Давление жидкости на стенки цилиндрического сосуда

Задача нахождения силы давления жидкости на по­верхность произвольной формы является достаточно сложной за­дачей. Эта задача решается, как правило, графическим методом путем построения эпюры гидростатического давления.

Однако на практике чаще всего приходится иметь дело с цилин­дрическими или сферическими поверхностями, имеющими верти­кальную плоскость симметрии, например стенки труб, резервуаров и всевозможных цилиндрических сосудов, шаровыми клапанами. Сила давления в этом случае может быть найдена аналитическим путем.

Рассмотрим цилиндрическую стенку АВ шириной b (перпендикулярно к плоскости чертежа) и определим силу давления жидкости на эту стенку (рис. 2.31).

Рис. 2.31.Расчетная схема давления жидкости на цилиндрическую

поверхность сверху

Проведем из точек А и В пер­пендикуляры AD и ВС к свободной поверхности жидкости. Объем жидкости в отсеке ABCD называется телом давления. Жидкость в этом объеме находится в равновесии, поэтому составим обычные условия равновесия в вертикальном и горизонтальном направ­лениях.

Если жидкость действует на поверхность АВ с силой Р, то и по­верхность АВ действует на жидкость с силой Р, направленной в обратную сторону. Эту силу реакции разложим на две составляющие: горизонтальную Рx и вертикальную Рz.

На выделенный объем жидкости сверху вниз действуют следую­щие силы: сила давления на свободной поверхности жидкости равная произведению поверхностного давления p0 на площадь го­ризонтальной проекции поверхности АВ, и сила тяжести жидкости в объеме ABCD. Эти две силы уравновешиваются снизу вертикаль­ной составляющей Рв, В связи с этим условие равновесия рассмат­риваемого объема в вертикальном направлении имеет вид:

(2.37)

где Sx- площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; VABCD – выделенный объем жидкости.

Если давление p0 на свободной поверхности жидкости равно ат­мосферному и находится сила избыточного давления, то очевидно, что

, (2.38)

т. е. вертикальная составляющая силы избыточного давления жидкости на криволинейную стенку равна весу жидкости в объеме тела давления.

Для нахождения горизонтальной составляющей силы давления Рx проведем из точки А горизонтальную линию до пересечения с ли­нией ВС в точке Е. Легко видеть, что горизонтальные силы давления жидкости на поверхности ЕС и AD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь ВЕ, которая для равновесия выделен­ного объема жидкости должна быть равна горизонтальной состав­ляющей Рx. Из рисунка видно, что площадь ВЕ представляет собой вертикальную проекцию поверхности АВ. Таким образом, с учетом сказанного, условие равновесия объема жидкости ABCD в горизонтальном направлении запишется в виде

(2.39)

где pc – гидростатическое давление жидкости в центре тяжести площади ВЕ, т. е. в точке C’, hc’, – глубина расположения центра тяжести площади ВЕ; ωB – площадь вертикальной проекции поверхности АВ.

Горизонтальная составляющая силы избыточного давления жидкости при pо= pа равна

(2.40)

Полная сила гидростатического давления, являющаяся равно­действующей ее составляющих Рв и Рг, определяется зависимостью:

(2.41)

а ее направление – углом β, значение которого может быть опре­делено из выражения:

( 2.42)

Когда жидкость расположена снизу от стенки гидро­статическое давление во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в рассмотренном случае, но направление силы будет противоположным, и составляющие силы Рz и Рx определяются по тем же формулам (2.37) и (1.39), но с обратным знаком. При этом при вычислении Рz также определяется вес жидкости в объеме тела давления ABCD, этот объем и не запол­нен жидкостью и поэтому называется фиктивным телом давления.

Рассмотрим другой пример и определим давление на стенку цилиндрического сегментного щита, служащего для выпуска воды из турбинных аванкамер (рис. 2.32).

Рис. 2.32. Давление на стенку цилиндрического сегментного щита

Горизонтальная составляющая силы полного давления на такую стенку будет равна давлению на вер­тикальную проекцию этой стенки, т. е. на плоскость, размер которой по высоте равен h (глубине) и по ширине равен ширине щита b.

Таким образом, проекция пол­ного давления на ось Х равна на основании предыдущего

(2.43)

Для определения вертикальной слагающей полного давления необ­ходимо определить вес жидкости в объеме заштрихованной фигуры, изображающей столб жидкости, расположенный над стенкой. Этот объем равен умноженной на ширину щита b площади криволинейной фигуры АВС, величина которой в свою очередь может быть найдена как разность площадей трапеции ОАВС и кругового сектора ОАС.

Итак:

При этом очевидно:

Отсюда и, следовательно, вертикальная слагающая силы полного давления

(2.44)

Так как все истинные давления, действующие на щит, перпендикулярны его поверхности (а, следовательно, направлены по радиусам), то они образуют систему сходящихся в одной точке сил и их равно­действующая будет проходить обязательно через ось вращения щита, т. е. через точку О. Таким образом, величина полного давления на щит будет равна:

а тангенс угла наклона этой силы к горизонту будет равен

Если , то

Источник

4.2. Элементы гидростатики

4.2.3. Гидростатическое давление

Жидкость, находящаяся в некотором сосуде, оказывает на его дно и стенки гидростатическое давление.

Гидростатическое давление (давление жидкости) на дно сосуда (рис. 4.10) рассчитывают по формуле

pгидр = ρ0gh,

где ρ0 – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h – высота столба жидкости.

В Международной системе единиц гидростатическое давление измеряется в паскалях (1 Па).

Сила гидростатического давления на дно сосуда (см. рис. 4.10) определяется как произведение:

Fгидр = pгидрS = ρ0ghS,

где pгидр – гидростатическое давление на дно сосуда; ρ0 – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h – высота столба жидкости; S – площадь дна сосуда.

Рис. 4.10

Гидростатическое давление (давление жидкости) на вертикальную стенку сосуда (рис. 4.11) рассчитывают по формуле

p гидр = ρ 0 g h 2 ,

где ρ0 – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h – высота вертикальной стенки сосуда (столба жидкости).

Рис. 4.11

Сила гидростатического давления на вертикальную стенку сосуда (см. рис. 4.11) определяется как произведение:

F гидр = p гидр S = ρ 0 g h 2 S ,

где pгидр – гидростатическое давление на дно сосуда; ρж – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h – высота столба жидкости; S – площадь вертикальной стенки.

Рис. 4.11

При расчете давленияна днооткрытого водоема (рис. 4.12) необходимо учитывать атмосферное давление:

p = pатм + ρ0gh,

где pатм – атмосферное давление; ρ0 – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h – глубина водоема.

Рис. 4.12

Сила давления на дно открытого водоема определяется произведением:

F = pS = (pатм + ρ0gh)S,

где S – площадь дна водоема.

Гидростатическое давление жидкости на дно мензурки (рис. 4.13), отклоненной от вертикали на некоторый угол:

p = ρ0gh1 cos α,

где ρ0 – плотность жидкости; g – модуль ускорения свободного падения; h1 – высота столба жидкости при вертикальном положении мензурки; h2 = h1 cos α – высота столба жидкости при отклонении мензурки на угол α от ее вертикального положения.

Рис. 4.13

Пример 25. Цилиндрический сосуд радиусом 10 см имеет высоту 30 см. Его заполнили до краев жидкостью плотностью 2,5 г/см3. Найти величину средней силы гидростатического давления, действующей на боковую поверхность цилиндра.

Решение. Средняя сила гидростатического давления, действующая на боковую поверхность цилиндра, определяется произведением:

⟨ F гидр ⟩ = ⟨ p ⟩ S ,

где ⟨ p ⟩ – среднее гидростатическое давление на боковую поверхность цилиндра; S – площадь боковой поверхности цилиндра.

Найдем каждый из сомножителей следующим образом:

• среднее гидростатическое давление на боковую поверхность цилиндра

⟨ p ⟩ = ρ 0 g h 2 ,

где ρ0 – плотность жидкости, заполняющей сосуд; g – модуль ускорения свободного падения; h – высота цилиндра; т.е. среднее значение гидростатического давления определяется как давление на середину боковой поверхности цилиндра;

• площадь боковой поверхности цилиндра

S = 2πRh,

где 2πr – длина окружности; R – радиус дна цилиндра; т.е. площадь боковой поверхности цилиндра определяется как площадь прямо­угольника, одна из сторон которого равна высоте цилиндра, а другая – периметру круга (длине окружности), лежащего в его основании.

Подстановка среднего гидростатического давления ⟨ p ⟩ и площади боковой поверхности цилиндра S в исходную формулу позволяет получить выражение для вычисления модуля искомой силы:

⟨ F гидр ⟩ = π ρ 0 g R h 2 .

Расчет дает значение:

⟨ F гидр ⟩ = π ⋅ 2,5 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 − 2 ⋅ ( 30 ⋅ 10 − 2 ) 2 ≈ 707 Н ≈ 0,71 кН.

Пример 26. Атмосферное давление составляет 100 кПа. Плотность воды в водоеме равна 1,0 г/см3. Найти глубину открытого водоема, на которой давление в четыре раза больше атмосферного.

Решение. Давление в открытом водоеме определяется формулой

p = pатм + ρ0gh,

где pатм – атмосферное давление; ρ0 – плотность воды; g – модуль ускорения свободного падения; h – искомая глубина водоема.

По условию задачи

p = 4pатм.

Подстановка указанного значения в исходную формулу дает:

4pатм = pатм + ρ0gh,

или

3pатм = ρ0gh.

Выразим отсюда искомую глубину водоема

h = 3 p атм ρ 0 g

и произведем вычисление:

h = 3 ⋅ 100 ⋅ 10 3 1,0 ⋅ 10 3 ⋅ 10 = 30 м.

Таким образом, давление в открытом водоеме в 4 раза превышает атмосферное на глубине 30 м.

Источник

Рассмотрим (рис. 3.16) некоторую ограниченную часть твердой цилиндрической поверхности, которую назовем цилиндрической стенкой. Пусть рассматриваемая стенка находится под односторонним воздействием покоящейся жидкости, которое сводится к тому, что в каждой точке на стенку действует давление жидкости. Разобьем стенку на элементарные площадки. В силу малости площадок будем считать их плоскими и выразим элементарную силу давления на них в общем виде dP = pdw. Силы dP уже не будут направлены параллельно друг другу, их линии действия могут не пересекаться в одной точке, и их сумма может не сводиться к одной равнодействующей.

Для шаровой или круговой цилиндрической стенки элементарные силы давления, будучи нормальными к элементарным площадкам на этих поверхностях, направлены по радиусам и, следовательно, пересекутся в центре сферы или в центре круга (поперечного сечения цилиндра).

Определение сил давления на цилиндрические и шаровые поверхности имеет большое значение, так как в гидротехнических сооружениях обычно применяются конструкции с такими поверхностями (секторные, сегментные, вальцовые и шаровые затворы, водонапорные баки и т.п.).

Рис. 3.16. Схема к определению силы давления жидкости на цилиндрическую стену

Рассмотрим цилиндрические стенки, находящиеся под односторонним воздействием покоящейся жидкости. Определим силу избыточного давления. При этом условимся одну из осей координат направлять вдоль образующей цилиндрической поверхности.

Цилиндрическая поверхность с горизонтальной образующей. Направим ось OY параллельно образующей (см. рис. 3.16), а ось OZ – вертикально вверх.

Значение силы давления на цилиндрическую поверхность в данном случае определяется следующим образом:

(3.17)

где Рх и Рz -горизонтальная и вертикальная составляющие силы давления.

Выделим на цилиндрической поверхности элементарную площад­ку dw, на которую действует направленная по нормали элементарная сила dP = rghdω. Найдем горизонтальную dPx и вертикальную dPу составляющие силы dP:

.

Учитывая, что

И ,

имеем

;

,

где dwх – проекция элементарной площадки dw на плоскость, перпендикулярную оси OX;

dωz – проекция элементарной площадки dw на плоскость, перпендикулярную оси OZ.

Проинтегрировав, получим для горизонтальной составляющей силы Р:

, (3.18)

где wх – проекциявсей цилиндрической поверхности на плоскость, нормальную к оси ОХ;

– глубина центра тяжести проекции wх под пьезометрической плоскостью.

Для вертикальной составляющей получим:

.

Интеграл представляет собой объем призмы, ограниченной снизу цилиндрической поверхностью, а сверху – ее проекцией wz на пьезометрическую плоскость. Направляющие этой призмы – вертикальные прямые. Полученное таким образом тело называется телом давления.

Тело давления – это объемная фигура, ограниченная снизу цилиндрической поверхностью, по бокам – вертикальными плоскостями, проходящими через крайние точки цилиндрической поверхности, и сверху – горизонтальной плоскостью, совпадающей с пьезометрической.

Вертикальная составляющая Pz численно равна весу жидкости в объеме тела давления:

, (3.19)

где – объем тела давления.

На рис. 3.16 тело давления заштриховано вертикальными линиями.

Горизонтальная составляющая Рх проходит через центр давления проекции wх, а вертикальная составляющая Рzпроходит через центр тяжести тела давления.

Направление вертикальной составляющей Рz для схемы, изображенной на рис. 3.16, а – вниз, а на рис. 3.16, б – вверх.

Направление линии действия силы Р определяется направляющими косинусами:

(3.20)

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 июня 2020; проверки требуют 7 правок.

Гидростатическое давление – давление столба жидкости над условным уровнем.

Благодаря полной удобоподвижности своих частиц капельные и газообразные жидкости, находясь в покое, передают давление одинаково во все стороны; давление это действует на всякую часть плоскости, ограничивающей жидкость, с силой Р, пропорциональной величине w этой поверхности, и направленной по нормали к ней. Отношение P/w, то есть давление р на поверхность, равную единице, называется гидростатическим давлением[1].

Простое уравнение P = pw может действительно служить для точного вычисления давления на данную поверхность сосуда, газов и капельных жидкостей, находящихся при таких условиях, что часть давления, зависящая от собственного веса жидкостей, ничтожно мала по сравнению с давлением, передаваемым им извне. Сюда относятся почти все случаи давлений газов и расчеты давлений воды в гидравлических прессах и аккумуляторах[1].

Вычисление[править | править код]

В каждой жидкости существует давление, обусловленное её собственным весом ; так как , то ; учтём, что и получим формулу .

Плотность жидкости зависит от температуры. Для очень точных вычислений плотность следует рассчитывать по специальной формуле. Давление на данной глубине одинаково во всех направлениях. Суммарное давление, обусловленное весом столба жидкости и давлением поршня, называют гидростатическим давлением[2].

Для бытовых расчетов можно принять, что с ростом глубины на каждые 10 метров пресной воды, давление увеличивается на 0,1 МПа (1 атмосфера).

История открытия[править | править код]

Это основное свойство жидкостей было открыто и проверено на опыте Блезом Паскалем в 1653 г., хотя несколько ранее оно было уже известно Стевину[источник не указан 1285 дней].

Единица измерения[править | править код]

Единицей измерения давления в международной системе единиц является Паскаль. На практике гидростатическое давление часто измеряют в атмосферах, принимая за 1 атмосферу давление в 76 см ртутного столба, при температуре 0 °C при нормальном ускорении свободного падения 9,80665 м/с².

На основании гидростатического парадокса можно гидростатическое давление измерять также высотой столба ртути или воды, способного производить то же давление на единицу поверхности.

Свойства[править | править код]

Гидростатический парадокс[править | править код]

Гидростатическое давление на тело не зависит от направления.

Вычисление немного усложняется, когда надо узнать давление, производимое на не горизонтальную часть стенки сосуда вследствие тяжести налитой на него жидкости. Здесь причиной давления становится вес столбов жидкости, имеющих основанием каждую бесконечно малую частицу рассматриваемой поверхности, а высотой вертикальное расстояние от каждой такой частицы до свободной поверхности жидкости. Расстояния эти будут постоянны только для горизонтальных частей стенок и для бесконечно узких горизонтальных полосок, взятых на боковых стенках; к ним одним можно прилагать непосредственно формулу гидростатического давления. Для боковых же стенок надо суммировать, по правилам интегрального исчисления, давления на все горизонтальные элементы их поверхности; в результате получается общее правило: давление тяжелой жидкости на всякую плоскую стенку равняется весу столба этой жидкости, имеющему основанием площадь этой стенки, а высотой вертикальное расстояние её центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Поэтому давление на дно сосуда будет зависеть только от величины поверхности этого дна, от высоты уровня жидкости в него налитой и от её плотности, от формы же сосуда оно зависеть не будет. Это положение известно под именем «гидростатического парадокса» и было разъяснено ещё Паскалем.

Действительно, оно кажется на первый взгляд неверным, потому что в сосудах с равными доньями, наполненными до равной высоты одной и той же жидкостью, вес её будет очень различный, если формы различны. Но вычисление и опыт (сделанный в первый раз Паскалем) показывают, что в сосуде, расширяющемся кверху, вес излишка жидкости поддерживается боковыми стенками и передается весам через их посредство, не действуя на дно, а в сосуде, суживающемся кверху, гидростатическое давление на боковые стенки действует снизу вверх и облегчает весы ровно на столько, сколько весило бы недостающее количество жидкости.

Закон Паскаля[править | править код]

Чем глубже, тем выше давление. (левая часть графика)

Гидростатическое давление жидкости с постоянной плотностью в однородном поле тяжести ( = несжимаемая жидкость) подчиняется закону Паскаля:

где:

– плотность [для пресной воды: ρ ≈ 1000 кг/м³] – ускорение свободного падения [для Европы: g ≈ 9,81 м/с²] – высота (здесь: жидкости) [м] – [Па]

⇒ = гидростатическое давление (p) зависит от высоты (h) жидкости.[4]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• В. В. Лермантов. Гидростатическое давление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). – СПб., 1893. – Т. VIIIa. – С. 655-656.

Источник