Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой

Комментарий должен быть минимум 20 символов

Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт

Лучшее из галереи за : неделю   месяц   все время

344. Открытую с обеих сторон узкую цилиндрическую трубку длиной l = 80 см до половины погружают вертикально в ртуть. Затем закрывают верхнее отверстие в трубке и вынимают ее из ртути. При этом в трубке остается столбик ртути высотой h = 22 см. Чему равно атмосферное давление? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.

Решение. На столбик ртуть высотой h в нижней точке трубки, которую вынули из сосуда с ртутью, действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления столбика ртути (Fp) и сила атмосферного давления (Fa). Так как ртуть не выливается, то

Fa = Fv + Fp,

где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление столбика ртути. Тогда

pa⋅S = pv⋅S + ρ⋅g⋅h⋅S или pa = pv + ρ⋅g⋅h. (1)

Найдем давление воздуха в трубке. Будем считать, что температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка открыта и вставлена в сосуд с ртутью) и для второго (трубку закрыли и вынули из сосуда с ртутью)  уравнение  изотермического процесса:

p1⋅V1 = p2⋅V2,

где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l/2 (трубка до половины погружена в ртуть), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = l – h. Тогда
 

[ p_{a} cdot Scdot frac{l}{2} = p_{v} cdot Scdot left(l-hright), ; ; ; p_{v} =frac{p_{a} cdot l}{2cdot left(l-hright)}.;;; (2) ]

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

[ p_{a} =frac{p_{a} cdot l}{2cdot left(l-hright)} +rho cdot gcdot h, ; ; ; p_{a} cdot frac{l-2h}{2cdot left(l-hright)} =rho cdot gcdot h, ; ; ; p_{a} =frac{2rho cdot gcdot h}{l-2h} cdot left(l-hright), ]

рa = 9,6⋅104 Па.

Примечание. В задаче необходимо указать, что температура в трубке не изменяется. Иначе не хватает данных для решения.

345. Цилиндрическая трубка с запаянным верхним концом опускается вертикально в ртуть так, что запаянный конец совпадает с поверхностью ртути в сосуде. При этом высота воздушного столба в трубке равна h. Определить длину трубки. Атмосферное давление равно pa, плотность ртути ρ. Температуру считать постоянной.

Решение. В трубке в точке на границе воздух-ртуть действуют сила давления воздуха в трубке (Fv), сила давления ртути на глубине h (Fp) и сила атмосферного давления (это давление передается через ртуть) (Fa). Так как ртуть не движется, то

Fv = Fp + Fa,

где Fa = pa⋅S, pa — атмосферное давление, S — площадь поперечного сечения трубки, Fv = pv⋅S, pv — давление воздуха в трубке, Fp = pp⋅S, pp = ρ⋅g⋅h —давление ртути на глубине h. Тогда

pv⋅S = ρ⋅g⋅h⋅S + pa⋅S или pv = ρ⋅g⋅h + pa. (1)

По условию температура в трубке не изменяется, поэтому запишем для воздуха в трубке для первого случая (трубка в воздухе) и для второго (трубку вставили в сосуд с ртутью) уравнение  изотермического процесса:

p1⋅V1 = p2⋅V2,

где p1 = pa — давление воздуха в первом случае, V1 = S⋅l1, l1 = l (воздух заполняет всю трубку), p2 = pv, V2 = S⋅l2, l2 = h. Тогда

pa⋅S⋅l = pv⋅S⋅h, pa⋅l = pv⋅h. (2)

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
 

[ l=frac{p_{v} cdot h}{p_{a} } =frac{left(rho cdot gcdot h+p_{a} right)cdot h}{p_{a} } =frac{rho cdot gcdot h^{2} }{p_{a} } +h. ]

347. Снаряд массой m = 8,0 кг вылетает из ствола орудия со скоростью υ = 700 м/с. Определить давление пороховых газов во время выстрела, считая движение снаряда внутри ствола равноускоренным. Сила сопротивления движению снаряда Fc = 16,2 кН, длина нарезной части ствола l = 3,0 м, диаметр d = 77 мм.

Решение. На снаряд действуют сила давления пороховых газов (Fd) и сила сопротивления движению снаряда (Fc) (рис. 1). Эти силы во много раз больше остальных сил (силы тяжести, силы реакции опоры), которыми мы пренебрегаем. Запишем проекцию второго закона Ньютона:

X: m⋅a  = Fd – Fc, (1)

где Fd = p⋅S, S = π⋅d2/4.

Найдем ускорение снаряда через следующую формулу кинематики:
 

[ Delta r_{x} =frac{upsilon _{x}^{2} -upsilon _{0x}^{2} }{2a_{x}}, ]

где Δrх = l (для снаряда длина орудия – это его перемещение), υx = υ (скорость вылета снаряда из ствола — это конечная скорость), υ0 = 0, ax = a (см. рис. 1). Тогда
 

[ l=frac{upsilon ^{2} }{2a} ,; ; ; a=frac{upsilon ^{2} }{2l}. ]

Подставим полученное выражение в уравнение (1):
 

[ mcdot frac{upsilon _{}^{2} }{2l} =pcdot frac{pi cdot d^{2} }{4} -F_{c}, ; ; ; p=left(mcdot frac{upsilon _{}^{2} }{2l} +F_{c} right)cdot frac{4}{pi cdot d^{2}}, ]

p = 1,4∙108 Па.

348. Дубовый шар лежит на дне сосуда с водой, причем половина его находится в воде. С какой силой давит на дно сосуда шар, если в воздухе он весит Р = 5,9 Н? Плотность дуба ρ1 = 0,8⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1⋅103 кг/м3. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.

Решение. Вес в воздухе неподвижного тела без учета выталкивающей силы равен

P = m⋅g. (1)

На шар в воде действуют сила тяжести (m⋅g), Архимедова сила (FA) и сила реакции опоры (N) (рис. 1). Так как шар неподвижен, то

N + FA = m⋅g,

где FA = ρ2⋅g⋅Vp,  [ V_p = frac{V}{2} = frac{m}{2rho _{1}} ] — объем погруженной в воду части шара.
Сила Fd, с которой шар давит на дно, по третьему закону Ньютона, численно равна силе N, с которой дно давит на шар, т.е. Fd = N. С учетом уравнения (1) получаем:
 

[ F_{d} = mcdot g-F_{A} =mcdot g-rho _{2} cdot gcdot frac{m}{2rho _{1} } =P cdot left(1-frac{rho _{2} }{2rho _{1} } right), ]

Fd = 2 Н.

349. В воздухе вес кипы хлопка Р = 1519 Н. Определить вес этой кипы в вакууме, если плотность хлопка в кипе ρ1 = 800,0 кг/м3, а плотность воздуха ρ2 = 1,225 кг/м3. Взвешивание производилось с помощью пружинных весов.

Решение. Вес неподвижного тела в вакууме равен

Pv = m⋅g,

вес тела на пружинных весах — P = Fy, где Fy — сила упругости пружины.
На кипу хлопка на весах в воздухе действуют сила тяжести (m⋅g), архимедова сила (FA) и сила упругости пружины (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 

[ vec{F}_{A} +mcdot vec{g}+vec{F}_{y} =0, ]

Y: FA – m⋅g + Fy = 0,

где FA = ρ2⋅g⋅V, V = m/ρ1 — объем кипы хлопка. Тогда
 

[ rho _{2} cdot gcdot frac{m}{rho _{1} } -mcdot g+P=0, ; ; ; mcdot gcdot frac{rho _{1} -rho _{2} }{rho _{1}} =P, ; ; ; P_{v} =mcdot g=frac{rho _{1} }{rho _{1} -rho _{2} } cdot P, ]

Pv = 1521 Н.

Примечание. На мой взгляд, не совсем удачно подобраны значения в условии этой задачи. В школьном курсе физики архимедовой силой мы обычно пренебрегаем, если плотность тела во много раз больше плотности окружающей среды. А здесь, несмотря на то, что плотность хлопка в 650 раз больше плотности воздуха, мы вынуждены учитывать эту силу.

351. В воздухе вес куска пробки Р1 = 0,15 Н, куска свинца Р2 = 1,1 Н. Если эти куски связать, подвесить к динамометру и опустить в керосин, то динамометр покажет Р3 = 0,6 Н. Определить плотность ρ1 пробки. Плотность свинца ρ2 = 11,3⋅103 кг/м3, керосина ρ3 = 0,8⋅103 кг/м3. Архимедовой силой в воздухе пренебречь.

Решение. Вес неподвижного тела в воздухе (без учета архимедовой силы) равен

P1 = m1⋅g, P2 = m2⋅g, (1)

показания динамометра — это сила упругости пружины динамометра, т.е.

P3 = Fy. (2)

На связанные тела, которые подвесили к динамометру и опустили в керосин, действуют силы тяжести (m1⋅g и m2⋅g), архимедовы сила (FA1 и FA2) и сила упругости пружины динамометра (Fy) (рис. 1). Тело неподвижно (по умолчанию), поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

[ vec{F}_{A1} +m_{1} cdot vec{g}+vec{F}_{A2} +m_{2} cdot vec{g}+vec{F}_{y} =0, ]

Y: FA1 – m1⋅g + FA2 – m2⋅g + Fy = 0,

где FA1 = ρ3⋅g⋅V1, FA2 = ρ3⋅g⋅V2, V1 = m1/ρ1, V2 = m2/ρ2 — объемы пробки и свинца. Тогда с учетом уравнений (1) и (2) получаем

[ rho _{3} cdot gcdot frac{m_{1} }{rho _{1} } -m_{1} cdot g+rho _{3} cdot gcdot frac{m_{2} }{rho _{2} } -m_{2} cdot g+F_{y} =0, ]

[ frac{rho _{3} }{rho _{1} } cdot P_{1} -P_{1} +frac{rho _{3} }{rho _{2} } cdot P_{2} -P_{2} +P_{3} =0, ]

[ frac{rho _{3} cdot P_{1} }{rho _{1} } =P_{1} +P_{2} -P_{3} -frac{rho _{3} }{rho _{2} } cdot P_{2} =frac{1}{rho _{2} } cdot left(rho _{2} cdot left(P_{1} +P_{2} -P_{3} right)-rho _{3} cdot P_{2} right), ]

[ rho _{1} =frac{rho _{3} cdot rho _{2} cdot P_{1} }{rho _{2} cdot left(P_{1} +P_{2} -P_{3} right)-rho _{3} cdot P_{2} }, ]

ρ1 = 210 кг/м3.

352. Высота плоской льдины над уровнем океана h = 2,0 м. Определить толщину всей льдины, если плотность льда ρ1 = 0,90⋅103 кг/м3, океанской воды ρ2 = 1,03⋅103 кг/м3.

Решение. На льдину в воде действуют сила тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA) (рис. 1). Так как льдина плавает в воде, то

m⋅g = FA,

где m = ρ1⋅V, FA = ρ2⋅g⋅V1, V = S⋅H — объем всей льдины, V1 = S⋅(H – h) — объем льдины, погруженной в воду (см. рис. 1), S — площадь поперечного сечения льдины. Тогда

ρ1⋅S⋅H⋅g = ρ2⋅g⋅S⋅(H – h), ρ1⋅H = ρ2⋅(H – h),
 
[ Hcdot left(rho _{2} -rho _{1} right)=rho _{2} cdot h, ; ; ; H=frac{rho _{2} cdot h}{rho _{2} -rho _{1}}, ]

H = 16 м.

Примечание. Необходимо учесть, что площади поперечного сечения льдины в воде и над водой равны.

353. Найти минимальную массу груза, который нужно положить на плоскую льдину, чтобы она полностью погрузилась в воду. Площадь льдины S = 1 м2, ее толщина d = 20 см, плотность льда ρ1 = 0,92⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. Пусть масса груза, при котором льдина полностью погрузилась в воду, но еще не тонет, будет равна m2 (это и будет минимальная масса, т.к. если массу груза увеличить, льдина начнет тонуть). На льдину в воде действуют сила тяжести льдины (m1⋅g), архимедова сила (FA) и вес груза (m2⋅g) (рис. 1). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона имеет вид:
 

[ vec{F}_{A} +m_{1} cdot vec{g}+m_{2} cdot vec{g}=0  ]

или в проекции на вертикальную ось

FA – m1⋅g – m2⋅g = 0,

где m1 = ρ1⋅V, FA = ρ2⋅g⋅V, V = S⋅d — объем всей льдины. Тогда

m2 = 16 кг.

354. Каким должен быть минимальный объем полости Vn железного буя для того, чтобы он мог плавать на поверхности воды? Объем буя V, плотность железа ρ1, плотность воды ρ2.

Решение. На железный буй в воде действуют сила тяжести буя (m1⋅g) и архимедова сила (FA) (силой тяжести воздуха в полости буя пренебрегаем). Так как FA = ρ2⋅g⋅V2, где V2 — объем части буя, погруженной в воду. Так как плотность железа больше плотности воды, то без воздушной полости буй утонет. По мере увеличения воздушной полости внутри буя, будет увеличиваться общий объем буя, и будет увеличиваться архимедова сила. При некотором минимальном объеме полости Vn буй начнет всплывать и достигнет поверхности воды (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для этого момента
 

[ vec{F}_{A} +m_{1} cdot vec{g}=0 ]

или в проекции на вертикальную ось

FA – m1⋅g = 0,

где m1 = ρ1⋅V1, FA = ρ2⋅g⋅V, V1 = V – Vn — объем железа. Тогда

ρ2⋅g⋅V – ρ1⋅(V – Vn)⋅g = 0,

[ V-V_{n} =frac{rho _{2} cdot V}{rho _{1}}, ; ; ; V_{n} =Vcdot left(1-frac{rho _{2} }{rho _{1} } right). ]

Примечание. Считаю, что в условии надо добавить, что полость воздушная, т.е. заполнена воздухом.

360. Плавающее в ртути тело погружено в нее на n1 = 0,25 своего объема. Какая часть n2 объема тела будет погружена в ртуть, если поверх ртути налить слой воды, полностью закрывающий тело? Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, плотность воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3.

Решение. 1 случай: тело погружено только в ртуть. На тело действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA1) (рис. 1). Запишем условие плавания тела:

FA1 = m⋅g, (1)

где FA1 = ρ1⋅g⋅V1, V1 = n1⋅V, V1 — объем погруженной в ртуть части тела, V — объем всего тела.

2 случай: тело погружено в ртуть и воду. На тело действуют силы тяжести (m⋅g), архимедова сила со стороны ртути (FA2) и архимедова сила со стороны воды (FA3) (рис. 2). Запишем условие плавания тела:

FA2 + FA3 = m⋅g, (2)

где FA2 = ρ1⋅g⋅V2, FA3 = ρ2⋅g⋅V3, V2 = n2⋅V, V2 — объем погруженной в ртуть части тела, V3 = V – V2 = V⋅(1 – n2) — объем погруженной в воду части тела.

Решим систему уравнений (1)-(2). Например,

[ n_{2} cdot left(rho _{1} -rho _{2} right)=rho _{1} cdot n_{1} -rho _{2}, ; ; ; n_{2} =frac{rho _{1} cdot n_{1} -rho _{2} }{rho _{1} -rho _{2}}, ]

n2 = 0,19.