Давление жидкости на дно сосуда зависит только

Статика. Давление покоящейся жидкости на дно и стенки сосуда (гидростатическое давление).

Жидкости (и газы) передают по всем направлениям не только внешнее давление, но и то дав­ление, которое существует внутри них благодаря весу собственных частей.

Давление, оказываемое покоящейся жидкостью, называется гидроста­тическим.

Получим формулу для расчета гидростатического давления жидкости на произвольной глубине h (в окрестности точки A на рисунке).

Сила давления, действующая со стороны вышележащего узкого столба жидкости, может быть выражена двумя способами:

1) как произведение давления p в основании этого столба на площадь его сечения S:

2) как вес того же столба жидкости, т. е. произведение массы m жидкости на ускорение сво­бодного падения:

Масса жидкости может быть выражена через ее плотность p и объем V:

а объем — через высоту столба и площадь его поперечного сечения:

Подставляя в формулу (1.28) значение массы из (1.29) и объема из (1.30), получим:

Приравнивая выражения (1.27) и (1.31) для силы давления, получим:

Разделив обе части последнего равенства на площадь S, найдем давление жидкости на глубине h:

Это и есть формула гидростатического давления.

Гидростатическое давление на любой глубине внутри жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, и равно произведению плотности жидкости, ускорения свободно­го падения и глубины, на которой определяется давление.

Важно еще раз подчеркнуть, что по формуле гидростатического давления можно рассчитывать давление жидкости, налитой в сосуд любой формы, в том числе, давление на стенки сосуда, а так­же давление в любой точке жидкости, направленное снизу вверх, поскольку давление на одной и той же глубине одинаково по всем направлениям.

Гидростатический парадокс .

Гидростатический парадокс — явление, заключающееся в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления жидкости на дно сосуда.

В данном случае под словом «парадокс» понимают неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям.

Так, в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в сужа­ющихся — больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы. Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна, то, несмотря на разный вес налитой жидкости, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде.

Это следует из того, что давление покоящейся жидкости зависит только от глубины под свободной поверхностью и от плотности жидкости: p = pgh (формула гидростатического давления жидкости). А так как площадь дна у всех сосудов одинакова, то и сила, с которой жидкость давит на дно этих сосу­дов, одна и та же. Она равна весу вертикального столба ABCD жидкости: P = oghS, здесь S — площадь дна (хотя масса, а следовательно, и вес в этих сосудах различны).

Гидростатический парадокс объясняется законом Паскаля — способ­ностью жидкости передавать давление одинаково во всех направлениях.

Из формулы гидростатического давления следует, что одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, может оказывать разное дав­ление на дно. Поскольку это давление зависит от высоты столба жидкости, то в узких сосудах оно будет больше, чем в широких. Благодаря этому даже небольшим количеством воды можно создавать очень большое давле­ние. В 1648 г. это очень убедительно продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, подняв­шись на балкон второго этажа, вылил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давле­ние в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Источник

Гидростатический парадокс или парадокс Паскаля

Гидростатический парадокс или парадокс Паскаля — явление, при котором сила весового давления налитой в сосуд жидкости на дно сосуда может отличаться от веса налитой жидкости. В сосудах с увеличивающимся кверху поперечным сечением сила давления на дно сосуда меньше веса жидкости, в сосудах с уменьшающимся кверху поперечным сечением сила давления на дно сосуда больше веса жидкости. Сила давления жидкости на дно сосуда равна весу жидкости лишь для сосуда цилиндрической формы. Математическое объяснение парадоксу было дано Симоном Стевином в 1612 году.

Причины

Причина гидростатического парадокса состоит в том, что по закону Паскаля жидкость давит не только на дно, но и на стенки сосуда.

Если стенки сосуда вертикальные, то силы давления жидкости на его стенки направлены горизонтально и не имеют вертикальной составляющей. Сила давления жидкости на дно сосуда в этом случае равна весу жидкости в сосуде. Если же сосуд имеет наклонные стенки, давление жидкости на них имеет вертикальную составляющую. В расширяющемся кверху сосуде она направлена вниз, в сужающемся кверху сосуде она направлена вверх. Вес жидкости в сосуде равен сумме вертикальных составляющих давления жидкости по всей внутренней площади сосуда, поэтому он и отличается от давления на дно.

Опыт Паскаля

В 1648 году парадокс продемонстрировал Блез Паскаль . Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, влил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Гидростатический парадокс и закон Архимеда

Похожий кажущийся парадокс возникает при рассмотрении закона Архимеда . Согласно распространённой формулировке закона Архимеда , на погружённое в воду тело действует выталкивающая сила, равная весу воды, вытесненной этим телом. Из такой формулировки можно сделать неверное умозаключение, что тело не сможет плавать в сосуде, не содержащем достаточное количество воды для вытеснения.

Однако на практике тело может плавать в резервуаре с таким количеством воды, масса которой меньше массы плавающего тела. Это возможно в ситуации, когда резервуар лишь ненамного превышает размеры тела. Например, когда корабль стоит в тесном доке, он остаётся на плаву точно так же, как в открытом океане, хотя масса воды между кораблём и стенками дока может быть меньше, чем масса корабля.

Объяснение парадокса заключается в том, что архимедова сила создаётся гидростатическим давлением, которое зависит не от веса воды, а только от высоты её столба. Как в гидростатическом парадоксе на дно сосуда действует сила весового давления воды, которая может быть больше веса самой воды в сосуде, так и в вышеописанной ситуации давление воды на днище корабля может создавать выталкивающую силу, превышающую вес этой воды.

Более корректной формулировкой закона Архимеда является следующая: на погружённое в воду тело действует выталкивающая сила, эквивалентная весу воды в погружённом объёме тела.

Источник

§ 157. Сила давления на дно сосуда

Возьмем цилиндрический сосуд с горизонтальным дном и вертикальными стенками, наполненный жидкостью до высоты

(рис. 248).

Рис. 248. В сосуде с вертикальными стенками сила давления на дно равна весу всей налитой жидкости

Рис. 249. Во всех изображенных сосудах сила давления на дно одинакова. В первых двух сосудах она больше веса налитой жидкости, в двух других — меньше

Гидростатическое давление в каждой точке дна сосуда будет одно и то же:

.

Если дно сосуда имеет площадь

, то сила давления жидкости на дно сосуда , т. е. равна весу жидкости, налитой в сосуд.

Рассмотрим теперь сосуды, отличающиеся по форме, но с одинаковой площадью дна (рис. 249). Если жидкость в каждом из них налита до одной и той же высоты

, то давление на дно . во всех сосудах одно и то же. Следовательно, сила давления на дно, равная

,

также одинакова во всех сосудах. Она равна весу столба жидкости с основанием, равным площади дна сосуда, и высотой, равной высоте налитой жидкости. На рис. 249 этот столб показан около каждого сосуда штриховыми линиями. Обратите внимание на то, что сила давления на дно не зависит от формы сосуда и может быть как больше, так и меньше веса налитой жидкости.

Рис. 250. Прибор Паскаля с набором сосудов. Сечения одинаковы у всех сосудов

Рис. 251. Опыт с бочкой Паскаля

Этот вывод можно проверить на опыте при помощи прибора, предложенного Паскалем (рис. 250). На подставке можно закреплять сосуды различной формы, не имеющие дна. Вместо дна снизу к сосуду плотно прижимается подвешенная к коромыслу весов пластинка. При наличии жидкости в сосуде на пластинку действует сила давления, которая отрывает пластинку, когда сила давления начнет превосходить вес гири, стоящей на другой чашке весов.

У сосуда с вертикальными стенками (цилиндрический сосуд) дно открывается, когда вес налитой жидкости достигает веса гири. У сосудов другой формы дно открывается при той же самой высоте столба жидкости, хотя вес налитой воды может быть и больше (расширяющийся кверху сосуд), и меньше (суживающийся сосуд) веса гири.

Этот опыт приводит к мысли, что при надлежащей форме сосуда можно с помощью небольшого количества воды получить огромные силы давления на дно. Паскаль присоединил к плотно законопаченной бочке, налитой водой, длинную тонкую вертикальную трубку (рис. 251). Когда трубку заполняют водой, сила гидростатического давления на дно становится равной весу столба воды, площадь основания которого равна площади дна бочки, а высота равна высоте трубки. Соответственно увеличиваются и силы давления на стенки и верхнее днище бочки. Когда Паскаль заполнил трубку до высоты в несколько метров, для чего потребовалось лишь несколько кружек воды, возникшие силы давления разорвали бочку.

Как объяснить, что сила давления на дно сосуда может быть, в зависимости от формы сосуда, больше или меньше веса жидкости, содержащейся в сосуде? Ведь сила, действующая со стороны сосуда на жидкость, должна уравновешивать вес жидкости. Дело в том, что на жидкость в сосуде действует не только дно, но и стенки сосуда. В расширяющемся кверху сосуде силы, с которыми стенки действуют на жидкость, имеют составляющие, направленные вверх: таким образом, часть веса жидкости уравновешивается силами давления стенок и только часть должна быть уравновешена силами давления со стороны дна. Наоборот, в суживающемся кверху сосуде дно действует на жидкость вверх, а стенки — вниз; поэтому сила давления на дно оказывается больше веса жидкости. Сумма же сил, действующих на жидкость со стороны дна сосуда и его стенок, всегда равна весу жидкости. Рис. 252 наглядно показывает распределение сил, действующих со стороны стенок на жидкость в сосудах различной формы.

Рис. 252. Силы, действующие на жидкость со стороны стенок в сосудах различной формы

Рис. 253. При наливании воды в воронку цилиндр поднимается вверх.

В суживающемся кверху сосуде со стороны жидкости на стенки действует сила, направленная вверх. Если стенки такого сосуда сделать подвижными, то жидкость поднимет их. Такой опыт можно произвести на следующем приборе: поршень неподвижно закреплен, и на него надет цилиндр, переходящий в вертикальную трубку (рис. 253). Когда пространство над поршнем заполняется водой, силы давления на участках

и стенок цилиндра поднимают цилиндр вверх.

Источник