Давление в разных сосудах с жидкостью
1.5. Гидростатика
Давление. Сила давления
Давление равно отношению силы давления к площади. Это универсальное определение относится к твердым телам, жидкости, газу.
Способы увеличения давления: увеличить силу; уменьшить площадь. Давление в твердых телах передается в том же направлении, в котором действует сила. При решении задач (например, тело на наклонной плоскости) рассматриваются проекции сил — давление тела на плоскость и реакция опоры — на оси координат. Направление движения тела, при действии несколкиз сил, не совпадает с направлением силы давления на тело.
Гидростатика. Закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передается жидкостью или газом во все стороны одинаково. Это связано с подвижностью молекул в жидком и газообразном состояниях.
Давление столба жидкости:
(ро же аш), где ρ — плотность жидкости, g — ускорение свободного падения.
h – высота столба жидкости или глубина, на котороей измеряется давление.
Сила давления: F = p S . Используя две формулы, находим силу давления на дно сосуда, на боковую грань аквариума и т.п. Экзаменационные задачи на эту тему простые; вычисляйте всё в системе СИ.
Гидростатический парадокс (следствие закона Паскаля): давление на дно сосуда определяется только высотой столба жидкости. И не только на дно, но и вообще на данной глуибне. Независимо от фомы сосуда и его размеров (см. формулу выше).
Поэтому в трех сосудах давление на дно одинаково.
Но сила давления разная — не путаем понятия!
Сообщающиеся сосуды
Сообщающиеся сосуды – сосуды, соединенные между собой (трубкой) или имеющие общее дно.
Уровень жидкости в сообщающихся сосудах располагается горизонтально, если:
поверхности жидкости открыты;
в сосуды налита однородная жидкость;
ни один из сосудов не является капилляром;
в жидкостях нет пузырьков с воздухом.
Давление столбов жидкости на одном горизонтальном уровне одинаково:
Гидравлический пресс – простой механизм, дающий выигрыш в силе. Он представляет собой сообщающиеся сосуды разного сечения. В основе его действия лежит закон Паскаля.
Внешняя сила, действующая на малый поршень, совершает работу. Давление в жидкости одинаково. (Высота столбов жидкостей в цилиндрах пресса меняется, но в задачах это не учитывается.
Такой пресс может работать в любом положении и в невесомости.)
Сила давления жидкости, действующая на большой поршень совершает полезную работу. Из меньшего цилиндра в больший перемещается некоторый объем жидкости — при этом перемещение меньшего поршня больше. Выигрыш в силе аналогичен действию рычага. Затрачиваемая и совершаемая работы одинаковы (если КПД 100%).
Источник
Сообщающиеся сосуды
Закон сообщающихся сосудов
Сосуды соединенные между собой, жидкость в которых может свободно перетекать, имеющие общее дно, называются сообщающимися. В соответствии с законом Паскаля, жидкость передаёт оказываемое на неё давление во всех направлениях одинаково. В открытых сосудах, атмосферное давление над каждым из них одинаково, значит, и давление жидкости на стенки сосудов будет одинаковым на любом уровне. Так как давление жидкости прямо пропорционально её плотности и глубине, в случае одинаковой жидкости в сообщающихся сосудах на одинаковой глубине будет одинаковое давление, что и объясняет выравнивание уровней жидкости в них. В случае разных жидкостей, чтобы на одинаковой глубине было одинаковое давление, жидкость с меньшей плотностью должна иметь больший уровень в сравнении с жидкостью большей плотности. Т.е.
Свойство сообщающихся сосудов
Применение на практике
Благодаря своим свойствам, сообщающиеся сосуды нашли широкое применение в различных технических и бытовых устройствах. Перечислим некоторые из них:
- измерители плотности,
- жидкостные манометры,
- определители уровня жидкости (водомерное стекло, к примеру),
- домкраты,
- гидравлические прессы,
- шлюзы,
- фонтаны,
- водопроводные башни и т.д.
Свойство сообщающихся сосудов реализуется не только в физике. Такая известная поговорка «Если где-то прибыло, значит где-то убыло» фактически напрямую связана со свойством сообщающихся сосудов и означает, что в окружающем нас мире всё взаимосвязано, а значит – стремится к равновесию. Когда человек смещает это равновесие в одну сторону, это немедленно сказывается в чём-то другом. Над этим стоит задуматься, не так ли?
Материал по физике на тему «Сообщающиеся сосуды» для 7 класса.
Источник
Закон «Сообщающихся Сосудов»
Вы, наверное, знаете еще из школьных уроков физики, что такое взаимно сообщающиеся сосуды, это когда мы наливаем в один из них, то жидкость равномерно распределяется по всем остальным сосудам.
Зако́н сообща́ющихся сосу́дов — один из законов механики, гласящий, что в сообщающихся сосудах уровни однородной жидкости равны.
По аналогии, богатства приходящие в нашу жизнь — это однородная жидкость. А здоровье, деньги, знания и отношений, сродни этим сообщающимся сосудам. Богатство приходит к нам и равномерно наполняет эти сосуды, но объем этой «жидкости» по закону причинно следственной связи у всех разный, и так как вы хозяин этих сосудов, в какой-то момент вы решаете, что вам чего-то не хватает, например вам нужны деньги, и наклоняете сосуд в эту сторону, соответственно богатство утекает из других сфер жизни. В современной психологии успеха это называют управление вниманием, бизнес тренеры говорят, что внимание это единственный ресурс которым вы можете управлять. И то чему вы уделяете особое внимание, именно то в вашей жизни начинает увеличиваться, будь то здоровье, знание или деньги.
Внимание… это все, чем на самом деле может управлять человек.
Туда, куда направлено наше внимание, того в нашей жизни и становится больше…
То, откуда мы убираем наше внимание — становится меньше.
Я всегда привожу своим ученикам наглядный пример.
Уберите свое внимание от домашних растений или от близких людей… чем все закончится?
Правильно, Вы их потеряете. (Всеволод Татаринов бизнес-тренер, практик)
Я знаю бизнесменов, которые прилично зарабатывают, но при этом у них нет времени на семью и детей, работают они по 20 часов, не высыпаются, едят на ходу, что попало и когда попало. «Вы что не видите? Мне некогда! Я деньги зарабатываю!». Именно такой образ успешного бизнесмена складывается у многих людей. Но успех ли это? Когда в 40 лет, уже язва желудка, больное сердце и полностью разрушена личная жизнь. Или предположим девушка посещает множество тренингов по личностному росту, ее спрашиваешь: «Вы замужем?» в ответ: — «Вы что? Мне некогда! Я знания получаю!». Сосуд наклонен в сторону знаний, но сколько остается на любовь? И у каждого свой дизайн этих сосудов, у каждого свои приоритеты.
Какой главный вывод? Чтобы избежать в будущем потрясений, необходимо соблюдать баланс ваших взаимосообщающихся сосудов. Поставьте их прямо! И гармония придет в вашу жизнь. В ваших силах распределить ваше богатство по всем сферам жизни так, чтобы быть здоровым, богатым и успешным.
Источник
Источник
Формула давления жидкости отличается от формулы, с помощью которой можно рассчитать давление твердого тела. Потому, что давление жидкости не зависит от площади поверхности, на которую жидкость давит.
Закон Паскаля
Французский физик, Блез Паскаль, в 1653 году сформулировал закон: «Давление, которое мы оказываем на жидкость (или газ), она без изменения передаст в любую точку и во всех направлениях».
Мы немного упростим формулировку:
Жидкость (или газ) передает давление, оказанное на нее, одинаково и без изменений во все стороны.
Это значит, что на одной и той же глубине жидкость будет одинаково давить и на дно, и на стенки сосуда.
Рис. 1. Чем глубже, тем больше давление жидкости, но в любой точке жидкость передает это давление одинаково во все стороны
На рисунке 1 изображен сосуд, наполненный жидкостью. Высоту столбика жидкости – то есть, глубину, отсчитываем от поверхности жидкости.
Видно, что на разных глубинах давление отличается.
[ large begin{cases} h_{1} < h_{2} < h_{3} \ P_{1} < P_{2} < P_{3} end{cases} ]
Чем глубже, тем больше давление жидкости. Но в любой точке оно одинаково передается во все стороны.
Формула давления жидкости
Формула, по которой можно посчитать давление жидкости:
[ large boxed{ P = rho_{text{ж}} cdot g cdot h }]
( P left(text{Па}right) ) – давление жидкости;
( displaystyle rho_{text{ж}} left(frac{text{кг}}{text{м}^3} right) ) – плотность жидкости;
( displaystyle g left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения;
Для большинства школьных задач можно принимать ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) );
( h left(text{м}right) ) – высота столбика жидкости.
В формулу для давления жидкости не входит площадь S поверхности, на которую эта жидкость давит.
Поэтому, давление жидкости не зависит от площади. А давление твердого тела рассчитывают по другой формуле.
В некоторых задачах указывают объем используемой жидкости. И иногда просят рассчитать силу давления. Чтобы получить правильный ответ для таких задач, нужно уметь переводить площади и объемы в единицы системы СИ.
Сообщающиеся сосуды
Сообщающиеся сосуды – это емкости, расположенные на плоской горизонтальной поверхности, у дна они соединяются трубками.
Если в один из сосудов начать наливать жидкость, то она будет распределяться по всем сосудам, так, что ее уровень будет одинаковым во всех сосудах (рис. 2).
Рис. 2. В сообщающихся сосудах уровень жидкости будет одинаковым
Неважно, какую форму имеет сосуд. Давление жидкости во всех сосудах будет одинаковым. Поэтому одинаковой будет высота h столбика жидкости во всех сосудах.
U-образное колено
U-образное колено – это два сообщающихся сосуда, диаметры сосудов одинаковые.
Жидкости, которые заливают в колено, не должны смешиваться (рис. 3). Например, можно залить в оду трубку воду, а в другую — масло.
Рис. 3. Два сообщающихся сосуда одинакового диаметра образуют U-образное колено
Запишем формулы для расчета давления в левом (P_{1}) и правом (P_{2}) частях колена.
[ large boxed{begin{cases} P_{1} = rho_{1} cdot g cdot h_{1} \ P_{2} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases}} ]
Чем больше разница плотностей двух жидкостей, тем больше отличаются высоты их столбиков.
При решении задач общую нижнюю часть колена не учитываем. На рисунке 3 она отделена от верхней части горизонтальной линией.
Давление столбиков, оставшихся в верхней части, будет одинаковым.
( P_{1} ) – давление жидкости в левой части колена;
( P_{2} ) – давление жидкости в правой части колена.
[ large begin{cases} P_{1} = P_{2} \ rho_{1} cdot g cdot h_{1} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases} ]
Обе части последнего уравнения разделим на ускорение свободно падения. Тогда получим соотношение для высот столбиков жидкости и их плотностей:
[ large boxed{ rho_{1} cdot h_{1} = rho_{2} cdot h_{2} }]
Высоты столбиков можно измерить линейкой. Зная плотность одной из жидкостей, можно найти плотность второй жидкости.
Примечание: Давление жидкостей часто измеряют в миллиметрах ртутного столба или метрах водяного столба. Переходите по ссылке, чтобы узнать, как связаны эти единицы измерения и как давление переводить в систему СИ.
Гидравлический пресс
Молекулы жидкости плотно упакованы, они прилегают друг к другу. Поэтому жидкости не сжимаемы! Это свойство жидкостей используют в гидравлическом прессе.
Гидравлический пресс – это два сообщающихся сосуда. Их называют цилиндрами. Диаметры цилиндров отличаются. Внутри каждого цилиндра вверх и вниз может свободно перемещаться поршень (рис. 4). Поршень плотно прилегает к стенкам цилиндра, чтобы жидкость из цилиндра не просачивалась наружу.
Рис. 4. Гидравлический пресс – это два сообщающихся сосуда различных диаметров, по сосудам могут без трения перемещаться поршни
Перемещаясь, поршень из цилиндра вытесняет жидкость в соседний цилиндр. Объем жидкости, вытесненной из одного цилиндра, совпадает с объемом, перешедшим в другой цилиндр, так как жидкость не проливается наружу.
[ large Delta V_{1} = Delta V_{2} ]
( Delta V_{1} left(text{м}^{3}right) ) – объем жидкости, вытесненной из первого цилиндра;
( Delta V_{2} left(text{м}^{3}right) ) – объем жидкости, перешедшей во второй цилиндр.
Из геометрии известно, объем цилиндрической фигуры можно найти по формуле:
[ large boxed{ Delta V = Delta h cdot S }]
( Delta h left(text{м}right) ) – высота столбика вытесненной жидкости;
( S left(text{м}^{2}right) ) – площадь поршня (или основания цилиндра);
Так как объемы вытесненной и перешедшей в другой цилиндр жидкостей равны, можем записать
[ large Delta h_{1} cdot S_{1} = Delta h_{2} cdot S_{2} ]
То есть, высоты столбиков отличаются во столько же раз, во сколько отличаются площади поршней.
Площадь поверхности поршня и его диаметр связаны соотношением:
[ large boxed{ S_{text{круга}} = pi cdot frac{d^{2}}{4} }]
( S left(text{м}^{2}right) ) – площадь поршня;
( d left(text{м}right) ) – диаметр поршня;
Давления в цилиндрах будут равны.
[ large P_{text{общ.лев}} = P_{text{общ.прав}} ]
Поршни в цилиндрах не двигаются – т. е. находятся в равновесии. Запишем условия равновесия для поршней:
[ large boxed{ frac{F_{1}}{S_{1}} + rho_{1} cdot g cdot h_{1} = frac{F_{2}}{S_{2}} + rho_{2} cdot g cdot h_{2} } ]
Здесь дробью вида (displaystylelarge frac{F}{S}) обозначено давление твердого тела (ссылка) — поршня.
Назовем цилиндр большого диаметра большим цилиндром, а цилиндр малого диаметра – малым. Сформулируем принцип действия гидравлического пресса:
С помощью малой силы в малом цилиндре мы можем создавать большую силу в большом цилиндре.
Источник
Æèäêîñòè (è ãàçû) ïåðåäàþò ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì íå òîëüêî âíåøíåå äàâëåíèå, íî è òî äàâëåíèå, êîòîðîå ñóùåñòâóåò âíóòðè íèõ áëàãîäàðÿ âåñó ñîáñòâåííûõ ÷àñòåé.
Äàâëåíèå, îêàçûâàåìîå ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòüþ, íàçûâàåòñÿ ãèäðîñòàòè÷åñêèì.
Ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà ïðîèçâîëüíîé ãëóáèíå h (â îêðåñòíîñòè òî÷êè A íà ðèñóíêå).
Ñèëà äàâëåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû âûøåëåæàùåãî óçêîãî ñòîëáà æèäêîñòè, ìîæåò áûòü âûðàæåíà äâóìÿ ñïîñîáàìè:
1) êàê ïðîèçâåäåíèå äàâëåíèÿ p â îñíîâàíèè ýòîãî ñòîëáà íà ïëîùàäü åãî ñå÷åíèÿ S:
2) êàê âåñ òîãî æå ñòîëáà æèäêîñòè, ò. å. ïðîèçâåäåíèå ìàññû m æèäêîñòè íà óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ:
F=mg. (1.28)
Ìàññà æèäêîñòè ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç åå ïëîòíîñòü p è îáúåì V:
m = pV, (1.29)
à îáúåì — ÷åðåç âûñîòó ñòîëáà è ïëîùàäü åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ:
V=Sh. (1.30)
Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (1.28) çíà÷åíèå ìàññû èç (1.29) è îáúåìà èç (1.30), ïîëó÷èì:
F = pVg=pShg. (1.31)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (1.27) è (1.31) äëÿ ñèëû äàâëåíèÿ, ïîëó÷èì:
pS = pSkg.
Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà ïëîùàäü S, íàéäåì äàâëåíèå æèäêîñòè íà ãëóáèíå h:
p = phg.
Ýòî è åñòü ôîðìóëà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ.
Ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå íà ëþáîé ãëóáèíå âíóòðè æèäêîñòè íå çàâèñèò îò ôîðìû ñîñóäà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ æèäêîñòü, è ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ïëîòíîñòè æèäêîñòè, óñêîðåíèÿ ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ è ãëóáèíû, íà êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ äàâëåíèå.
Âàæíî åùå ðàç ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïî ôîðìóëå ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ìîæíî ðàññ÷èòûâàòü äàâëåíèå æèäêîñòè, íàëèòîé â ñîñóä ëþáîé ôîðìû, â òîì ÷èñëå, äàâëåíèå íà ñòåíêè ñîñóäà, à òàêæå äàâëåíèå â ëþáîé òî÷êå æèäêîñòè, íàïðàâëåííîå ñíèçó ââåðõ, ïîñêîëüêó äàâëåíèå íà îäíîé è òîé æå ãëóáèíå îäèíàêîâî ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì.
Ãèäðîñòàòè÷åñêèé ïàðàäîêñ .
Ãèäðîñòàòè÷åñêèé ïàðàäîêñ — ÿâëåíèå, çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî âåñ æèäêîñòè, íàëèòîé â ñîñóä, ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò ñèëû äàâëåíèÿ æèäêîñòè íà äíî ñîñóäà.
 äàííîì ñëó÷àå ïîä ñëîâîì «ïàðàäîêñ» ïîíèìàþò íåîæèäàííîå ÿâëåíèå, íå ñîîòâåòñòâóþùåå îáû÷íûì ïðåäñòàâëåíèÿì.
Òàê, â ðàñøèðÿþùèõñÿ êâåðõó ñîñóäàõ ñèëà äàâëåíèÿ íà äíî ìåíüøå âåñà æèäêîñòè, à â ñóæàþùèõñÿ — áîëüøå.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå îáå ñèëû îäèíàêîâû. Åñëè îäíà è òà æå æèäêîñòü íàëèòà äî îäíîé è òîé æå âûñîòû â ñîñóäû ðàçíîé ôîðìû, íî ñ îäèíàêîâîé ïëîùàäüþ äíà, òî, íåñìîòðÿ íà ðàçíûé âåñ íàëèòîé æèäêîñòè, ñèëà äàâëåíèÿ íà äíî îäèíàêîâà äëÿ âñåõ ñîñóäîâ è ðàâíà âåñó æèäêîñòè â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî äàâëåíèå ïîêîÿùåéñÿ æèäêîñòè çàâèñèò òîëüêî îò ãëóáèíû ïîä ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòüþ è îò ïëîòíîñòè æèäêîñòè: p = pgh (ôîðìóëà ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ æèäêîñòè). À òàê êàê ïëîùàäü äíà ó âñåõ ñîñóäîâ îäèíàêîâà, òî è ñèëà, ñ êîòîðîé æèäêîñòü äàâèò íà äíî ýòèõ ñîñóäîâ, îäíà è òà æå. Îíà ðàâíà âåñó âåðòèêàëüíîãî ñòîëáà ABCD æèäêîñòè: P = oghS, çäåñü S — ïëîùàäü äíà (õîòÿ ìàññà, à ñëåäîâàòåëüíî, è âåñ â ýòèõ ñîñóäàõ ðàçëè÷íû).
Ãèäðîñòàòè÷åñêèé ïàðàäîêñ îáúÿñíÿåòñÿ çàêîíîì Ïàñêàëÿ — ñïîñîáíîñòüþ æèäêîñòè ïåðåäàâàòü äàâëåíèå îäèíàêîâî âî âñåõ íàïðàâëåíèÿõ.
Èç ôîðìóëû ãèäðîñòàòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî âîäû, íàõîäÿñü â ðàçíûõ ñîñóäàõ, ìîæåò îêàçûâàòü ðàçíîå äàâëåíèå íà äíî. Ïîñêîëüêó ýòî äàâëåíèå çàâèñèò îò âûñîòû ñòîëáà æèäêîñòè, òî â óçêèõ ñîñóäàõ îíî áóäåò áîëüøå, ÷åì â øèðîêèõ. Áëàãîäàðÿ ýòîìó äàæå íåáîëüøèì êîëè÷åñòâîì âîäû ìîæíî ñîçäàâàòü î÷åíü áîëüøîå äàâëåíèå.  1648 ã. ýòî î÷åíü óáåäèòåëüíî ïðîäåìîíñòðèðîâàë Á. Ïàñêàëü. Îí âñòàâèë â çàêðûòóþ áî÷êó, íàïîëíåííóþ âîäîé, óçêóþ òðóáêó è, ïîäíÿâøèñü íà áàëêîí âòîðîãî ýòàæà, âûëèë â ýòó òðóáêó êðóæêó âîäû. Èç-çà ìàëîé òîëùèíû òðóáêè âîäà â íåé ïîäíÿëàñü äî áîëüøîé âûñîòû, è äàâëåíèå â áî÷êå óâåëè÷èëîñü íàñòîëüêî, ÷òî êðåïëåíèÿ áî÷êè íå âûäåðæàëè, è îíà òðåñíóëà.
Источник
ЛЕКЦИЯ 7 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Следствия уравнения Бернулли.
4. Принцип работы инжектора, ингалятора.
5. Основные понятия и формулы.
6. Задачи.
7.1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи
Течение жидкости изображается линиями тока –
линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением
вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившимся, стационарным, если
скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при
этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
При стационарном течении линии тока остаются неизменными. Часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы
жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее
сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем Q жидкости,
протекающей за единицу времени через любое сечение S, перпендикулярное
оси трубки тока, определяется формулой
где v – скорость движения частиц жидкости в данном сечении.
Для
идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости
движения частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения
трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в уравнение (7.1).
На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Поэтому скорость
частиц
жидкости в поперечном сечении трубы различна: она максимальна в центре
трубы и уменьшается до нуля у ее стенок. В этом случае в формуле (7.1) v – это средняя скорость течения жидкости в данном сечении.
Условие неразрывности струи: при
стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки
тока каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные
произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.
Уравнение (7.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:
Если
жидкость движется по трубе переменного сечения, то скорость ее движения
обратно пропорциональна площади сечения трубок (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости
Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра трубки (S = πd2/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше,
чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше,
чем площадь сечения А. Следовательно, и скорость потока в сечении С
будет в четыре раза больше, чем в сечении А.
Уравнение неразрывности струи при протекании крови в сосудах
Кровеносная
система человека – это сложная замкнутая система эластичных трубок
разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры,
венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется
по главным артериям, затем по
более мелким и в конце
концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь
возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с.
За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость
кровотока в разных сосудах различна. Ориентировочные значения этой
скорости представлены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Скорость и давление крови в различных сосудах
На
первый взгляд кажется, что приведенные значения противоречат уравнению
неразрывности – в тонких капиллярах скорость кровотока примерно в 1000
меньше, чем в артериях. Однако это несоответствие кажущееся. Дело в том,
что в табл. 7.1 приведен диаметр одного сосуда. Эта величина
действительно уменьшается по мере разветвления. Однако суммарная площадь
разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (около
2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты – этим и
объясняется такая малая скорость крови в капиллярах. Малая скорость
кровотока в капиллярах необходима для обеспечения эффективного обмена
между кровью и тканями.
7.2. Уравнение Бернулли
Для
идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо
уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком
Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в
ней два произвольных сечения (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Параметры сечений в трубке тока
В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (h1 и h2), а их площади различны (S1 и S2). Вследствие уравнения неразрывности различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (v1и v2). Обозначим давления жидкости в этих сечениях Р1 и Р2 соответственно.
Используя закон сохранения механической энергии, можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:
Давление Р называют статическим. Это
давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости. Его
можно измерить манометром, который движется вместе с жидкостью. Величину
ρv2/2 называют динамическим давлением. Оно обусловлено движением жидкости. Гидростатическое давление ρgh – это давление, создаваемое весом вертикального столба жидкости высотой h.
Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:
При
стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме
статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во
всех поперечных сечениях трубки тока.
7.3. Следствия уравнения Бернулли
Горизонтальная трубка тока переменного сечения
При этом h1 = h2 и уравнение (7.3.) принимает вид
Отсюда
следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по
горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается, и
наоборот. Это можно продемонстрировать с помощью манометрических трубок,
уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому
давлению (рис. 7.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость
течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сечении (б).
Наклонная трубка тока постоянного сечения
В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (v = const), и уравнение (7.3) принимает вид
Следовательно,
скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с
высоты h. Соотношение (7.9) – это формула Торричелли.
Рис. 7.3. Горизонтальная трубка переменного сечения
Рис. 7.4. Наклонная труба постоянного сечения
Рис. 7.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда
Измерение скорости жидкости
Установим
в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости)
одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость
отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку,
изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито)
(рис. 7.6).
В движущемся потоке жидкость в трубках
поднимается на разную высоту. Давление под манометрической трубкой равно
статическому давлению Р. Оно уравновешивается давлением атмосферы Ра и давлением столба жидкости h2:
Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (7.10).
Рис. 7.6. Измерение скорости жидкости
7.4. Принцип работы инжектора, ингалятора
В
медицине широкое применение находят приборы, действие которых основано
на использовании законов гидродинамики. Рассмотрим два таких прибора.
Инжектор
Этот
прибор используют для дозированной подачи пациенту газообразного
препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона
поступает в смесительную камеру через узкое сопло (рис. 7.7).
При
этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в
соответствии с уравнением Бернулли, падает. В смесительной камере
возникает разрежение, и в нее засасывается атмосферный воздух.
Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска.
Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие,
регулируют состав смеси, подаваемой пациенту.
Рис. 7.7. Подача кислорода при кислородной терапии
Ингалятор
Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном виде (рис. 7.8).
Рис. 7.8. Схема ингалятора
Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым углом.
Горизонтально
расположенная трубка (1) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца
располагается верхний конец вертикальной трубки (2), нижний конец
которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку
подается пар (3). При прохождении суженного конца скорость пара
возрастает, а давление падает. В область пониженного давления
засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате
образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через
патрубок (4) поступает к пациенту.
7.5. Основные понятия и формулы
Продолжение таблицы
7.6. Задачи
2. Кровь
течет по горизонтальному участку артерии, имеющему сужение. Где
давление крови на стенки сосуда будет больше – на суженном или широком
участке? Динамическим или статическим давлением обусловлено
фонтанирование крови при надрезе артерии?
Решение
Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено разностью между статическим давлением в артерии и давлением атмосферы.
При
прохождении места сужения скорость кровотока возрастает (7.2), а
статическое давление, которое и воздействует на стенки сосуда,
уменьшается (7.5). Отметим, что вклад динамического давления в полное
давление ничтожен. Действительно, принимая v = 0,5 м/с, ρ = 103 кг/м3, найдем:
Ответ: давление
на стенки незначительно уменьшается на участке сужения артерии.
Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено статическим
давлением.
3. Скорость потока крови в капиллярах равна примерно v1= 30 мм/мин, а скорость потока крови в аорте v2= 45 см/с. Определить, во сколько раз площадь сечения всех капилляров больше сечения аорты.
4. Лекарственный раствор вводят в мышцу животного с помощью шприца, внутренний диаметр которого d1 = 10 мм, а диаметр иглы d2 = 0,5 мм. Определить скорость истечения раствора из иглы, если скорость перемещения поршня шприца равна v1 = 2,3 см/с.
7. Наблюдая под микроскопом эритроциты в капилляре, можно измерить скорость течения крови: v1= 0,5 мм/с. Средняя скорость тока крови в аорте составляет v2=
40 см/с. На основании этих данных определить, во сколько раз суммарная
площадь поперечных сечений функционирующих капилляров больше площади
сечения аорты.
Решение
Условие
неразрывности струи было получено для трубки тока переменного сечения.
Очевидно, что оно применимо и к разветвлению труб. В задаче такое
разветвление начинается с аорты (площадь поперечного сечения S2) и заканчивается капиллярами (общая площадь сечения S1). Исходя из этого запишем уравнение неразрывности струи (7.2): S1/S2 = v2/v1= 800.
Ответ: 800.
8. При
всасывании человек может понизить давление в легких на 80 мм рт.ст.
ниже атмосферного. Определить, на какую высоту ему удастся втянуть воду
по трубочке.
10. Во время бури или смерча с домов иногда срывает крыши. Используя уравнение Бернулли, объяснить, почему это происходит. Решение
Давление в потоке ветра уменьшается. Поэтому давление на чердаке превышает внешнее давление на величину ΔΡ = pv2/2. При этом на кровлю действует направленная наружу сила F = Spv2/2. При скорости v = 35 м/с (ураган), ρ = 1,3 кг/м3 и S = 100 м2 величина силы составляет F = 61 000 Н (6 т), что существенно превышает вес кровли.
Источник