Давление жидкости на плоские поверхности сосудов

Давление жидкости на плоские поверхности. В практической деятельности довольно часто приходится сталкиваться с определением силы гидростатического давления на плоские и криволинейные поверхности. Рассмотрим «плоскую» фигуру с площадью смоченной части со, наклоненную к горизонту под углом а. (рис. 1.7).

Сила гидростатического давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению площади смоченной поверхности со на сумму внешнего гидростатического давления жидкости р0 и избыточного гидростатического давления жидкости pghc.

где hc – глубина погружения центра тяжести площади со в жидкость.

В соответствии с основным уравнением гидростатики внешнее давление р0, действующее на поверхность жидкости, передается всем точкам со одинаково, поэтому точка приложения силы внешнего гидростатического давления (р0) будет совпадать с центром тяжести фигуры.

Рис. 1.7. Давление жидкости на плоскую поверхность [32]

Сила избыточного гидростатического давления распределяется неравномерно, увеличиваясь с глубиной погружения, равнодействующая этой силы будет лежать ниже центра тяжести фигуры. На практике чаще всего встречается случай, когда р0 = рат, т. е. на фигуру действует атмосферное давление и положение центра давления зависит только от величины силы избыточного гидростатического давления.

Чтобы иметь полное представление о силе гидростатического давления жидкости, необходимо, кроме ее величины, знать направление и точку приложения этой силы, называемую центром давления yD. Центр давления (точка приложения суммарной силы давления) всегда расположен ниже центра тяжести фигуры. Расстояние между центром тяжести фигуры и центром давления называется эксцентриситетом. Формулы для расчета момента инерции, координат центра тяжести, центра давления, силы Р и площади стенок различной формы приведены в [67].

Силу гидростатического давления жидкости на плоскую поверхность можно определить графически, с помощью эпюры давления, представляющей собой график изменения гидростатического давления в зависимости от глубины. Эпюры давления следует строить со стороны жидкости, не забывая о направлении действия нормальных напряжений в покоящейся жидкости. Так, для плоской вертикальной прямоугольной стенки давление распределяется согласно основному уравнению гидростатики: р=ро+ pghu Если hi = 0, тор = р0; если hi = Я, тор = ра + pgH.

Эпюра давления будет в виде трапеции, если учитывать р0 согласно рис. 1.8, а. Эпюра давления будет в виде треугольника, если не учитывать ро, причем наклон линии зависит от величины pg. Например, для воды (pg = 98 Н/м3) эпюра избыточного гидростатического давления будет представлять собой равнобедренный треугольник с углом 45°.

Рис. 1.8. Схема к определению сил гидростатического давления

Для жидкостей более тяжелых, чем вода (например, ртуть), наклон линии будет более пологим, т. е. /?р> 45°.

Принимая во внимание первое свойство гидростатического давления, получаем эпюру давления для плоской наклонной стенки (рис. 1.8, б). Если стенка испытывает двустороннее давление, то по тому же принципу можно построить эпюру для вертикальной (рис 1.8, в) и наклонной (рис. 1.8, г) стенок. Кроме того, необходимо учитывать стенки, состоящие из элементов с различным углом наклона (рис. 1.8, д).

Для горизонтально расположенной стенки, в виде горизонтального дна сосуда, сила давления жидкости на все дно площадью со может быть определена по формуле: Р = pg-coH.

Эпюра давления изобразится в виде цилиндра с площадью основания и высотой Я, а сила давления будет равна весу жидкости в объеме цилиндра. Следовательно, сила избыточного гидростатического давления на дно сосуда зависит только от рода жидкости, площади дна сосуда и высоты жидкости в сосуде и не зависит от формы и объема сосуда. Это свойство жидкости известно под названием гидростатического парадокса (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Гидростатический парадокс [32]

Давление жидкости на криволинейные поверхности. На практике широкое применение имеют криволинейные поверхности, находящиеся под давлением жидкости (сегментные затворы, стенки труб, резервуаров и т. д.).

Для определения силы гидростатического давления жидкости рассмотрим криволинейную поверхность (рис. 1.10), выделив на ней элементарную площадку dco, наклоненную к горизонту под углом (р. Разложим силу давления dP на две составляющие: горизонтальную dPx и вертикальную dPz. Направим ось ОХ параллельно образующей, а ось OZ – вертикально вниз.

Рис. 1.10. Давление жидкости на криволинейную поверхность [32]

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется по формуле:

где Рхи Pz~ горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления. Для того чтобы определить горизонтальную составляющую силы давления, необходимо спроецировать криволинейную поверхность на вертикальную плоскость и определить ее как силу, действующую на плоскую стенку:

где ръ – давление воздуха на свободную поверхность жидкости, hc – расстояние от свободной поверхности до центра тяжести вертикальной плоскости, dcox – проекция элементарной площадки dco на плоскость, перпендикулярную оси О-Х. Вертикальная составляющая численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

где W – объем тела давления, т. е. объем жидкости, ограниченный данной криволинейной плоскостью, вертикальной плоскостью, проведенной через нижнюю образующую криволинейной поверхности и свободную поверхность жидкости. Вес тела давления может быть положительным и отрицательным.

Различают действительные, фиктивные и смешанные тела давления. Если тело давления заполнено жидкостью, то оно называется действительным, если не заполнено жидкостью – фиктивным, если есть и те, и другие участки – смешанным. В случае действительного тела давления вертикальная составляющая силы давления Р2направлена вниз, у фиктивного тела давления – вверх. У смешанного тела давления вертикальные составляющие на отдельных участках будут иметь различные направления [77, 79].

Горизонтальная составляющая Рхпроходит через центр давления проекции сох, а вертикальная составляющая Р2проходит через центр тяжести тела давления. В общем случае точка приложения равнодействующей определяется на основе уравнения моментов, подробнее в [13, 53, 77, 79].

Источник

При расчете резервуаров и различных емкостей для хранения жидкостей требуется знать полное давление жидкости на ограничивающие ее твердые стенки и точку приложения равнодействующей сил давления. Пусть задана плоская вертикальная стенка АВ (рис. 1.9).

Гидростатическое давление жидкости на всей площади поверхности стенки складывается из суммы гидростатических давлений во всех ее точках и называется суммарным давлением жидкости. Для определения этого давления необходимо установить, как оно распределяется по поверхности тела, на которое воздей-

Рис. 1.9. К определению силы гидростатического давления на плоскую поверхность:

а — эпюра гидростатического давления; б — положение центров тяжести и давления на плоской прямоугольной стенке

ствует жидкость. Графическое изображение распределения давления по высоте тела, например стенки, называется эпюрой гидростатического давления (см. рис. 1.9, а).

Гидростатическое давление в точке жидкости, расположенной на любой глубине от свободной поверхности, может быть определено по формуле (1.21)

Поверхностное давление в открытом сосуде, равное атмосферному давлению р0 = /?атм, передается в любую точку жидкости без изменения и является постоянным. Избыточное гидростатическое давление рgh пропорционально глубине погружения точки, т. е. изменение его значения по глубине подчинено линейному закону.

Атмосферное давление ратм, действующее на свободную поверхность жидкости и полностью передающееся в любую точку на стенке внутри жидкости, уравновешивается таким же атмосферным давлением, действующим снаружи на стенку сосуда. Поэтому при расчете стенок на прочность и устойчивость определяют и учитывают только избыточное давление р = рgh.

Эпюра избыточного гидростатического давления на вертикальную стенку сосуда приведена на рис. 1.9, а. Избыточное давление в точке А равно р = 0 (/? = 0), а в точке В — р = рgh.

В каждой точке жидкости давление нормально к поверхности стенки, поэтому на нормали к точке В откладываем в принятом масштабе отрезок BE, равный рgh, и соединяем прямой с точкой А. Треугольник АВЕ показывает распределение избыточного гидростатического давления по высоте стенки.

Каждая ордината этого треугольника представляет собой избыточное давление в соответствующей точке стенки, а площадь треугольника — силу суммарного избыточного давления жидкости на стенку в перпендикулярной ей плоскости. Если эту площадь умножить на ширину стенки Ь, то получим силу гидростатического давления, действующую на стенку сосуда:

Однако = hc, hb = F, следовательно

где F — площадь стенки, находящейся под поверхностью жидкости; hc — глубина погружения центра тяжести плоской поверхности (точка Сна рис. 1.9).

Сила избыточного давления, оказываемая на плоскую стенку, находящуюся под воздействием жидкости, равна произведению площади смоченной поверхности стенки на избыточное гидростатическое давление в ее центре тяжести. Это правило распространяется и на полное суммарное давление, и на любую плоскую фигуру, погруженную в жидкость. При учете поверхностного давления абсолютное суммарное давление, действующее на стенку, расчитывается по формуле:

Полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление рс в центре тяжести этой площади. Формула (1.28) справедлива и для любой наклонной плоскости с произвольными очертаниями.

Рис. 1.10. Гидростатический парадокс

Если стенка расположена горизонтально, т. е. является горизонтальным дном сосуда, то полная сила давления на дно Ран определяется по формулам

где h — высота столба жидкости над дном; F — площадь дна.

Сила давления на дно Рт зависит лишь от плотности жидкости, высоты столба жидкости и площади дна и не зависит от формы дна и объема сосуда, т. е. для сосудов разной формы давление на дно будет одинаковым, если они имеют одинаковую площадь дна и наполнены одинаковой жидкостью до одного и того же уровня. Это явление называется гидростатическим парадоксом, (рис. 1.10).

Точка приложения равнодействующей силы давления на стенку называется центром давления. Центр давления расположен ниже центра тяжести (точки С) (см. рис. 1.9). Только на горизонтальной стенке (дно сосуда) центр давления совпадает с центром тяжести. Положение центра давления легко определять графически. Равнодействующая сила давления проходит через центр тяжести эпюры. Проекция этого центра на плоскость стенки и есть центр давления. Для прямоугольной стенки равнодействующая силы гидростатического давления и центр давления находятся на расстоянии /?/3 от основания или 2/3/? от поверхности жидкости.

Координата центра давления yD, т. е. расстояние от свободной поверхности жидкости до центра давления, измеряемое вдоль стенки, может быть определена по формуле

где ус — расстояние от центра тяжести площади смоченной поверхности стенки до свободной поверхности жидкости, измеряемое вдоль стенки; /0 — момент инерции площади смоченной поверхности стенки относительно оси, проходящей через ее центр тяжести; F — площадь смоченной поверхности стенки.

Источник

Сила давления на плоскую горизонтальную и наклонную поверхности. Гидростатический парадокс

Имеем сосуд (рис.8,а) с глубиной воды h. Давление жидкости в какой-либо точке сосуда зависит от глубины погружения этой точки. Если взять точки A, В и C, то давления в них будут соответственно равны

Сила гидростатического давления на горизонтальную площадку SC

Сила гидростатического давления на все дно сосуда площадью S может быть определена по формуле

Рис. 8. Сила давления на плоскую стенку.

Следовательно, суммарная сила давления жидкости на горизонтальную поверхность равна весу столба жидкости, расположенной над рассматриваемой поверхностью.

На рис. 8,б изображены три сосуда различной формы. Площадь дна S всех трех сосудов одинакова. Все сосуды наполнены однородной жидкостью на глубину H. На рис. 8,б H = H1 + H2Гидростатическое давление на дно во всех сосудах будет одинаковым и равным р = ρ∙g∙Н .

Суммарная сила гидростатического давления на дно любого из трех показанных на рис. 8,б сосудов будет также одинаковой и равной F=р∙S=ρ∙g∙H∙S. Спрашивается, откуда в сосуде I берется дополнительная сила по сравнению c сосудом II и куда пропадает избыток веса жидкости в сосуде III по сравнению c сосудом II? Нет ли здесь противоречия с законами физики?

Законы гидравлики утверждают, что давление жидкости не зависит от формы сосуда, а зависит от глубины погружения площади и ее размеров. В этом и заключается гидростатический парадокс, который может быть объяснен особым свойством жидкости передавать внешнее давление одинаковой величины по всем направлениям (закон Паскаля). Например, на дно сосуда III действует суммарная сила гидростатического давления F=ρ∙g∙H∙S. Что касается жидкости, находящейся в объемах (АВС) В1 и (А’В’С’) В’, то ее вес воспринимается наклонными стенками, a не дном сосуда. Безусловно, если сосуд III будет стоять на столе, то стол воспринимает вес всей жидкости, находящейся в сосуде. Следовательно, никакого противоречия между законами физики и гидравлики не существует. Суммарная сила гидростатического давления на дно сосуда зависит от плотности жидкости, глубины наполнения сосуда и величины площади его дна и не зависит от формы сосуда.

B практике часто встречаются плоские поверхности (щиты, стенки), расположенные под каким-либо углом α к горизонту.

Выведем расчетную зависимость для определении силы давления жидкости на наклонную плоскую стенку (рис. 8,в), для чего выделим элементарную площадку dS, расположенную на глубине h. Центр тяжести щита (Ц.T) погружен на глубину h, площадь стенки равна S. Выберем оси координат так, как это показано на рисунке. Ось х совпадает с линией пересечения плоскости стенки и свободной поверхности, a ось у направлена вдoль стенки. Справа изображена стенка в плоскости хоу. Эту проекцию мы получим, если плоскость стенки повернем относительно оси у на 90°. На площадку dS будет действовать элементарная сила гидростатического давления

где ρ — плотность жидкости, кг/м 3 ; ρgh — избыточное гидростатическое давление, Па; р — давление на свободной поверхности, Па.

Суммарная сила давления F жидкости на весь щит равна сумме элементарных сил, действующих по всей смоченной площади щита. Проинтегрировав по площади S будем иметь

где

— статический момент площади относительно оси x.

Как известно, статический момент площади равен произведению площади на расстояние у от центра его тяжести до рассматриваемой оси. Следовательно,

На рис. 8,в видно, что у∙sinα = h. Тогда, подставляя значение статического момента и заменяя через h получим

При p = pa на щит будет действовать слева атмосферное давление и справа давление со стороны жидкости, направленные навстречу друг к другу. Поэтому формула для этого случая будет иметь вид

Видно, что суммарная сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению площади смоченной фигуры на давление в центре ее тяжести. Нетрудно видеть также, что сила F состоит из двух слагаемых: внешней силы суммарного гидростатического давления рS и силы избыточного давления ρghS. Первая сила приложена в центре тяжести фигуры. Точка приложения второй силы (центр давления) располагается ниже центра тяжести.

Дата добавления: 2013-12-14 ; Просмотров: 3002 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Сила гидростатического давления на плоские поверхности

Согласно уравнению гидростатики атмосферное давление передается равномерно по всей глубине h, а давление от столба жидкости — по линейному закону: p = γh. Так как сосуд окружает среда с атмосферным давлением, то действие атмосферного давления через жидкость на стенки компенсируется давлением извне, т. е. силовое воздействие на стенки сосуда окажет только давление столба жидкости.

Гидростатическое давление направлено по нормали к стенкам сосуда согласно его свойству.

2. Сосуд с вертикальными плоскими стенками заполнен жидкостью, на поверхности которой создано избыточное давление ро (рис.3.12). В этом случае силовое воздействие на стенки оказывает как избыточное давление на поверхности, так и давление от столба жидкости.

3. Сосуд с наклонной плоской поверхностью, открытый сверху (рис.3.13).

Построение эпюры аналогично предыдущим случаям.

4. Сосуд, стенка (стенки) которого имеет криволинейную поверхность, например АВ (рис.3.14).

Для построения эпюры гидростатического давления, действующего на поверхность АВ, необходимо через определенный интервал по глубине h провести касательные плоскости к кривизне поверхности и к ним по нормали линии действия давления. Закон изменения давления в этом случае повторит форму криволинейной поверхности.

3.4. Сила гидростатического давления на плоские поверхности

Давление, созданное в жидкости, действуя на поверхности различных устройств и их элементов, создает силу. Плоскими поверхностями могут быть стенки различных резервуаров, тела плотин, клапаны, щиты и затворы.

Определим величину силы, действующей на плоскую поверхность, и точку ее приложения.

Представим (рис.3.15) сосуд, наполненный жидкостью и имеющий плоскую стенку ОМ под углом α к горизонту. В плоскости этой стенки наметим оси координат ОУ и ОХ. Ось ОХ направим перпендикулярно к плоскости чертежа.

На стенке сосуда наметим некоторую плоскую фигуру АВ любого очертания, имеющую площадь w. Из точки О проведем ось ОХ, нормальную к направлению АВ, т. е. ось ОХ совместим с плоскостью чертежа. Будем мысленно вращать фигуру АВ вокруг оси ОУ так, чтобы эта фигура совместилась с плоскостью чертежа.

Выделим на площади фигуры бесконечно малую поверхность в виде полоски dw, погруженную на глубину h. При этом расстояние полоски от оси ОХ равно y. гидростатическое давление в области бесконечно малой плоскости согласно основному уравнению гидростатики будет

Тогда сила давления на элементарную площадку

. (3.16)

Интегрируя выражение (3.16) в пределах площади ω и заменив h = у·sinα, получим

. (3.17)

Интеграл

представляет собой статический момент площади фигуры АВ относительно оси ОХ. Из механики известно, что

= yсw, (3.18)

где ус – расстояние центра тяжести площади фигуры АВ относительно оси ОХ.

Подставив (3.18) в (3.17) и заменив ycsinα = hc, получим силу, действующую на площадь ω:

(3.19)

Это означает, что сила давления P жидкости на плоскую фигуру, погруженную в жидкость, равна произведению этой площади ω на гидростатическое давление в ее центре тяжести (po+γhc).

Из формулы (3.19) следует, что сила Р состоит из двух сил: силы роω и силы γhсω. Сила pоω создает равномерную нагрузку и приложена в центре тяжести фигуры площадью ω. Сила γhсω создает неравномерную нагрузку и поэтому точка ее приложения не совпадает с центром тяжести фигуры. Эта точка называется центром гидростатического давления; обозначается она буквой d. Для нахождения точки приложения силы γhсω применим теорему механики о моменте равнодействующей силы: момент равнодействующей силы относительно оси ОХ равен сумме моментов от элементарных сил:

. (3.20)

Интеграл

представляет собой момент инерции Ix площади ω относительно оси ОХ. Из механики известно, что

, (3.21)

где Ic — момент инерции площади относительно оси ОХ, проходящей через центр тяжести.

Подставим выражение (3.21) в (3.20):

. (3.22)

Из выражения (3.22) следует, что центр гидростатического давления yd находится ниже центра тяжести на величину эксцентриситета

3.5. Сила гидростатического давления, действующая

на криволинейные поверхности

В технике, в частности машиностроении, приходится встречаться как с простыми, так и со сложными криволинейными поверхностями, подверженными гидростатическому давлению (сферические крышки резервуаров, стенки круглых трубопроводов, цилиндрических баков, цистерн и т. д.).

Если при определении силы полного гидростатического давления, действующего на плоские фигуры, по существу производится простое сложение параллельных сил, то при решении аналогичной задачи для криволинейных поверхностей приходится суммировать силы, имеющие различные направления. Это обстоятельство значительно усложняет задачу, требуя применения специальных расчетных приемов.

Принцип, положенный в основу существующих решений, заключается в определении составляющих сил полного гидростатического давления по нескольким направлениям, с последующим геометрическим сложением этих частных сил.

Рассмотрим криволинейную поверхность АВ, подверженную действию избыточного гидростатического давления только от столба жидкости (рис.3.16).

Выделим на этой поверхности бесконечно малую полоску площадью dω, центр тяжести которой погружен в жидкости на глубину h. На эту элементарную полоску нормально к криволинейной поверхности действовует сила dР=γhdω, которую можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие: dРх и dРz. Сила dР наклонена к горизонту под углом α. Тогда

dРх=dР·cosα, dРz =dР·sinα,

или dРх=γhdω·cosα; dРz = γhdω ·sinα.

Из рисунка видно, что dω·cosα является площадью проекции элементарной полоски dω на вертикальную плоскость, т. е. dω·cosα = dωz. следовательно, dРх= γhdωz.

Тогда горизонтальная составляющая силы избыточного давления на рассматриваемую криволинейную поверхность

Здесь является статическим моментом всей площади вертикальной проекции криволинейной поверхности ωz относительно свободной поверхности жидкости, совпадающей с осью ОХ: .

Другими словами, горизонтальная составляющая Рх выражается произведением площади проекции криволинейной фигуры на вертикальную плоскость на гидростатическое давление в центре тяжести этой площади.

Точка ее приложения, т. е. расстояние от свободной поверхности до центра давления определяется аналогично, как и для плоской поверхности.

Источник

Давление жидкости на плоские поверхности

где hc — глубина погружения центра тяжести площади со в жидкость.

В соответствии с основным уравнением гидростатики внешнее давление р, действующее на поверхность жидкости, передается всем точкам со одинаково, поэтому точка приложения силы внешнего гидростатического давления (р0) будет совпадать с центром тяжести фигуры.

Рис. 1.7. Давление жидкости на плоскую поверхность [32]

Сила избыточного гидростатического давления распределяется неравномерно, увеличиваясь с глубиной погружения, равнодействующая этой силы будет лежать ниже центра тяжести фигуры. На практике чаще всего встречается случай, когда р = рат, т. е. на фигуру действует атмосферное давление и положение центра давления зависит только от величины силы избыточного гидростатического давления.

Эпюра давления будет в виде трапеции, если учитывать р0 согласно рис. 1.8, а. Эпюра давления будет в виде треугольника, если не учитывать ро, причем наклон линии зависит от величины pg. Например, для воды (pg = 98 Н/м 3 ) эпюра избыточного гидростатического давления будет представлять собой равнобедренный треугольник с углом 45°.

Рис. 1.8. Схема к определению сил гидростатического давления

Для жидкостей более тяжелых, чем вода (например, ртуть), наклон линии будет более пологим, т. е. /? 45°.

Рис. 1.9. Гидростатический парадокс [32]

Рис. 1.10. Давление жидкости на криволинейную поверхность [32]

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется по формуле:

горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления. Для того чтобы определить горизонтальную составляющую силы давления, необходимо спроецировать криволинейную поверхность на вертикальную плоскость и определить ее как силу, действующую на плоскую стенку:

где ръ — давление воздуха на свободную поверхность жидкости, hc — расстояние от свободной поверхности до центра тяжести вертикальной плоскости, dcox — проекция элементарной площадки dco на плоскость, перпендикулярную оси О-Х. Вертикальная составляющая численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

где W — объем тела давления, т. е. объем жидкости, ограниченный данной криволинейной плоскостью, вертикальной плоскостью, проведенной через нижнюю образующую криволинейной поверхности и свободную поверхность жидкости. Вес тела давления может быть положительным и отрицательным.

Различают действительные, фиктивные и смешанные тела давления. Если тело давления заполнено жидкостью, то оно называется действительным, если не заполнено жидкостью — фиктивным, если есть и те, и другие участки — смешанным. В случае действительного тела давления вертикальная составляющая силы давления Р2 направлена вниз, у фиктивного тела давления — вверх. У смешанного тела давления вертикальные составляющие на отдельных участках будут иметь различные направления [77, 79].

Горизонтальная составляющая Рх проходит через центр давления проекции сох, а вертикальная составляющая Р2 проходит через центр тяжести тела давления. В общем случае точка приложения равнодействующей определяется на основе уравнения моментов, подробнее в [13, 53, 77, 79].

Источник