движущихся вдоль оси Y, найдем общую силу удара молекул о поршень.

Пусть на покоящийся поршень летит перпендикулярно к нему молекула с массой m и скоростью v. За время продолжительности удара t скорость поршня изменится от v0 = 0 до v1, и он получает ускорение

Так как поршень движется очень медленно, а молекула очень быстро, то можно некоторое время пренебрегать увеличением расстояния t и считать что удары молекулы о поршень следуют друг за другом через равные промежутки времени в течение которого происходит изменение скорости v1,

До удара молекулы сумма импульсов ее и поршня равна mv. Удар молекулы о поршень вполне упругий, поэтому после удара она будет иметь импульс -mv. а поршень Mv1. Сумма их импульсов: -mv + Mv1. По закону сохранения импульса mv = -mv + Mv1 или 2mv = Mv1.

Отсюда скорость, которую получил поршень, C каждым новым ударом молекулы поршень через равные промежутки времени t будет увеличивать свою скорость на величину 2mv/M. Тогда ускорение поршня

Сила одного удара молекулы о поршень о

Ввиду хаотичности движения молекул по всем трем направлениям осей координат движется одинаковое количество молекул. Из общего числа n всех молекул 1/3 двигалась прямолинейно между поршнем и противоположной ему стенкой, 1/3 молекул – между верхней и нижней стенками и 1/3 – между дальней и ближней стенками. Все три направления одинаково вероятны.

Тогда сила давления молекул на поршень

или

Давление газа на поршень

где lS = V – объем газа.

Тогда

Здесь – число молекул в единице объема газа. Следовательно

где v – средняя квадратичная скорость.

Эта формула называется основным уравнением кинетической теории идеального газа для давления. Давление газа равно 1/3 произведения массы молекулы, числа молекул в единице объема и квадрату средней квадратичной скорости молекулы газа.

Задача 1. Из баллона лампы накаливания воздух откачан до 10-4 мм рт. ст. Сколько молекул газа осталось в баллоне, если его емкость 100 см3? Среднюю квадратичную скорость молекул считать 400 м/сек.

тогда

Если масса одного киломоля μ, и число Авогадро NA, то масса одной молекулы Тогда

Вычислим

Отв.: n = 5,1*1014 молекул.

Источник

Макеты страниц

Стенки сосуда, в котором заключен газ, подвергаются непрерывной бомбардировке молекулами. В результате элементу стенки сообщается за секунду некоторый импульс, который равен силе, действующей на . Отношение этой силы к величине дает давление, оказываемое газом на стенки сосуда. Вследствие хаотичности движения молекул давление газа на различные участки стенок сосуда одинаково (разумеется, при условии, что газ находится в равновесном состоянии).

Если предположить, что молекулы отскакивают от стенки по закону зеркального отражения величина скорости молекулы не изменяется, то импульс, сообщаемый при ударе стенке молекулой, будет равен (рис. 96.1; – масса молекулы). Этот импульс направлен по нормали к площадке. Каждая из молекул (см. (95.2)) сообщает стенке импульс а все эти молекулы – импульс

Просуммируем полученное выражение по направлениям в пределах телесного угла (отвечающего изменениям Ф от 0 до и изменениям от 0 до .

Рис. 96.1.

В результате получим импульс, сообщаемый молекулами, скорости которых имеют величину от v до

(мы подставили выражение (94.4) для Интегрирование по дает интеграл по равен 1/3. Следовательно,

Проинтегрировав это выражение по скоростям от 0 до получим полный импульс, сообщаемый площадке за время

Выражение

представляет собой среднее значение квадрата скорости молекул. Заменив в (96.1) интеграл произведением получим, что

есть число молекул в единице объема). Наконец, разделив это выражение на и получим давление газа на стенки сосуда:

Масса всех молекул по предположению одинакова. Поэтому ее можно внести под знак среднего. В результате выражение (96.2) примет вид

где – среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул.

Получим выражение для давления, исходя из упрощенных представлений, которые привели нас к формуле (95.7). Согласно этим представлениям каждая молекула сообщает стенке при ударе импульс Умножив этот импульс на число ударов (см. (95.7)), получим импульс, сообщаемый единичной площадке в единицу времени, т. е. давление.

Таким образом, получается формула

Эта формула отличается от (96.2) тем, что вместо среднего квадрата скорости стоит квадрат средней скорости Впоследствии (см. § 97) мы убедимся в том, что эти две величины отличаются друг от друга, т. е.

При более аккуратном подсчете нужно число молекул, определяемое формулой (95.8), умножить на и затем произвести суммирование по всем V. В результате получится импульс, сообщаемый площадке за время

Разделив это выражение на и получим для давления формулу (96-2). Таким образом, исходя из упрощенного представления о движении молекул вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, мы получили точное выражение для давления. Это объясняется тем, что указанное упрощение приводит, с одной стороны, к занижению числа ударов молекул о стенку вместо см. (95.6) и (95.7)), а с другой – к завышению импульса, передаваемого стенке при каждом ударе. При упрощенном выводе мы принимали, что при каждом ударе стенке сообщается импульс, равный . В действительности же величина сообщаемого стенке импульса зависит от угла вследствие чего средний импульс, сообщаемый при одном ударе, равен . В итоге обе неточности взаимно компенсируют друг друга и, несмотря на упрощенность рассмотрения, получается точное выражение для давления.

Источник

Давление газа – что это за параметр

Определение

Давление в физике представляет собой один из трех ключевых термодинамических макроскопических характеристик для измерения любой газовой системы.

Определение

Газ – это одно из четырех, включая плазму, агрегатных состояний материи, характеризующееся очень слабыми связями между составляющими его частицами, а также их большой подвижностью.

В газообразной среде частицы в определенной концентрации расположены не упорядоченно и перемещаются в хаотичном порядке в разных направлениях с одинаковой вероятностью. Подобное строение не позволяет газам сохранять стабильность объема и формы даже при малом внешнем силовом воздействии. Для любого газа, включая одноатомный, значение средней кинетической энергии его частиц в виде атомов и молекул будет превышать энергию межмолекулярного взаимодействия между ними.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Кроме того, расстояние, на которое удалены частицы, значительно превышает их собственные размеры. В том случае, когда молекулярными взаимодействиями и габаритами частиц допускается пренебрегать, газ считают идеальным. Для такой формы материи характерен только один тип внутреннего взаимодействия в виде упругих столкновений. Так как размер частиц пренебрежимо мал по сравнению с расстоянием, на которое они удалены, вероятность столкновений частиц между собой будет низкой.

Примечание

По этой причине в идеальной газовой среде можно наблюдать лишь столкновения частиц со стенками сосуда. Какой-либо реальный газ с хорошей точностью можно отнести к идеальному, когда их температура выше, чем комнатная, а давление несущественно больше, чем атмосферное.

Причина возникновения давления в газах

Давление газа нельзя объяснить теми же причинами, что и давление твердого тела на опору. Расстояние, на которое удалены молекулы газообразной среды, существенно больше. В результате хаотичного движения они сталкиваются между собой и со стенками сосуда, который они занимают. Давление газа на стенки сосуда и вызвано ударами его молекул.

Данный параметр увеличивается по мере того, как нарастает сила ударов молекул о стенки. Газ характеризуется одинаковым давлением во всех направлениях, которое является следствием хаотичного движения огромного числа молекул.

Примечание

Важно отметить, что газ оказывает давление на дно и стенки сосуда, объем которого он занимает, во всех направления равномерно. В связи с этим, воздушный шарик сохраняет форму, несмотря на то, что его оболочка достаточно эластична.

Перед тем как транспортировать или отправить на хранение газообразные вещества, их сильно сжимают. В этом случае давление газа увеличивается. Его помещают в специальные баллоны из стали высокой прочности. Такие емкости необходимы для хранения сжатого воздуха на подводных лодках и кислорода, предназначенного для сварки металлов.

Свойства давления газа:

1. Если объем уменьшается, то давление газа возрастает, а во время увеличения объема, давление будет снижаться при постоянных величинах массы и температуры вещества.
2. Газ, находящийся в закрытом сосуде, характеризуется давлением, которое возрастает по мере увеличения температуры вещества при условии постоянства его массы и объема.
3. В том случае, когда масса газа увеличивается, его давление также будет возрастать и наоборот.

Запись формул для определения давления газа начинают с выяснения причин, по которым оно возникает в рассматриваемой системе. Исходя из физического смысла, давление представляет собой величину, равную отношению силы, перпендикулярно воздействующей на некоторое основание, к площади этого основания:

(P=frac{F}{S})

Как было отмечено ранее, для идеальной газовой системы характерен лишь один тип взаимодействия – это абсолютно упругие столкновения. В процессе частицы передают количество движения Δp стенкам сосуда в течение времени соударения Δt. В данном случае применим второй закон Ньютона:

(F*Δt = Δp)

Таким образом, конкретно сила F является причиной формирования давления на стенки сосуда. Данная величина F, производимая одной частицей, незначительна. Однако, когда количество частиц огромно, они в совокупности создают ощутимый эффект, проявляемый в виде наличия давления в сосуде.

Формула давления идеального газа из молекулярно-кинетической теории

Объяснение концепции идеального газа построено на основных положениях молекулярно-кинетической теории, которая вытекает из принципов статистической механики. Наука получила активное развитие во второй половине XIX, благодаря таким ученым, как Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман. Основы дисциплины были заложены еще Бернулли в первой половине XVIII века.

Исходя из статистики Максвелла-Больцмана, все частицы в системе обладают разными скоростями движения. При этом можно наблюдать небольшой процент частиц со скоростями, приближенными к нулю, и малую долю частиц, обладающих огромной скоростью. Средняя квадратичная скорость в этом случае будет соответствовать некоторой величине, не изменяющейся с течением времени.

Средняя квадратичная скорость частиц однозначно характеризует температуру газа. Используя приближения молекулярно-кинетической теории в виде невзаимодействующих безразмерных и хаотично движущихся частиц, получают формулу для расчета давления газа в сосуде:

(P=frac{N*m*v^{2}}{3*V})

где N является количеством частиц в системе; V обозначает объем; v представляет собой среднюю квадратичную скорость; m является массой одной частицы.

При наличии указанных в формуле параметров, выраженных в единицах СИ, можно вычислить давление газа в сосуде.

Второй способ записи основного уравнения МКТ

Определение

В середине 30-х годов XIX столетия французскому инженеру Эмилю Клапейрону удалось обобщить накопленный до этого времени экспериментальный опыт изучения поведения газов во время разнообразных изопроцессов и получить формулу, которую в будущем назвали универсальным уравнением состояния идеального газа:

(P*V = n*R*T )

n является количеством вещества в молях; T представляет собой температуру по абсолютной шкале и обозначается в кельвинах.

Величина R является универсальной газовой постоянной. Этот термин был введен в уравнение русским химиком Д.И. Менделеевым. Исходя из этого, запись уравнения называют законом Клапейрона-Менделеева.

Определение

С помощью данного выражения можно определить формулу для расчета давления газа:

(P=frac{n*R*T}{V})

Полученное уравнение объясняет линейный рост давления при увеличении температуры в условиях стабильности объема. Если объем уменьшается с сохранением температуры, то давление увеличивается по гиперболе. Данные закономерности явления отражены в законах Гей-Люссака и Бойля-Мариотта.

Сравнивая представленное выражение с записью формулы, которая вытекает из положений молекулярно-кинетической теории, можно установить связь кинетической энергии одной частицы, либо системы в общем, и абсолютной температуры.

Важно отметить, что при расчетах с использованием формулы для Р, вытекающей из уравнения Клапейрона, связь с химическим составом газа отсутствует. Если давление определяют с помощью выражения, согласно понятию молекулярно-кинетической теории, то данную связь следует учитывать в виде параметра m. В том случае, когда определяют давление смеси идеальных газов, применяют один из следующих методов:

1. Расчет средней массы частиц m, либо среднего значения молярной массы М с учетом атомных процентов каждого газа в смеси.
2. Применение закона Дальтона, согласно которому давление в системе равно сумме парциальных давлений всех ее компонентов.

Пример

Предположим, что молекулы кислорода движутся со средней скоростью в 500 м/с. Требуется рассчитать, каково давление в сосуде, объем которого равен 10 литров, содержащий 2 моль молекул.

Для того чтобы найти ответ, следует применить формулу для Р из молекулярно-кинетической теории:

(P=frac{N*m*v^{2}}{3*V})

Из-за неизвестных параметров m и N требуется выполнить некоторые преобразования формулы:

(m=frac{M}{NA})

(n=frac{N}{NA})

(m*N= M*n)

(P=frac{M*n*v^{2}}{3*V})

Таким образом, удельный объем сосуда в кубических метрах равен 0,01. Молярная масса молекулы кислорода М составляет 0,032 кг/моль. Данные параметры можно подставить в уравнение вместе со скоростью и количеством вещества. Тогда Р = 533333 Па, что представляет собой давление в 5,3 атмосферы.

Источник