Давление на свободной поверхности в закрытом сосуде равно

Абсолютное и избыточное давление

Давление, отсчитываемое от абсолютного нуля, называется абсолютным давлением и обозначается pабс. Абсолютный нуль давления означает полное отсутствие сжимающих напряжений.

В открытых сосудах или водоемах давление на поверхности равно атмосферному pатм. Разность между абсолютным давлением pабс и атмосферным pатм называется избыточным давлением

Когда давление в какой-либо точке, расположенной в объеме жидкости, больше атмосферного, то есть

, то избыточное давление положительно и его называют манометрическим.

Если давление в какой-либо точке оказывается ниже атмосферного, то есть

, то избыточное давление отрицательно. В этом случае его называют разрежениемили вакуумметрическим давлением. За величину разрежения или вакуума принимается недостаток до атмосферного давления:

Максимальный вакуум возможен, если абсолютное давление станет равным давлению насыщенного пара, то есть pабс = pн.п. Тогда

В случае если давлением насыщенного пара можно пренебречь, имеем

Единицей измерения давления в СИ является паскаль (1 Па = 1 Н/м 2 ), в технической системе – техническая атмосфера (1 ат = 1 кГ/см 2 = 98,1 кПа). При решении технических задач атмосферное давление принимается равным 1 ат = 98,1 кПа.

Манометрическое (избыточное) и вакуумметрическое (разрежение) давление часто измеряются с помощью стеклянных, открытых сверху трубок – пьезометров, присоединяемых к месту измерения давления (рис. 2.5).

Пьезометры измеряют давление в единицах высоты подъема жидкости в трубке. Пусть трубка пьезометра присоединена к резервуару на глубине h1 от поверхности жидкости в нем. Высота подъема жидкости в трубке пьезометра определяется давлением жидкости в точке присоединения. Давление в резервуаре на глубине h1 определится из основного закона гидростатики в форме (2.5)

,

где

– абсолютное давление в точке присоединения пьезометра;

– абсолютное давление на свободной поверхности жидкости.

Давление в трубке пьезометра (открытой сверху) на глубине h равно

.

Из условия равенства давлений в точке присоединения со стороны резервуара и в пьезометрической трубке получаем

Если абсолютное давление на свободной поверхности жидкости больше атмосферного (p > pатм) (рис. 2.5.а), то избыточное давление будет манометрическим, и высота подъема жидкости в трубке пьезометра h > h1. В этом случае высоту подъема жидкости в трубке пьезометра называют манометрической или пьезометрической высотой.

Манометрическое давление в этом случае определится как

.

Если абсолютное давление на свободной поверхности в резервуаре будет меньше атмосферного (рис. 2.5.б), то в соответствии с формулой (2.6) высота подъема жидкости в трубке пьезометра h будет меньше глубины h1. Величину, на которую опустится уровень жидкости в пьезометре относительно свободной поверхности жидкости в резервуаре, называют вакуумметрической высотой hвак (рис. 2.5.б).

Рассмотрим еще один интересный опыт. К жидкости, находящейся в закрытом резервуаре, на одинаковой глубине присоединены две вертикальные стеклянные трубки: открытая сверху (пьезометр) и запаянная сверху (рис. 2.6).

Будем считать, что в запаянной трубке создано полное разряжение, то есть давление на поверхности жидкости в запаянной трубке равно нулю. (Строго говоря, давление над свободной поверхностью жидкости в запаянной трубке равно давлению насыщенных паров, но ввиду его малости при обычных температурах, этим давлением можно пренебречь).

В соответствии с формулой (2.6) жидкость в запаянной трубке поднимется на высоту, соответствующую абсолютному давлению на глубине h 1:

.

А жидкость в пьезометре, как показано ранее, поднимется на высоту, соответствующую избыточному давлению на глубине h 1.

Вернемся к основному уравнению гидростатики (2.4). Величина H, равная

где z – расстояние по вертикали от рассматриваемой точки до некоторой плоскости сравнения, называется гидростатическим напором в некоторой точке объема жидкости относительно плоскости сравнения.

Если в выражении (2.7) давление равно избыточному (p = pизб), то величина

называется пьезометрическим напором.

Как следует из формул (2.7), (2.8), напор измеряется в метрах.

Согласно основному уравнению гидростатики (2.4) как гидростатический, так и пьезометрический напоры в покоящейся жидкости относительно произвольно выбранной плоскости сравнения являются постоянными величинами. Для всех точек объема покоящейся жидкости гидростатический напор одинаков. То же самое можно сказать и про пьезометрический напор.

Это значит, что если к резервуару с покоящейся жидкостью подключить на разной высоте пьезометры, то уровни жидкости во всех пьезометрах установятся на одинаковой высоте в одной горизонтальной плоскости, называемой пьезометрической.

Поверхности уровня

Во многих практических задачах бывает важно определить вид и уравнение поверхности уровня.

Поверхностью уровня или поверхностью равного давления называется такая поверхность в жидкости, давление во всех точках которой одно и то же, то есть на такой поверхности dp = 0.

Так как давление является некоторой функцией координат p = f(x,y,z), то уравнение поверхности равного давления будет:

Придавая константе C разные значения, будем получать различные поверхности уровня. Уравнение (2.9) есть уравнение семейства поверхностей уровня.

Свободная поверхность – это поверхность раздела капельной жидкости с газом, в частности, с воздухом. Обычно про свободную поверхность говорят только для несжимаемых (капельных) жидкостей. Понятно, что свободная поверхность является и поверхностью равного давления, величина которого равна давлению в газе (на поверхности раздела).

По аналогии с поверхностью уровня вводят понятие поверхности равного потенциала илиэквипотенциальной поверхности – это поверхность, во всех точках которой силовая функция имеет одно и то же значение. То есть на такой поверхности

.

Тогда уравнение семейства эквипотенциальных поверхностей будет иметь вид

где постоянная C принимает различные значения для разных поверхностей.

Из интегральной формы уравнений Эйлера (2.3) следует, что

Из этого соотношения можно сделать вывод, что поверхности равного давления и поверхности равного потенциала совпадают, потому что при dp = 0и dU = 0.

Важнейшее свойство поверхностей равного давления и равного потенциала состоит в следующем: объемная сила, действующая на частицу жидкости, находящуюся в любой точке, направлена по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Докажем это свойство.

Пусть частица жидкости из точки с координатами

переместилась по эквипотенциальной поверхности в точку с координатами . Работа объемных сил на этом перемещении будет равна

.

Но, поскольку частица жидкости перемещалась по эквипотенциаль-ной поверхности, dU = 0. Значит работа объемных сил, действующих на частицу, равна нулю. Силы не равны нулю, перемещение не равно нулю, тогда работа может быть равна нулю только при условии, что силы перпендикулярны перемещению. То есть объемные силы нормальны к поверхности уровня.

Обратим внимание на то, что в основном уравнении гидростатики, записанном для случая, когда на жидкость действует только один вид объемных сил – силы тяжести (см. уравнение (2.5))

,

величина p – не обязательно давление на поверхности жидкости. Это может быть давление в любой точке, в которой оно нам известно. Тогда h – это разность глубин (по направлению вертикально вниз) между точкой, в которой давление известно, и точкой, в которой мы хотим его определить. Таким образом, с помощью этого уравнения можно определить значение давления p в любой точке через известное давление в известной точке – p.

Заметим, что величина

не зависит от p. Тогда из уравнения (2.5) следует вывод: насколько изменится давление p, настолько же изменится и давление в любой точке объема жидкости p. Поскольку точки, в которых фиксируем p и p, выбраны произвольно, это означает, что давление, создаваемое в любой точке покоящейся жидкости, передается ко всем точкам занимаемого объема жидкости без изменения величины.

Как известно, в этом и состоит закон Паскаля.

По уравнению (2.5) можно определить форму поверхностей уровня покоящейся жидкости. Для этого надо положить p = const. Из уравнения следует, что это выполнимо лишь при h = const. Значит, что при действии на жидкость из объемных сил только сил тяжести, поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости. Такой же горизонтальной плоскостью будет и свободная поверхность покоящейся жидкости.

Учитывая вышесказанное, можно сформулировать еще одно свойство гидростатического давления:

Гидростатическое давление в любой точке жидкости на одной высоте по всем направлениям одинаково.

Из этого свойства вытекает и закон сообщающихся сосудов с жидкостью.

Сообщающимися сосудами называются сосуды, соединенные друг с другом таким образом, чтобы жидкость свободно перетекала из одного сосуда в другой.

Закон сообщающихся сосудов гласит: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии жидкости давление на любом горизонтальной уровне одинаково.

Если в открытые сообщающиеся сосуды налита одинаковая жидкость, то независимо от формы сосудов жидкость в этих сосудах будет находиться на одном уровне (рис. 2.7.а).

Если заполнить открытые сообщающиеся сосуды двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими плотности ρ1 и ρ2, например, ртутью и водой (рис. 2.7.б), то жидкость в сосудах распределится таким образом, чтобы давление на любом горизонтальной уровне в обоих сосудах было одинаково. Выберем горизонтальный уровень жидкости AB, ниже которого жидкость однородна (рис. 2.7.б).

В соответствии с формулой (2.5) для гидростатического давления в разных сосудах будем иметь

;

.

Откуда следует, что

Уравнение (2.10) представляет собой условие равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах. Как частный случай из него следует, что если в сообщающиеся сосуды налита одна жидкость (то есть ρ1 = ρ2), то уровень жидкости в сосудах будет одинаковым: h1 = h2.

Дата добавления: 2017-04-05 ; просмотров: 9400 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Решение типовых задач. Определить абсолютное давление ро на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т–1

Гидростатика

Определить абсолютное давление ро на свободной поверхности воды в нижнем сосуде, если в верхнем сосуде жидкость керосин Т–1. Известны h1 и h2 .h1 = 210 мм; h2 = 170 мм.

ρк = 808 кг/м 3 – плотность керосина;

ρ = 1000кг/м 3 – плотность воды.

Согласно основному уравнению гидростатики рабс = р+ ρgh, где р – давление на поверхности жидкости; ρ – плотность жидкости; h – глубина погружения точки.

Давление на поверхности в нижнем сосуде равно ро.

Тогда

· 9,81 ? 0,21 + 1000 ? 9,81 ? 0,17 = 103330 Па.

Ответ: абсолютное давление на поверхности воды в нижнем сосуде 103330 Па.

Определить силу давления на коническую крышку горизонтального цилиндрического сосуда с диаметром D, заполненного водой с температурой С, показание манометра рм. Показать на рисунке вертикальную и горизонтальную составляющие силы, а также полную силу давления на коническую крышку. D=a.

рм= 0,4 МПа = 400 000 Па; а = 1000 мм = 1м; D = 1,2 м; ρ = 1000 кг/м 3 .

Коническая крышка имеет криволинейную стенку. Сила гидростатического давления на эту стенку будет равна ,

где Рх – проекция силы на горизонтальную ось;

Рz – проекция силы на вертикальную ось.

Рх = pcsz = pghcsz, где рс – давление в центре тяжести вертикальной проекции крышки Sх=

;

hc – глубина погружения центра тяжести вертикальной проекции крышки Sz.

м;

Рz – вес жидкости в объёме конической крышки V;

.

Тогда полная сила гидростатического давления на коническую крышку будет равна:

.

Плоский прямоугольный щит АВ шириной в =2 м, расположенный под углом α = 60 о к горизонту, поддерживает уровень воды в прямоугольном канале глубиной H=4м. Определить силу гидростатического давления на щит и положение центра давления. Построить эпюру гидростатического давления.

Решение. Силу избыточного гидростатического давления определим по формуле (М.2). В нашем случае h c = H / 2. А площадь щита

S = в Н / sinα = 2·4 / 0,866 = 9,25 м 2 .

Р = ρghcS = 998 ? 9.81 ? 9.25 = 181 480 H.

Положение центра давления определяется по формуле:

,

где

м 4

Следовательно,

Определить величину и направление силы гидростатического давления на четверть АВ цилиндрической стенки, поддерживающей слой воды h = r = 2 м. Ширина криволинейной поверхности b = 4 м.

Решение. По формуле определим горизонтальную составляющую силы РX.

РХ =

= 1000 · 9,81 · 2 2 /2 · 4 = 80 000 Н.

По формуле pz = pgV

определим вертикальную составляющую силы. Объём тела давления рассчитываем по формуле

.

Тогда

По формуле находим равнодействующую силы давления.

Р =

.

Направление силы гидростатического давления определяется углом наклона её к горизонту, тангенс которого находят из силового треугольника tgα = PZ / PX= 122 970/80 000= 1,54 , α=57 0 С.

Проведя прямую через центр окружности (точка О) под углом α к горизонту, получим направление Р, а точка пересечения этой прямой с образующей цилиндра даёт центр давления — точку D.

Гидродинамика

По горизонтальной трубе общей длиной l=10 м и внутренним диаметром d = 60 мм подаётся вода при температуре t = 20 о С. Труба снабжена вентилем К (коэффициент сопротивления ξ=5), а также манометрами, которые фиксируют избыточные давление р1 = 2·10 5 Па на входе и р2 = 1,5·10 5 Па на выходе.

Определить расход воды Q, приняв в расчётах коэффициент гидравлического трения λ = 0,023, и построить в масштабе напорную и пьезометрическую линии для трубы.

Решение. Для определения расхода воды найдём среднюю скорость её движения по трубопроводу, применив уравнение Бернулли для сечений 1−1 и 2−2:

(А)

За плоскость сравнения принимаем плоскость, проходящую через ось трубы 0−0. Так как заданный трубопровод постоянного диаметра, то

скоростные напоры av 2 /2g в сечениях 1−1 и 2−2 будут равными.

Сумма гидравлических потерь h1-2 состоит из потерь в местных сопротивлениях hм и потерь по длине hтр:

Подставим значения потерь в уравнение Бернулли (Б) и определим среднюю скорость:

,

Определим расход воды по формуле:

Для построения напорной и пьезометрической линий рассчитаем:

1) скоростной напор hck = av 2 /2g;

для определения α найдём число Рейнольдса:

,

где υ – кинематический коэффициент вязкости воды при 20 о С;

режим течения турбулентный, поэтому a = 1,

;

2) полный напор в сечении 1−1:

;

3) полный напор в сечении 2−2:

;

4) потери напора в вентиле К

;

5) потери напора на длине l : 2 :

.

Проверка по уравнению (Б):

20,39 = 15,29 + 2,9 + 2?1,11

т.е. расчёты выполнены верно, относительная погрешность составляет (0,02:20,4)·100 = 0,1 %.

По найденным выше значениям строим линии. Откладываем от плоскости сравнения 0−0 в сечении 1−1 в масштабе полный напор Н1=20,97 м, и по ходу движения воды от него отнимаем потери

Получаем напорную линию. Откладывая от неё вниз скоростной напор hск, получаем пьезометрическую линию.

При движении жидкости из резервуара в атмосферу по горизонтальному трубопроводу диаметром dи длиной 2L уровень в пьезометре, установленном посредине длины трубы равен h. Определить расход воды и коэффициент гидравлического трения трубы L, если статический напор в баке постоянен и равен Н. Построить пьезометрическую и напорную линии. Сопротивлением входа в трубу пренебречь.

Н = 7 м, h = 3 м, l = 3м, d = 30 мм = 0,03 м, р = 1000 кг/м 3 .

Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1–1 и 2–2, плоскость сравнения проходит через ось трубы 0–0.

,

где z – расстояние от плоскости 0–0 до центра тяжести сечения;

– пьезометрическая высота в сечении;

– скоростная высота в сечении;

hп1-2– потери напора на гидравлические сопротивления между сечениями.

Тогда

,

где L – коэффициент гидравлического трения;

– потери напора на трение,

Составим уравнение Бернулли для сечений 2−2 и 3−3 и решим относительно плоскости 0−0.

,

.

Отсюда

Решаем совместно полученные выражения

м/с.

Расход жидкости

м 3 /с.

Ответ: λ = 0,03, Q = 0,00313 м 3 /с.

5.3 Истечение жидкости через отверстия и насадки

Определить длину трубы L, при которой опорожнение цилиндрического бака диаметром Dна глубину Н будет происходить в два раза медленнее, чем через отверстие того же диаметра d. Коэффициент гидравлического трения в трубе принять λ=0,025.

Расход через отверстие в тонкой стенке равен

,

где μ – коэффициент расхода при истечении через отверстие m = 0.62;

S – площадь сечения отверстия,

;

Расход через трубу длиной l и диаметром d c условием задачи составит:

, где MTP – коэффициент расхода через трубу.

Время опорожнения сосуда при переменном напоре определяется по формуле t = 2v/Qд , где V – объём жидкости в баке при наполнении его напором Н; QД – действительный расход.

По условию задачи

, или .

Тогда

. Из этого выражения найдём длину трубы l.

м.

Ответ: длина тубы l = 19,5м.

5.4 Гидравлический удар в трубах

Вода в количестве Q перекачивается по чугунной трубе диаметром d, длиной l c толщиной стенки

. Свободный конец трубы снабжён затвором. Определить время закрытия затвора при условии, чтобы повышение давления в трубе вследствие гидравлического удара не превышало Па. Как повысится давление при мгновенном закрытии затвора?

Q =0,053 м 3 /с. d = 0,15м , l = 1600м ,

= 9,5 мм , = 1 000 000 Па, p =1000 кг/м 3 .

При условии, что время полного закрытия затвора

, ударная волна будет равна ,

где p – плотность жидкости;

v– начальная скорость течения жидкости;

T – фаза гидравлического удара.

Из этого выражения следует

.

По условию задачи ?р=1 000 000 Па.

м.

Т =

с.

При мгновенном закрытии затвора превышение давления составит

,

где ЕЖ – модуль упругости жидкости, ЕЖ =

Па;

Е – модуль упругости материала трубы, Е = 152

Па;

δ– толщина стенки трубы.

кПа.

Ответ: Т = 0,1 с, /p = 3900кПа.

Список литературы

1. Прозоров И.В., Николадзе Г.И., Минаев А.В. Гидравлика, водоснабжение и канализация. — М.: Высшая школа, 1990.

2. Калицун В.И. Гидравлика, водоснабжение и канализация: Учеб. Пособие для вузов по спец. «Пром. и гражд. стр-во». – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Стройиздат, 2003.

3. Константинов Н.П., Петров Н.А., Высоцкий Л.И. Гидравлика, гидрология, гидрометрия: учебник для вузов. В 2 ч. /Под ред. Н.М. Константинова. – М.: Высш. шк., 1987. – 438 с.: ил.

4. Альтшуль А.Д., Животовская Л.С., Иванов Л.П. Гидравлика и аэродинамика. − М.: Стройиздат, 1987.− 470 с.

5. Чугаев Р. Р. Гидравлика.– Л.: Энергоиздат, 1982. – 678 с.

6. Основы гидравлики и аэродинамики: учебник для техникумов и колледжей. Калицун В.И., Дроздов Е.В., Комаров А.С., Чижик К.И.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ОАО Изд-во «Стройиздат», 2004. – 296 с.

7. Киселёв П.Г. Гидравлика: основы механики жидкости и газа: учеб. пособие для вузов. – М.: Энергия, 1980. – 460.

8. Справочник по гидравлике. / Под ред. В.А. Большакова− Киев: издательское объединение «Вища школа», 1977.− 280 с.

Источник