Два одинаковых сообщающихся сосуда частично заполнены
Продолжаем подготовку к олимпиадам. Тема сегодняшней статьи – сообщающиеся сосуды и сила Архимеда. Начнем, как обычно, со стартовых, более простых задач, и потом перейдем к тем, что посложнее. Интересное будет дальше…
Задача 1. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и опустится в узком?
Рисунок 1
Сначала запишем условие несжимаемости:
На уровне однородной жидкости можно записать условие равенства давлений:
Тогда
Ответ: 3,2 см, 12,8 см.
Задача 2. Три одинаковых сообщающихся цилиндра частично заполнены водой. Когда в левый цилиндр налили слой керосина высотой см, а в правый высотой см, то уровень воды в среднем сосуде повысился. На сколько?
Рисунок 2
Рисунок 3
Условие несжимаемости:
Откуда
Теперь условие равновесия:
Откуда
Тогда можно подставить все в первое уравнение:
Или
Ответ: 12 см.
Задача 3. В сосуде с водой плавает деревянная дощечка с приклеенным сверху железным шариком. Изменится ли уровень воды в сосуде, если дощечку перевернуть шариком вниз?
Здесь мы познакомимся с методом решения задач такого типа через силы, действующие на дно. Метод заключается в том, чтобы записать условие равновесия сил, действующих на дно сосуда до изменений и после них. Например, пусть в сосуде плавает кусок льда. Во-первых, полезно знать, что его масса равна массе воды, которую он вытеснил:
Рисунок 4
Сила, действующая на дно, с одной стороны:
Где – масса всего содержимого стакана (воды и льда).
С другой стороны,
Теперь лед растаял. Запишем новое условие равновесия сил, действующих на дно:
Масса содержимого не изменилась, поэтому
И
Теперь вернемся к задаче. Рассуждая таким же способом, заключаем, что после перевороте дощечки массы содержимых до переворота и после одинаковые, следовательно, уровень воды не изменится.
Задача 4. В стакане плавает кусок льда с вмороженной в него свинцовой дробинкой. Как изменится уровень воды, когда весь лед растает?
Запишем силу на дно в первом случае:
Когда лед растает, дробинка утонет, и будет давить на дно с силой
Для второго случая (масса содержимого не изменилась)
Но изменилась сила, действующая на дно:
Тогда
Так как правая часть, очевидно, положительное число, то , то есть уровень понизился.
Задача 5. В стакане с пресной водой плавает кусок дерева, к которому приклеен кусочек сахара. Как изменится уровень воды в стакане, когда сахар растворится?
Записываем силу на дно в первом случае:
Во втором случае
Масса содержимого не изменилась, следовательно,
Или
И плотность после растворения сахара стала больше, значит, уровень понизится.
Задача 6. Цилиндрическую гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду, пока показание динамометра не изменится на Н. На сколько изменится уровень воды в сосуде, если сечение сосуда S = 25 см?
Показания динамометра изменятся ровно на силу Архимеда:
Записываем силы на дно сначала:
После погружения гири сила давления на дно изменилась:
Тогда
Откуда
Ответ: на 4 см.
Источник
4.2. Элементы гидростатики
4.2.5. Сообщающиеся сосуды
Сообщающимися называются сосуды, соединенные между собой каналом, заполненным жидкостью.
Для сообщающихся сосудов справедлив закон сообщающихся сосудов: высоты взаимно уравновешенных столбов разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:
h 1 h 2 = ρ 2 ρ 1 ,
где h1 – высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 – высота столба жидкости плотностью ρ2.
Указанный закон справедлив в отсутствие сил поверхностного натяжения.
Если сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
ρ1 = ρ2,
то свободные поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне, независимо от формы сосудов (рис. 4.14):
h1 = h2,
где h1 – высота столба жидкости в левом колене; h2 – высота столба жидкости в правом колене сообщающихся сосудов.
Рис. 4.14
Если сообщающиеся сосуды заполнены разнородными жидкостями
ρ1 ≠ ρ2,
то свободные поверхности жидкостей, независимо от формы сосуда (рис. 4.15), устанавливаются так, что выполняется отношение
h 1 h 2 = ρ 2 ρ 1 ,
где h1 – высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 – высота столба жидкости плотностью ρ2.
Рис. 4.15
Если сообщающиеся сосуды заполнены несколькими жидкостями (например, как показано на рис. 4.16), то гидростатическое давление на одном уровне (отмеченном пунктиром) в левом колене определяется формулой
p1 = ρ1gh1,
в правом колене –
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3.
Рис. 4.16
Равенство давлений на указанном уровне
p1 = p2
позволяет записать тождество:
ρ1h1 = ρ2h2 + ρ3h3.
Пример 28. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра второго, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения узкого сосуда равна 10 см2. Система заполнена некоторым количеством жидкости плотностью 1,6 г/см3. Найти, на сколько миллиметров повысится уровень жидкости в каждом из сосудов, если в систему добавить 0,12 кг той же жидкости.
Решение. В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне.
Добавление в систему некоторого количества жидкости массой m приводит к ее распределению по двум сосудам в соответствии с площадью их поперечного сечения:
- в первом сосуде оказывается масса жидкости
m1 = ρV1 = ρ∆h1S1,
где ρ – плотность жидкости; V1 = S1∆h1 – объем жидкости в первом сосуде; S1 – площадь поперечного сечения первого сосуда; ∆h1 – повышение уровня жидкости в первом сосуде;
- во втором сосуде оказывается масса жидкости
m2 = ρV2 = ρ∆h2S2,
где V2 = S2∆h2 – объем жидкости во втором сосуде; S2 – площадь поперечного сечения второго сосуда; ∆h2 – повышение уровня жидкости во втором сосуде.
Повышение уровней жидкости в обоих сосудах одинаково:
∆h1 = ∆h2 = ∆h,
поэтому масса жидкости, добавленной в систему, определяется формулой
m = m1 + m2 = ρ∆h(S1 + S2).
Выразим отсюда искомое значение ∆h:
Δ h = m ρ ( S 1 + S 2 ) .
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для первого (широкого) сосуда
S 1 = π d 1 2 4 ,
- для второго (узкого) сосуда
S 2 = π d 2 2 4 ,
где d1 = 2d2 – диаметр первого (широкого) сосуда; d2 – диаметр второго (узкого) сосуда.
Отношение площадей
S 1 S 2 = π d 1 2 4 4 π d 2 2 = d 1 2 d 2 2 = ( d 1 d 2 ) 2 = ( 2 d 2 d 2 ) 2 = 4
позволяет найти площадь широкого сосуда:
S1 = 4S2.
Подставив S1 в формулу для ∆h
Δ h = m ρ ( 4 S 2 + S 2 ) = m 5 ρ S 2 ,
рассчитаем значение высоты, на которую повысится уровень жидкости в сосудах:
Δ h = 0,12 5 ⋅ 1,6 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 15 ⋅ 10 − 3 м = 15 мм.
Пример 29. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра другого, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения широкого сосуда составляет 10 см2. Система заполнена жидкостью плотностью 6,0 г/см3. В узкий сосуд добавляют 0,12 кг жидкости плотностью 2,0 г/см3, а затем – 0,12 кг жидкости плотностью 4,0 г/см3. Найти разность уровней жидкостей в сосудах.
Решение. В сообщающихся сосудах неоднородная жидкость устанавливается на разных уровнях таким образом, что гидростатическое давление на выбранном уровне оказывается одинаковым:
p1 = p2,
где p1 – давление в широком сосуде; p2 – давление в узком сосуде.
На рисунке пунктирной линией обозначен уровень, на котором будем рассчитывать гидростатическое давление в широком и узком сосудах.
Гидростатическое давление на выбранном уровне:
- в широком сосуде
p1 = ρ1gh1,
где ρ1 – плотность жидкости, заполняющей систему изначально; g – модуль ускорения свободного падения; h1 – высота столба жидкости в широком сосуде;
- в узком сосуде
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3,
где ρ2 – плотность первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; h2 – высота столба первой жидкости; ρ3 – плотность второй жидкости, добавленной в узкий сосуд; h3 – высота столба второй жидкости.
Равенство давлений на указанном уровне
ρ1gh1 = ρ2gh2 + ρ3gh3
позволяет определить высоту столба жидкости в широком сосуде:
h 1 = 1 ρ 1 ( ρ 2 h 2 + ρ 3 h 3 ) ,
где высоты жидкостей h2 и h3 определяются соответствующими массами и плотностями:
- для первой жидкости
h 2 = m 2 ρ 2 S 2 ;
- для второй жидкости
h 3 = m 3 ρ 3 S 2 ,
где S2 – площадь поперечного сечения узкого сосуда; m2 – масса первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; m3 – масса второй жидкости, добавленной в узкий сосуд.
Подстановка h2 и h3 в формулу для h1 дает
h 1 = 1 ρ 1 ( ρ 2 m 2 ρ 2 S 2 + ρ 3 m 3 ρ 3 S 2 ) = m 2 + m 3 ρ 1 S 2 .
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для широкого сосуда
S 1 = π d 1 2 4 ,
- для узкого сосуда
S 2 = π d 2 2 4 ,
где d1 = 2d2 – диаметр широкого сосуда; d2 – диаметр узкого сосуда.
Отношение площадей
S 1 S 2 = π d 1 2 4 4 π d 2 2 = d 1 2 d 2 2 = ( d 1 d 2 ) 2 = ( 2 d 2 d 2 ) 2 = 4
позволяет найти площадь узкого сосуда:
S 2 = S 1 4 .
Таким образом, высота столба жидкости в широком сосуде определяется выражением
h 1 = 4 ( m 2 + m 3 ) ρ 1 S 1 .
Высота столба жидкости над указанным уровнем в узком сосуде есть сумма:
h 2 + h 3 = m 2 ρ 2 S 2 + m 3 ρ 3 S 2 = 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 ) .
Искомая разность верхних уровней жидкостей в узком (h2 + h3) и широком h1 сосудах рассчитывается по формуле
Δ h = ( h 2 + h 3 ) − h 1 = 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 ) − 4 ( m 2 + m 3 ) ρ 1 S 1 =
= 4 S 1 ( m 2 ρ 2 + m 3 ρ 3 − ( m 2 + m 3 ) ρ 1 ) .
Произведем вычисление:
Δ h = 4 10 ⋅ 10 − 4 ( 0,12 2,0 ⋅ 10 3 + 0,12 4,0 ⋅ 10 3 − 0,12 + 0,12 6,0 ⋅ 10 3 ) = 0,20 м = 20 см.
Источник