Давление в сосуде переменного сечения
1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Следствия уравнения Бернулли.
4. Принцип работы инжектора, ингалятора.
5. Основные понятия и формулы.
6. Задачи.
7.1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи
Течение жидкости изображается линиями тока – линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившимся, стационарным, если скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
При стационарном течении линии тока остаются неизменными. Часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем Q жидкости, протекающей за единицу времени через любое сечение S, перпендикулярное оси трубки тока, определяется формулой
где v – скорость движения частиц жидкости в данном сечении.
Для идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости движения частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в уравнение (7.1).
На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Поэтому скорость
частиц жидкости в поперечном сечении трубы различна: она максимальна в центре трубы и уменьшается до нуля у ее стенок. В этом случае в формуле (7.1) v – это средняя скорость течения жидкости в данном сечении.
Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки тока каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.
Уравнение (7.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:
Если жидкость движется по трубе переменного сечения, то скорость ее движения обратно пропорциональна площади сечения трубок (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости
Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра трубки (S = πd2/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше, чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше, чем площадь сечения А. Следовательно, и скорость потока в сечении С будет в четыре раза больше, чем в сечении А.
Уравнение неразрывности струи при протекании крови в сосудах
Кровеносная система человека – это сложная замкнутая система эластичных трубок разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры, венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется по главным артериям, затем по
более мелким и в конце концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с. За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость кровотока в разных сосудах различна. Ориентировочные значения этой скорости представлены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Скорость и давление крови в различных сосудах
На первый взгляд кажется, что приведенные значения противоречат уравнению неразрывности – в тонких капиллярах скорость кровотока примерно в 1000 меньше, чем в артериях. Однако это несоответствие кажущееся. Дело в том, что в табл. 7.1 приведен диаметр одного сосуда. Эта величина действительно уменьшается по мере разветвления. Однако суммарная площадь разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (около 2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты – этим и объясняется такая малая скорость крови в капиллярах. Малая скорость кровотока в капиллярах необходима для обеспечения эффективного обмена между кровью и тканями.
7.2. Уравнение Бернулли
Для идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в ней два произвольных сечения (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Параметры сечений в трубке тока
В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (h1 и h2), а их площади различны (S1 и S2). Вследствие уравнения неразрывности различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (v1и v2). Обозначим давления жидкости в этих сечениях Р1 и Р2 соответственно.
Используя закон сохранения механической энергии, можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:
Давление Р называют статическим. Это давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости. Его можно измерить манометром, который движется вместе с жидкостью. Величину ρv2/2 называют динамическим давлением. Оно обусловлено движением жидкости. Гидростатическое давление ρgh – это давление, создаваемое весом вертикального столба жидкости высотой h.
Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:
При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.
7.3. Следствия уравнения Бернулли
Горизонтальная трубка тока переменного сечения
При этом h1 = h2 и уравнение (7.3.) принимает вид
Отсюда следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается, и наоборот. Это можно продемонстрировать с помощью манометрических трубок, уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому давлению (рис. 7.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сечении (б).
Наклонная трубка тока постоянного сечения
В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (v = const), и уравнение (7.3) принимает вид
Следовательно, скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с высоты h. Соотношение (7.9) – это формула Торричелли.
Рис. 7.3. Горизонтальная трубка переменного сечения
Рис. 7.4. Наклонная труба постоянного сечения
Рис. 7.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда
Измерение скорости жидкости
Установим в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости) одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку, изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито) (рис. 7.6).
В движущемся потоке жидкость в трубках поднимается на разную высоту. Давление под манометрической трубкой равно статическому давлению Р. Оно уравновешивается давлением атмосферы Ра и давлением столба жидкости h2:
Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (7.10).
Рис. 7.6. Измерение скорости жидкости
7.4. Принцип работы инжектора, ингалятора
В медицине широкое применение находят приборы, действие которых основано на использовании законов гидродинамики. Рассмотрим два таких прибора.
Инжектор
Этот прибор используют для дозированной подачи пациенту газообразного препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона поступает в смесительную камеру через узкое сопло (рис. 7.7).
При этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в соответствии с уравнением Бернулли, падает. В смесительной камере возникает разрежение, и в нее засасывается атмосферный воздух. Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска. Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие, регулируют состав смеси, подаваемой пациенту.
Рис. 7.7. Подача кислорода при кислородной терапии
Ингалятор
Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном виде (рис. 7.8).
Рис. 7.8. Схема ингалятора
Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым углом.
Горизонтально расположенная трубка (1) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца располагается верхний конец вертикальной трубки (2), нижний конец которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку подается пар (3). При прохождении суженного конца скорость пара возрастает, а давление падает. В область пониженного давления засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через патрубок (4) поступает к пациенту.
7.5. Основные понятия и формулы
Продолжение таблицы
7.6. Задачи
2. Кровь течет по горизонтальному участку артерии, имеющему сужение. Где давление крови на стенки сосуда будет больше – на суженном или широком участке? Динамическим или статическим давлением обусловлено фонтанирование крови при надрезе артерии?
Решение
Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено разностью между статическим давлением в артерии и давлением атмосферы.
При прохождении места сужения скорость кровотока возрастает (7.2), а статическое давление, которое и воздействует на стенки сосуда, уменьшается (7.5). Отметим, что вклад динамического давления в полное давление ничтожен. Действительно, принимая v = 0,5 м/с, ρ = 103 кг/м3, найдем:
Ответ: давление на стенки незначительно уменьшается на участке сужения артерии. Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено статическим давлением.
3. Скорость потока крови в капиллярах равна примерно v1= 30 мм/мин, а скорость потока крови в аорте v2= 45 см/с. Определить, во сколько раз площадь сечения всех капилляров больше сечения аорты.
4. Лекарственный раствор вводят в мышцу животного с помощью шприца, внутренний диаметр которого d1 = 10 мм, а диаметр иглы d2 = 0,5 мм. Определить скорость истечения раствора из иглы, если скорость перемещения поршня шприца равна v1 = 2,3 см/с.
7. Наблюдая под микроскопом эритроциты в капилляре, можно измерить скорость течения крови: v1= 0,5 мм/с. Средняя скорость тока крови в аорте составляет v2= 40 см/с. На основании этих данных определить, во сколько раз суммарная площадь поперечных сечений функционирующих капилляров больше площади сечения аорты.
Решение
Условие неразрывности струи было получено для трубки тока переменного сечения. Очевидно, что оно применимо и к разветвлению труб. В задаче такое разветвление начинается с аорты (площадь поперечного сечения S2) и заканчивается капиллярами (общая площадь сечения S1). Исходя из этого запишем уравнение неразрывности струи (7.2): S1/S2 = v2/v1= 800.
Ответ: 800.
8. При всасывании человек может понизить давление в легких на 80 мм рт.ст. ниже атмосферного. Определить, на какую высоту ему удастся втянуть воду по трубочке.
10. Во время бури или смерча с домов иногда срывает крыши. Используя уравнение Бернулли, объяснить, почему это происходит. Решение
Давление в потоке ветра уменьшается. Поэтому давление на чердаке превышает внешнее давление на величину ΔΡ = pv2/2. При этом на кровлю действует направленная наружу сила F = Spv2/2. При скорости v = 35 м/с (ураган), ρ = 1,3 кг/м3 и S = 100 м2 величина силы составляет F = 61 000 Н (6 т), что существенно превышает вес кровли.
Источник
| Рисунок 1.22.5. Итак, во многих явлениях аэродинамики существенную роль играют силы вязкого трения. Они приводят к возникновению циркулирующих потоков воздуха вокруг крыла самолета или вокруг вращающегося тела, к появлению силы сопротивления среды и т. д. Уравнение Бернулли не учитывает сил трения. Его вывод основан на законе сохранения механической энергии при течении жидкости или газа. Поэтому с помощью уравнения Бернулли нельзя дать исчерпывающего объяснения явлений, в которых проявляются силы трения. В этих случаях можно руководствоваться только качественными соображениями – чем больше скорость, тем меньше давление в потоке газа. Особенно заметно проявляются силы вязкого трения при течении жидкостей. У некоторых жидкостей вязкость настолько велика, что применение уравнение Бернулли может привести к качественно неверным результатам. Например, при истечении вязкой жидкости через отверстие в стенке сосуда ее скорость может быть в десятки раз меньше рассчитанной по формуле Торричелли. При движении сферического тела в идеальной жидкости оно не должно испытывать лобового сопротивления. Если же такое тело движется в вязкой жидкости, то возникает сила сопротивления, модуль которой пропорционален скорости и радиусу сферы ( закон Стокса ) Коэффициент пропорциональности в этой формуле зависит от свойств жидкости. Поэтому, если тяжелый шарик бросить в высокий сосуд, наполненный вязкой жидкостью (например, глицерином), то через некоторое время скорость шарика достигнет установившегося значения, которое не будет изменяться при дальнейшем движении шарика. При движении с установившейся скоростью силы, действующие на шарик (сила тяжести выталкивающая сила и сила сопротивления среды оказываются скомпенсированными, и их равнодействующая равна нулю. Источник Движение жидкости по трубам. Зависимость давления жидкости от скорости ее теченияДвижение жидкости по трубам. Зависимость давления жидкости от скорости ее течения Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности Рассмотрим случай, когда невязкая жидкость течет по горизонтальной цилиндрической трубе с изменяющимся поперечным сечением. Течение жидкости называют стационарным, если в каждой точке пространства, занимаемого жидкостью, ее скорость с течением времени не изменяется. При стационарном течении через любое поперечное сечение трубы за равные промежутки времени переносятся одинаковые объемы жидкости. Жидкости практически несжимаемы, т. е. можно считать, что данная масса жидкости всегда имеет неизменный объем. Поэтому одинаковость объемов жидкости, проходящих через разные сечения трубы, означает, что скорость течения жидкости зависит от сечения трубы. Пусть скорости стационарного течения жидкости через сечения трубы S1 и S2 равны соответственно v1 и v2. Объем жидкости, протекающей за промежуток времени t через сечение S1, равен V1=S1v1t, а объем жидкости, протекающей за то же время через сечение S2, равен V2=S2v2t. Из равенства V1=V2 следует, что Соотношение (1) называют уравнением неразрывности. Из него следует, что Следовательно, при стационарном течении жидкости скорости движения ее частиц через разные поперечные сечения трубы обратно пропорциональны площадям этих сечений. Давление в движущейся жидкости. Закон БернуллиУвеличение скорости течения жидкости при переходе из участка трубы с большей площадью поперечного сечения в участок трубы с меньшей площадью поперечного сечения означает, что жидкость движется с ускорением. Согласно второму закону Ньютона, причиной ускорения является сила. Этой силой в данном случае является разность сил давления, действующих на текущую жидкость в широкой и узкой частях трубы. Следовательно, в широкой части трубы давление жидкости должно быть больше, чем в узкой. Это можно непосредственно наблюдать на опыте. На рис. показано, что на участках разного поперечного сечения S1 и S2 в трубу, по которой течет жидкость, вставлены манометрические трубки. Как показывают наблюдения, уровень жидкости в манометрической трубке у сечения S1 трубы выше, чем у сечения S2. Следовательно, давление в жидкости, протекающей через сечение с большей площадью S1, выше, чем давление в жидкости, протекающей через сечение с меньшей площадью S2. Следовательно, при стационарном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление в жидкости больше и, наоборот, там, где скорость течения больше, давление в жидкости меньше. К этому выводу впервые пришел Бернулли, поэтому данный закон называется законом Бернулли. Разборка решения задач: ЗАДАЧА 1. Вода течет в горизонтально расположенной трубе переменного сечения. Скорость течения в широкой части трубы 20 см/с. Определить скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части. ЗАДАЧА 2. В горизонтально расположенной трубе сечением 20 см2 течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение сечением 12 см2. Разность уровней жидкости в манометрических трубках, установленных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объемный расход жидкости за 1 с. ЗАДАЧА 3. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила 15 Н. Определить скорость истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь поршня 12 см2. Источник Давление жидкости текущей по трубе переменного сеченияВ этом параграфе мы применим закон сохранения энергии к движению жидкости или газа по трубам. Движение жидкости по трубам часто встречается в технике и быту. По трубам водопровода подается вода в городе в дома, к местам ее потребления. В машинах по трубам поступает масло для смазки, топливо в двигатели и т. д. Движение жидкости по трубам нередко встречается и в природе. Достаточно сказать, что кровообращение животных и человека – это течение крови по трубкам – кровеносным сосудам. В какой-то мере течение воды в реках тоже является разновидностью течения жидкости по трубам. Русло реки – это своеобразная труба для текущей воды. Как известно, неподвижная жидкость в сосуде согласно закону Паскаля передает внешнее давление по всем направлениям и во все точки объема без изменения. Однако, когда жидкость течет без трения по трубе, площадь поперечного сечения которой на разных участках различна, давление оказывается неодинаковым вдоль трубы. Выясним, почему давление в движущейся жидкости зависит от площади поперечного сечения трубы. Но сначала ознакомимся с одной важной особенностью всякого потока жидкости. Предположим, что жидкость течет по горизонтально расположенной трубе, сечение которой в разных местах различное, например по трубе, часть которой показана на рисунке 207. Если бы мы мысленно провели несколько сечений вдоль трубы, площади которых соответственно равны и измерили бы количество жидкости, протекающей через каждое из них за какой-то промежуток времени то мы обнаружили бы, что через каждое сечение протекло одно и то же количество жидкости. Это значит, что вся та жидкость, которая за время проходит через первое сечение, за такое же время проходит и через третье сечение, хотя оно по площади значительно меньше, чем первое. Если бы это было не так и через сечение площадью за время проходило, например, меньше жидкости, чем через сечение площадью то избыток жидкости должен был бы где-то накапливаться. Но жидкость заполняет всю трубу, и накапливаться ей негде. Как же может жидкость, протекшая через широкое сечение, успеть за такое же время «протиснуться» через узкое? Очевидно, что для этого при прохождении узких частей трубы скорость движения должна быть больше, и как раз во столько раз, во сколько раз площадь сечения меньше. Действительно, рассмотрим некоторое сечение движущегося столба жидкости, совпадающее в начальный момент времени с одним из сечений трубы (рис. 208). За время эта площадка переместится на расстояние которое равно где – скорость течения жидкости. Объем V жидкости, протекшей через сечение трубы, равен произведению площади этого сечения на длину В единицу же времени протекает объем жидкости – Объем жидкости, протекающей в единицу времени через сечение трубы, равен произведению площади поперечного сечения трубы на скорость течения. Как мы только что видели, этот объем должен быть одним и тем же в разных сечениях трубы. Поэтому, чем меньше сечение трубы, тем больше скорость движения. Сколько жидкости проходит через одно сечение трубы за некоторое время, столько же ее должно пройти за такое же время через любое другое сечение. При этом мы считаем, что данная масса жидкости всегда имеет один и тот же объем, что она не может сжаться и уменьшить свой объем (о жидкости говорят, что она несжимаема). Хорошо известно, например, что в узких местах реки скорость течения воды больше, чем в широких. Если обозначить скорость течения жидкости в сечениях площадями через то можно написать: Отсюда видно, что при переходе жидкости с участка трубы с большей площадью сечения на участок с меньшей площадью сечения скорость течения увеличивается, т. е. жидкость движется с ускорением. А это по второму закону Ньютона означает, что на жидкость действует сила. Что это за сила? Этой силой может быть только разность между силами давления в широком и узком участках трубы. Таким образом, в широком участке давление жидкости должно быть больше, чем в узком участке трубы. Это же следует из закона сохранения энергии. Действительно, если в узких местах трубы увеличивается скорость движения жидкости, то увеличивается и ее кинетическая энергия. А так как мы приняли, что жидкость течет без трения, то этот прирост кинетической энергии должен компенсироваться уменьшением потенциальной энергии, потому что полная энергия должна оставаться постоянной. О какой же потенциальной энергии здесь идет речь? Если труба горизонтальна, то потенциальная энергия взаимодействия с Землей во всех частях трубы одна и та же и не может измениться. Значит, остается только потенциальная энергия упругого взаимодействия. Сила давления, которая заставляет жидкость течь по трубе, – это и есть упругая сила сжатия жидкости. Когда мы говорим, что жидкость несжимаема, то имеем лишь в виду, что она не может быть сжата настолько, чтобы заметно изменился ее объем, но очень малое сжатие, вызывающее появление упругих сил, неизбежно происходит. Эти силы и создают давление жидкости. Вот это сжатие жидкости и уменьшается в узких частях трубы, компенсируя рост скорости. В узких местах труб давление жидкости должно быть поэтому меньше, чем в широких. В этом состоит закон, открытый петербургским академиком Даниилом Бернулли: Давление текущей жидкости больше в тех сечениях потока, в которых скорость ее движения меньше, и, наоборот, в тех сечениях, в которых скорость больше, давление меньше. Как это ни покажется странным, но когда жидкость «протискивается» через узкие участки трубы, то ее сжатие не увеличивается, а уменьшается. И опыт хорошо это подтверждает. Если трубу, по которой течет жидкость, снабдить впаянными в нее открытыми трубками – манометрами (рис. 209), то можно будет наблюдать распределение давления вдоль трубы. В узких местах трубы высота столба жидкости в манометрической трубке меньше, чем в широких. Это означает, что в этих местах давление меньше. Чем меньше сечение трубы, тем больше в ней скорость течения и меньше давление. Можно, очевидно, подобрать такое сечение, в котором давление равно внешнему атмосферному давлению (высота уровня жидкости в манометре будет тогда равна нулю). А если взять еще меньшее сечение, то давление жидкости в нем будет меньше атмосферного. Такой поток жидкости можно использовать для откачки воздуха. На этом принципе действует так называемый водоструйный насос. На рисунке 210 изображена схема такого насоса. Струю воды пропускают через трубку А с узким отверстием на конце. Давление воды у отверстия трубы меньше атмосферного. Поэтому газ из откачиваемого объема через трубку В втягивается к концу трубки А и удаляется вместе с водой. Все сказанное о движении жидкости по трубам относится и к движению газа. Если скорость течения газа не слишком велика и газ не сжимается настолько, чтобы изменялся его объем, и если, кроме того, пренебречь трением, то закон Бернулли верен и для газовых потоков. В узких частях труб, где газ движется быстрее, давление его меньше, чем в широких частях, и может стать меньше атмосферного. В некоторых случаях для этого даже не требуется трубы. Можно проделать простой опыт. Если дуть на лист бумаги вдоль его поверхности, как показано на рисунке 211, можно увидеть, что бумага станет подниматься вверх. Это происходит из-за понижения давления в струе воздуха над бумагой. Такое же явление имеет место при полете самолета. Встречный поток воздуха набегает на выпуклую верхнюю поверхность крыла летящего самолета, и за счет этого происходит понижение давления. Давление над крылом оказывается меньше, чем давление под крылом. Именно поэтому возникает подъемная сила крыла. 1. Допустимая скорость течения нефти по трубам равна 2 м/сек. Какой объем нефти проходит через трубу диаметром 1 м в течение 1 ч? 2. Измерьте количество воды, вытекающей из водопроводного крана за определенное время Определите скорость течения воды, измерив диаметр трубы перед краном. 3. Каким должен быть диаметр трубопровода, по которому должно протекать воды в час? Допустимая скорость течения воды 2,5 м/сек. Источник ➤ |
Источник