Давление поршня в цилиндрическом сосуде

32. Работа газа. Первое начало термодинамики: задачи с ответами без решений

(Все задачи по молекулярно-кинетической теории и ответы к ним находятся в zip-архиве (290 кб), который можно скачать и открыть на своем компьютере. Попробуйте решить задачи самостоятельно и только потом сравнивать свои ответы с нашими. Желаем успехов!)

32.1. Какова внутренняя энергия одноатомного газа, занимающего при температуре T объем V, если концентрация молекул n? [ U = (3/2)nkTV ]

32.2. В цилиндре с площадью основания S = 100 см 2 находится газ при температуре t = 27 °С. На высоте h = 30 см от дна цилиндра расположен поршень массой m = 60 кг. Какую работу совершит газ, если его температуру медленно повысить на Δt = 50 °С? Атмосферное давление po = 10 5 Па. [ A ≅ 79.4 Дж ]

32.3. Газообразный водород массой m = 0,1 кг совершает круговой процесс 1 – 2 – 3 – 1 (рис.). Найдите работу газа на участке 1 – 2, если Т1 = 300 K, a V2 = 3V1. [ A = 2.5×10 5 Дж ]

32.4. Идеальный газ массой m = 20 г и молярной массой M = 28 г/моль совершает замкнутый процесс (рис.). Температура в точках 1 и 2 равна: T1 = 300 К; Т2 = 496 К. Найти работу газа за цикл. [ A = 1162 Дж ]

32.5. Давление ν молей идеального газа связано с температурой по закону: Т = αp 2 (α = const). Найти работу газа при увеличении объема от значения V1 до значения V2. Выделяется или поглощается при этом тепло? [смотрите ответ в общем файле темы]

32.6. В цилиндре под невесомым поршнем находится газ. Поршень связан с дном цилиндра пружиной. Газ расширяется из состояния с параметрами p1, V1 в состояние p2, V2. Определить работу газа. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.7. ν молей идеального газа помещены в герметическую упругую оболочку. Упругость оболочки такова, что квадрат объема пропорционален температуре. На сколько изменится энергия оболочки, если газ нагреть от температуры T1 до температуры T2? Какова теплоемкость системы? Теплоемкостью оболочки и внешним давлением пренебречь. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.8. При изотермическом процессе газ совершил работу 1000 Дж. На сколько увеличится внутренняя энергия этого газа, если ему сообщить количество теплоты вдвое больше, чем в первом случае, а процесс проводить изохорически? [2000 Дж]

32.9. Найти количество теплоты, сообщенное газу в процессе 1 – 2 (рис.). [ Q = 3pV/4 ]

32.10. Один моль идеального газа совершает процесс 1 – 2 – 3 (рис.). Известны: давление p1, p2 и объем V1, V2. Найти поглощенное газом в этом процессе количество теплоты. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.11. Один моль идеального газа нагревают сначала изотермически. При этом он совершает работу 10 Дж. Затем его нагревают изобарически, сообщая ему то же количество теплоты. Какую работу совершает газ во втором случае? [4 Дж]

32.12. Водород массой m = 1 кг при начальной температуре T1 = 300 K охлаждают изохорически так, что его давление падает в η = 3 раза. Затем газ расширяют при постоянном давлении до начальной температуры. Найти произведенную газом работу. [ A = 8.3×10 5 Дж ]

32.13. Один моль идеального газа переводят из начального состояния 1 в конечное 4 в процессе, представленном на рис. Какое количество теплоты подвели к газу, если ΔT = Т4 − T1 = 100 K? [ Q = 415 Дж ]

32.14. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится газ при температуре T. Масса поршня m, его площадь S, объем газа V. Для повышения температуры газа на ΔT ему сообщили количество теплоты Q. Найдите изменение внутренней энергии газа. Атмосферное давление po, трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.15. Для нагревания некоторого количества газа с молярной массой M = 28 г/моль на ΔT = 14 K при p = const требуется количество теплоты Q = 10 Дж. Чтобы охладить его на ту же ΔT при V = const требуется отнять Q = 8 Дж. Определить массу газа. [ m ≅ 0.48 г ]

32.16. В вертикальном цилиндре на высоте h от дна находится поршень. Под поршнем — идеальный газ. На поршень положили гирю массой m. После установления теплового равновесия с окружающей средой цилиндр теплоизолировали и газ начали нагревать. Какое количество теплоты следует подвести к газу, чтобы поршень вернулся в исходное положение. Трения нет. [ Q = 5mgh/2 ]

32.17. В вертикальном цилиндре под невесомым поршнем находится гелий. Объем гелия Vo, а давление 3po (po – атмосферное давление). Поршень удерживается сверху упорами (рис.). Какое количество теплоты необходимо отнять у гелия чтобы его объем стал Vo/2. Трения нет. [ Q = 17poVo/4 ]

32.18. В цилиндре под поршнем находится ν = 0,5 молей воздуха при температуре T = 300 K. Во сколько раз увеличится объем воздуха при сообщении ему количества теплоты Q = 13,2 кДж? Молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме cV = 21 Дж/(моль • К). [ n = 4 ]

32.19. Теплоизолированный сосуд объемом V = 22,4 л разделен пополам теплопроводящей перегородкой. В первую половину сосуда вводят m1 = 11,2 г азота при температуре t1 = 20 °С, а во вторую – m2 = 16,8 г азота при t2 = 15 °С. Какое давление установится в первой половине после выравнивания температур? Система теплоизолирована. [ p ≅ 86 кПа ]

32.20. Баллон емкостью V1 содержащий ν1 молей газа при температуре T1, соединяют с баллоном емкостью V2, содержащим ν2 молей того же газа при температуре T2. Какие установятся давление и температура. Система теплоизолирована. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.21. Над одним молем идеального газа совершается процесс из двух изохор и двух изобар (рис.). Температуры в точках 1 и 3 равны T1 и T3. Определить работу газа за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.22. Моль идеального газа совершает цикл из двух изохор и двух изобар (рис.). Работа газа за цикл A = 200 Дж. Максимальная и минимальная температуры в цикле отличаются на ΔT = 60 К. Отношение давлений на изобарах равно 2. Найти отношение объемов на изохорах. [ ≅ 3 ]

32.23. Внутри цилиндрического сосуда под поршнем массы m находится идеальный газ под давлением p. Площадь поршня S, внешнего давления нет. Вначале поршень удерживается на расстоянии h1 от дна сосуда (рис.). Поршень отпустили. После прекращения колебаний поршень остановился. На каком расстоянии от дна он остановился? Трения нет. Тепловыми потерями и теплоемкостью поршня и цилиндра пренебречь. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.24. В гладкой трубке между двумя поршнями массой m находится один моль идеального газа. В начальный момент скорости поршней направлены в одну сторону и равны v и 3v (рис.), а температура газа To. Найти максимальную температуру газа. Внешнего давления и трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.25. В горизонтальном неподвижном цилиндре, закрытом поршнем массы m, находится один моль идеального газа. Газ нагревают. При этом поршень, двигаясь равномерно, приобретает скорость v. Найдите количество теплоты, сообщенное газу. Теплоемкостью сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. [ Q = 5mv 2 /4 ]

32.26. Сосуд, содержащий некоторое количество азота, движется со скоростью v = 100 м/с. На сколько изменится температура азота, если сосуд внезапно остановить? [ ΔT = Mv 2 /(5R) ]

32.27. В гладкой горизонтальной трубе находятся два поршня массами m и 3m. Между поршнями идеальный газ при давлении po. Объем между поршнями Vo (рис.). Первоначально поршни неподвижны, затем их отпускают. Найти максимальные скорости поршней. Труба длинная, внешнего давления нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.28. Один моль идеального газа изобарически нагрели на ΔT = 72 K, сообщив ему количество теплоты Q = 1,6 кДж. Найти величину γ = cp/cV. [ γ = 1.6 ]

32.29. Вычислить γ = cp/cV для газовой смеси, состоящей из ν1 = 2 молей кислорода и ν2 = 3 молей углекислого газа. [ γ ≅ 1,6]

32.30. Теплоизолированный небольшой сосуд откачан до глубокого вакуума. Окружающая сосуд атмосфера состоит из идеального одноатомного газа при температуре 300 К. В сосуде открывается небольшое отверстие и он заполняется газом. Какую температуру будет иметь газ в сосуде сразу после заполнения? [500 K]

32.31. Определить скорость истечения гелия из теплоизолированного сосуда в вакуум через малое отверстие. Температура газа в сосуде T = 1000 K, скоростью газа в сосуде пренебречь. [ v ≅ 3.3×10 3 м/с]

32.32. Горизонтальный цилиндрический сосуд разделен подвижным поршнем. Справа от поршня одноатомный идеальный газ с параметрами: po; Vo; To, слева – вакуум (рис.). Поршень соединен с левым торцом цилиндра пружиной, собственная длина которой равна длине сосуда. Определить теплоемкость системы в этом состоянии. Теплоемкостью поршня и цилиндра пренебречь. Трения нет. [ C = 2poVo/To ]

32.33. Над идеальным двухатомным газом совершают процесс p = αV (α = const). Какова молярная теплоемкость газа в этом процессе? [c = 3R]

32.34. С одним молем идеального одноатомного газа проводят процесс: p = po — αV, где α – известная константа. Определить, при каких значениях объема газ получает тепло, а при каких отдает. Объем в процессе возрастает.

32.35. В процессе расширения азота его объем увеличился на 2 %, а давление уменьшилось на 1 %. Какая часть теплоты, полученной азотом, была превращена в работу? Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме cV = 745 Дж/(кг • К). [ ≅ 0.44 ]

32.36. В цилиндрическом горизонтальном сосуде находится гладкий подвижный поршень. Слева и справа от поршня находится по одному молю идеального одноатомного газа. Температура газа в левой части поддерживается постоянной, а газ в правой части нагревается. Найдите теплоемкость газа в правой части в момент, когда поршень делит сосуд пополам. [C = 2R]

32.37. В вертикальном цилиндре под поршнем площадью S и массой m находится 1 моль идеального одноатомного газа. Под поршнем включается нагреватель, мощность которого N. Определите установившуюся скорость движения поршня. Атмосферное давление po, газ теплоизолирован, трения нет. [смотрите ответ в общем файле темы]

32.38. Мыльный пузырь содержит ν молей идеального одноатомного газа. Определить теплоемкость этой системы. Атмосферное давление не учитывать. [ C = 3νR ]

32.39. По трубе, в которой работает электрический нагреватель, пропускают газ (рис.). Определить мощность нагревателя, если разность температур газа на выходе и на входе равна ΔТ = 5 К, а массовый расход газа μ = 720 кг/ч. Молярная теплоемкость газа при постоянном давлении cp = 29,3 Дж/(моль • К), его молярная масса M = 29 г/моль. [ N ≅ 1.01 кВт ]

32.40. Из небольшого отверстия в баллоне с сжатым гелием вытекает струя гелия со скоростью v. Найдите разность температур гелия в баллоне и в струе. Давление в струе считать равным внешнему давлению, скоростью газа в баллоне пренебречь. [ ΔT = Mv 2 /(5R) ]

32.41. Одинаковые сообщающиеся сосуды закрыты поршнями массой m = 5 кг и M = 10 кг и соединены тонкой трубкой с краном (рис.). Под поршнями идеальный одноатомный одинаковый газ. Сначала кран закрыт, поршень M находится на высоте H = 10 см от дна, а температура одинакова. На какую высоту передвинется поршень m после открытия крана? Система теплоизолирована, атмосферного давления нет. [ 20 см ]

32.42. В горизонтальной открытой трубе сечением S без трения могут двигаться два поршня массами m и M. Начальное расстояние между поршнями l, атмосферное давление po. При закрепленных поршнях воздух между ними откачали, затем поршни отпустили. Какое количество теплоты выделится в результате их абсолютно неупругого столкновения? [ Q = poSl ]

32.43. Один моль идеального газа совершает цикл 1 – 2 – 3 – 1, состоящий из изохоры 1 – 2 и двух процессов, представляемых отрезками прямых в координатах p – V (рис.). Определить работу газа за цикл, если известны: температура T1, Т2 = 4Т1, а также Т2 = Т3. Линия 3 – 1 проходит через начало координат. [ A = 3RT1/2 ]

Источник

Физика

Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем , необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:

постоянным остается также количество вещества (газа):

плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:

Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы F → (рис. 5.9).

Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:

p 1 V 1 = ν R T 1 , p 2 V 2 = ν R T 2 , >

где p 1 , V 1 , T 1 — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p 2 , V 2 , T 2 — давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:

M g + F A = F 1 , M g + F A + F = F 2 , >

где M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; S — площадь сечения поршня; F 1 — модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа в сосуде в начальном состоянии; F — модуль силы, вызывающей сжатие газа; F 2 — модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа в сосуде в конечном состоянии.

Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:

если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется —

если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –

Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:

если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем — неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) — p = const;
в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется — p ≠ const.

Масса поршня , закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:

если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю —

в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой —

Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм 2 и массой 1,80 кг находится 360 см 3 газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см 3 . Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 1 , действующая со стороны газа (до его сжатия);
сила давления газа F → 2 , действующая со стороны газа (после его сжатия);
m g → — вес гирь.

Читайте также: Живые цветы в сосуде

Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:

где F 1 — модуль силы давления газа, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа до сжатия; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; g — модуль ускорения свободного падения;

где F 2 — модуль силы давления газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа после сжатия; mg — вес гирь; m — масса гирь.

Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:

где V 1 — первоначальный объем газа под поршнем; ν — количество газа под поршнем; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

где V 2 — объем сжатого поршнем газа.

и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p 1 S = M g + p A S , p 2 S = M g + p A S + m g , p 1 V 1 = p 2 V 2 , >

которую требуется решить относительно массы гирь m .

Для этого выразим отношение давлений p 2 / p 1 из первой пары уравнений:

p 2 p 1 = M g + p A S + m g M g + p A S

и из третьего уравнения:

запишем равенство правых частей полученных отношений:

M g + p A S + m g M g + p A S = V 1 V 2 .

Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой

m = ( M + p A S g ) ( V 1 V 2 − 1 ) .

Вычисление дает результат:

m = ( 1,80 + 100 ⋅ 10 3 ⋅ 250 ⋅ 10 − 6 10 ) ( 360 ⋅ 10 − 6 240 ⋅ 10 − 6 − 1 ) = 2,15 кг.

Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.

Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см 2 плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:

сила тяжести пластины M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 2 , действующая на пластину со стороны нагретого газа.

Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:

где F 2 — модуль силы давления нагретого газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление нагретого газа; S — площадь сечения сосуда; Mg — модуль силы тяжести пластины; M — масса пластины; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

для газа в сосуде до его нагревания

где p 1 — давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p 1 = p A ; V — объем газа в сосуде; ν — количество вещества (газа) в сосуде; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 — температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);

для газа в сосуде после его нагревания

где p 2 — давление нагретого газа; T 2 — температура нагретого газа.

Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p A V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , p 2 S = M g + p A S ; >

систему необходимо решить относительно температуры T 2 , до которой следует нагреть газ.

Для этого делением первой пары уравнений

p A V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

получим выражение для давления нагретого газа:

и подставим его в третье уравнение системы:

p A T 2 S T 1 = M g + p A S .

Преобразуем полученное выражение к виду

T 2 = T 1 ( M g + p A S ) p A S = T 1 ( M g p A S + 1 ) ,

а затем найдем разность

Δ T = T 2 − T 1 = M g T 1 p A S .

Δ T = 1,2 ⋅ 10 ⋅ 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 36 К = 36 °С.

Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см 2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → , действующая на поршень со стороны нагретого газа.

Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением a → :

F → + F → A + M g → = m a → ,

или в проекции на вертикальную ось —

где F — модуль силы давления газа под поршнем, F = pS ; p — давление газа; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; a — модуль ускорения поршня.

Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:

a = F − F A − M g M = ( p − p A ) S M − g .

Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением

где l — пройденный путь; v — модуль скорости поршня.

Выразим отсюда модуль скорости поршня:

и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:

v = 2 l ( ( p − p A ) S M − g ) .

v = 2 ⋅ 3,75 ( ( 450 − 100 ) ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4 75,0 − 10 ) ≈ 10 м/с.

После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.

Источник