Два открытых сверху цилиндрических сосуда

Рекомендации

по проверке заданий муниципального тура олимпиады по физике

Каждую задачу следует оценивать по десятибалльной шкале.

Таким образом, для 8 класса максимальное количество баллов будет равно 40. А для 9, 10 и 11 классов максимальное количество баллов будет равно 50.

Методические рекомендации по оцениванию решения, приведенного участником муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по физике в 2010/2011 учебном году

Не допускается снятие баллов за «плохой почерк» или за решение задачи способом, не совпадающим со способом, предложенным методической комиссией. Для проверяющих даются лишь возможные варианты решения. Каждый участник олимпиады может представить свой вариант решения. Поэтому следует внимательно проверить каждый вариант решения.

С уважением Борис Ахунович Тимеркаев.

Р Е Ш Е Н И Я

8 класс

1. Самолет пролетел расстояние из города А в город В со скоростью υ1 = 800 км/ч и из-за плохих погодных условий в городе В вернулся обратно в город А. Первую половину пути к А самолет пролетел со скоростью υ2 = 900 км/ч, а вторую половину со скоростью υ3 = 700 км/ч. Определить среднюю путевую скорость самолета за все время полета.

Решение. При движении из города А в город В самолет пролетел расстояние ΔS1 = S (где S – расстояние между городами) за время Δt1 . Так как по условию задачи скорость при этом была постоянной, то ΔS1 = υ1 Δt1 . При полете из города В в город А самолет на первую половину пути ΔS2 = ½ S затратил время Δt2 , а на вторую половину пути ΔS3 = ½ S – время Δt3. При этом ΔS2 = υ2 Δt2, ΔS3 = υ3 Δt3. По определению средней путевой скорости

,

следовательно,

= 794 км/ч.

Ответ: = 794 км/ч.

2. При взвешивании на неравноплечих рычажных весах вес тела на одной чаше получился равным Р1 , а на другой – Р2 . Определить истинный вес тела Р.

Решение. Запишем условие равенства моментов для двух взвешиваний P1 l1 = P l2 ; P l1 = P2 l2 , где Р – истинный вес тела. Тогда, поделив эти соотношения друг на друга, получим или .

3. На дне цилиндрического стакана с водой лежит кусок льда. Когда лед, растаял, то уровень воды в стакане изменился на Δh = 4 см. Какова была сила давления льда на дно стакана? Площадь дна стакана S = 12 см2, плотность воды ρв = 103 кг/м3.

Решение. Если в воде свободно плавает кусок льда, то после его таяния уровень воды не изменится. В нашем случае воды в стакане слишком мало, чтобы лед мог плавать, поэтому он лежит на дне и вытесняет объем воды меньший, чем объем воды, образующийся после таяния льда. Следовательно, после таяния льда уровень воды в стакане увеличится (рис. б).

В начальном положении на кусок льда действует сила тяжести , реакция дна и сила Архимеда (рис. а), причем N + FA = mg , а сила давления льда на дно равна по величине силе реакции:

F = N = mg – FA = mg – ρв g V,

где m – масса льда, V – объем части льда, находящейся в воде (на рисунке он заштрихован).

Объем образующейся от таяния льда воды можно представить в виде (рис. б) VB = V + Δh S, а ее массу mB = ρв VB = ρв (V + Δh S).

Поскольку mB равна массе льда m , то

; = 0,47 Н.

Ответ: F = ρв g Δh S = 0,47 Н.

4. В два открытых сверху цилиндрических сообщающихся сосуда налита ртуть (рис.). Сечение одного из сосудов вдвое больше другого. Широкий сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимается при этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути был на расстоянии l от верхнего края широкого сосуда. Плотность ртути равна ρ, воды – ρ0.

Решение 4. За счет давления налитой в правый сосуд воды ртуть в этом сосуде опустится на высоту x, а в левом – поднимется на высоту h. При этом, в силу несжимаемости жидкости, вытесненные объемы будут одинаковыми, т. е. S1 x = S2 h , или , где S1 и S2 – площади поперечного сечения правого и левого сосудов соответственно.

Смещение х определяется из равенства давлений жидкостей в правом и левом колене на уровне АВ ρ0 g (l + x) = ρ g (x + h) , или ρ0 (l + x) = ρ (x + 2x) , отсюда . Высота h, на которую поднимается ртуть в левом колене, равна: .

Р Е Ш Е Н И Я

9 класс

1. Охотничьи лайки всегда бегут в направлении к цели. Четыре лайки, находящиеся в углах квадратного газона, одновременно бросились в круговом направлении догонять друг друга. Если длина стороны газона равна l, а скорости всех лаек одинаковы и равны υ, то через какое время лайки настигнут друг друга?

Решение 1. Так как направление движения каждой убегающей собаки в любой момент времени перпендикулярно направлению движению догоняющей собаки, то каждая собака должна пройти первоначальное расстояние между собаками. Так как расстояние между собаками первоначально равнялось l и собаки бегут со скоростями υ, то время t = l / υ . Собаки настигнут друг друга в центре квадрата.

2. Однородный брусок квадратного сечения может вращаться с пренебрежимо малым трением вокруг оси О, совпадающей с его осью симметрии и закрепленной горизонтально на уровне поверхности воды (см. рис.). Какое положение бруска будет устойчивым?

Решение 2. В положении равновесия точка приложения силы Архимеда, т. е. центр тяжести вытесненной бруском воды, находится на одной вертикали с осью О. Этому условию удовлетворяют два возможных положения бруска (см. рис. а и б). Устойчивому равновесию соответствует минимальная потенциальная энергия системы брусок – вода. Потенциальная энергия бруска при повороте не изменяется (его центр тяжести остается на уровне воды). Поскольку объем вытесненной воды в обоих положениях также одинаков (он равен половине объема бруска), устойчивому равновесию соответствует минимальная глубина центра тяжести вытесненной воды. В случае а эта глубина равна α/4, в случае б она равна . Поскольку в случае б глубина меньше, этот случай и соответствует положению устойчивого равновесия.

3. Автомобиль может разо­гнаться с места до максимальной разрешенной скорости v1= 60 км/ч за вре­мя t = 6 с. В тот момент, когда автомобиль тро­гался с места, его обогнал грузовик, движущийся с постоянной скоростью v2 = 40 км/ч. Сколько времени понадобится автомобилю, чтобы догнать грузовик, не нарушая правил движения? На каком расстоянии от места стоянки автомобиля это произойдет?

Решение. Ясно, что в принципе здесь имеются две возможности: ав­томобиль может догнать грузовик, либо еще продолжая разгоняться, либо уже достигнув максимальной разрешенной скорости и двигаясь равномер­но.

Рассмотрим построенные на одном чертеже графики скорости автомобиля и грузовика (рис.). Пройденный каждым из них путь к моменту вре­мени t определяется площадью под со­ответствующим графиком. Легко ви­деть, что автомобиль мог бы порав­няться с грузовиком, продолжая при этом разгоняться, только при условии, что он может достичь скорости 2v2. Именно при достижении такой ско­рости в некоторый момент времени t1площадь треугольника будет равна площади прямоугольника v2t1. Однако 2v2 = 80 км/ч, что превосходит мак­симальную разрешенную скорость. Поэтому автомобиль догонит грузовик, уже закончив разгон и двигаясь с постоянной скоростью v1=60 км/ч.

Момент времени t2 когда это произойдет, можно найти, из уравнения

,

откуда

Расстояние от светофора в момент времени t2 равно S=v2 t2. = 100 м.

4. При подъеме груза массой М с помощью гидравлического пресса была затрачена работа А. При этом малый поршень сделал n ходов, перемещаясь за один ход на расстояние h. Во сколько раз площадь большого поршня больше площади малого?

Решение 4. Гидравлический пресс представляет собой два сообщающихся сосуда различного диаметра, заполненных жидкостью и закрытых поршнями. Если к малому поршню S1 приложить силу F1 , то для сохранения равновесия к большому поршню площадью S2 необходимо приложить силу F2 , при этом должно выполняться соотношение

. (1)

Если первый поршень переместить на расстояние Δх1 , часть жидкости переместится из первого сосуда во второй и поднимет второй поршень на высоту Δх2 . В силу несжимаемости жидкости объем жидкости, вытесняемый поршнем из одного сосуда, равен объему, поступающему во второй, т. е.

Δх1 S1 = Δ х2 S

Используя уравнения (1) и (2), получим

. (3)

Таким образом, прикладывая малую силу к малому поршню, можно на большом поршне поднимать большие грузы.

Т.к. A = F1 Δх1 = F1 nh, F2 = Mg. (3)

Из соотношений (1)-(3) имеем .

5. Два чайника, каждый из которых потребляет при напряжении U = 220 В мощность Р = 400 Вт, закипают при последовательном и параллельном включении за одно и то же время. Чему равно сопротивление подводящих проводов?

Решение 5. В соответствии с законом Ома для полной цепи через нагрузку сопротивлением Rx течет ток, сила которого , r – сопротивление подводящих проводов. Мощность, потребляемая в нагрузке, . Если внутреннее сопротивление каждого из чайников R, то при их последовательном соединении Rx = 2R, а потребляемая ими мощность .

При параллельном соединении чайников Rx = R /2, а потребляемая ими мощность . Так как при последовательном и параллельном соединении чайники закипают одновременно, то P1 = P2 . Решая получаемое из этого условия уравнение относительно r , находим r = R. При одном включенном в сеть чайнике Px = P , Rx = R . Тогда , или = 30,25 Ом.

Р Е Ш Е Н И Я

10 класс

1. В космосе летят два метеорита. В какой – то момент времени метеорит 2 оказался на линии движения метеорита 1 на расстояния L (рис.1). Через какое время после этого момента расстояние между ними станет минимальным и каково оно? Скорости метеоритов равны v1 и v2 соответственно, угол между траекториями их движения равен a. Силами гравитации и размерами метеоритов пренебречь.

Решение 1. Рассмотрим движение метеорита 2 относительно метеорита 1. В системе координат XOZ , связанной с телом 1 (рис.), проекции относительной скорости υ метеорита 2 будут

υx = – (υ1 + υ2 cos α), υy = υ2 sin α .

Сама относительная скорость направлена по диагонали прямоугольника, построенного на υx и υy . Кратчайшим расстоянием между метеоритами 1 и 2 за время их движения будет длина перпендикуляра AD = l к линии, по которой направлена относительная скорость. Если обозначить угол между осью OX и относительной скоростью υ через β, то l = L sin β , причем sinβ = υy / υ . Таким образом,

.

Время, в течение которого метеорит 2 в относительном движении пройдет расстояние BD = L cos β, будет t = BD / υ = (L cos β ) / υ . Подставляя значения cos β = | υx /υ | и υ, получим

.

2. Шарик, брошенный без начальной скорости с высоты h на горизонтальную поверхность, подпрыгивает на высоту h/2 . На каком расстоянии от точки бросания шарик перестанет прыгать и начнет двигаться по поверхности, если его бросить с поверхности со скоростью 1 м/с под углом 45 градусов к горизонту?

Решение 2. Горизонтальная компонента скорости шарика при всех ударах не изменяется, а вертикальная уменьшается в раз. Поскольку между ударами о плоскость шарик находится в воздухе время t = 2/g, то полное время движения шарика представляет собой сумму . Здесь мы применили выражение для суммы геометрической прогрессии. Дальность полета S находим из S = υx t . При бросании под углом 45о . Окончательно = 0, 35 м.

3. Состояние ν молей идеального газа изменялось сначала по изохоре 1 – 2, затем по изобаре 2 – 3. Отношение давлений в состояниях 1 и 2 задано: . Известно, что в состоянии 3 температура газа равна Т. Определить работу, совершенную газом в процессе 1 – 2 – 3. На графике 0 – 1 – 3 – прямая.

Решение 3. Так как в процессе 1 – 2 объем не изменяется, то работа в этом процессе равна нулю. Следовательно, работа А, совершенная газом в процессе 1 – 2 – 3, равна работе, совершенной в процессе 2 – 3, т. е. А = p2 (V3 – V1).

Используя уравнения состояния газа в состояниях 1 и 3, p1V1 = ν RT1, p3V3 = ν RT, получим

.

Характеристика газа в состояниях 1 и 3 связаны объединенным газовым законом:

.

Из него следует, что . По условию задачи точки 1 и 3 на графике (pV) связаны линейной зависимостью, т. е. , но так как p3 = p2 , то .

Поэтому . Подставляя это отношение в выражение для работы, получаем .

4. Величина каждого сопротивления в схеме, изображенной на рисунке, R = 1 Ом. Каково сопротивление цепи между точками А и В?

Решение 4. Сопротивления R2 , R3 и R4 соединены параллельно. Их эквивалентное сопротивление R2,3,4 = R/3.

В свою очередь R2,3,4 соединены последовательно с R6 и оба они параллельны R5: , .Сопротивление цепи между точками А и В: .

5. Три зеркала образуют между собой двугранные прямые углы (см. рис.). Докажите, что после трех отражений от этой системы зеркал направление любого луча света изменится на противоположное.

Решение 5. Воспользуемся механической аналогией – тем, что при упругом ударе шарика о неподвижную гладкую стенку также происходит «зеркальное» отражение. Значит, вместо светового луча можно рассматривать траекторию движения упругого шарика. Направим оси координат x, y, z вдоль ребер двугранных углов. Пусть проекции начальной скорости υ шарика на эти оси равны υx , υy , υz . Тогда после отскока от зеркала, лежащего в плоскости yz , скорость шарика имеет проекции –υx, υy , υz ; два последующих отскока приводят к изменению знаков υy , υz . Следовательно, после трех «ударов» о зеркала вектор скорости шарика имеет проекции на оси координат –υx, –υy , –υz , т. е. вектор равен –υ. Таким образом, направление движения шарика изменилось на противоположное. То же самое произойдет и с направлением распространения света.

Р Е Ш Е Н И Я

11 класс

1. Автомобиль едет со скоростью v на горизонтальном участке дороги под дождем, капли которого падают вертикально вниз со скоростью w. Лобовое стекло автомобиля наклонено под углом a к горизонту. Найти отношение чисел капель, падающих в единицу времени на единицу площади лобового стекла и крыши соответственно.

Решение 1. Скорость капель дождя относительно автомобиля , где υ0 = – υ, составляет угол β с горизонтом, причем sin β = w /u и cos β = υ/ u (рис.). На лобовое стекло в единицу времени падают капли дождя, находящиеся в косой призме с образующей u, площадью основания S (основанием является это стекло) и высотой h = u sin γ , где γ = α + β (рис.). Объем этой призмы

V = S u sin (α + β) = S u (sin α cos β + cos α sin β).

Если в единице объема находится одновременно n капель, то число капель в призме, или, что то же, число капель, падающих на переднее стекло в единицу времени, равно n V. Соответственно число капель, падающих в единицу времени на единицу площади лобового стекла N1 =. Учитывая значения V , sin β и cos β , найдем N1 = n (υ sin α + w cos α ). Положив в этой формуле α = 0, получим число капель, падающих в единицу времени на единицу площади крыши: N2 = n w. Таким образом, .

2. Брусок массой m и длиной l лежит на стыке двух горизонтальных столов (рис. ). Какую минимальную работу надо совершить, чтобы перетащить тело волоком с первого стола на второй, если коэффициенты трения между телом и столами соответственно равны μ1 и μ2.

Решение 2. Рассмотрим промежуточное положение бруска, соответствующее длине х его части, находящийся на втором столе. Силы, действующие на брусок в этот момент времени, представлены на рис. Чтобы совершить минимальную работу по перетаскиванию бруска, к нему необходимо приложить горизонтальную силу , которая по величине должна быть равна сумме сил трения Fтр1 и Fтр2 , действующих на брусок со стороны первого и второго столов: F = Fтр1 + Fтр2.

Поскольку силы реакции N1 = m1 g , N2 = m2 g , то силы трения

Fтр1 = μ1 N1 = μ1 m1 g , Fтр2 = μ2 N2 = μ2 m2 g ,

где m1 и m2 – массы частей бруска, находящихся в данный момент времени на первом и втором столах соответственно:

, .

Следовательно,

, , /

Как видим, сила F будет меняться в зависимости от пройденного бруском пути х по линейному закону. Работа переменной силы F может быть определена одним из двух способов.

1 способ. График зависимости силы F от координаты (пройденного пути) х представлен на рис. Работа переменной силы F численно равна площади заштрихованной фигуры (трапеции)

.

2 способ. Поскольку сила F зависит от пройденного бруском пути х по линейному закону, то среднее значение силы

и работа силы на пути l

.

Ответ: А = ½ (μ1 + μ2) mgl.

3. Исследуется сила взаимодействия металлического шара и точечной положительно заряженной частицы, находящейся на постоянном расстоянии от шара. Когда на шар поместили некоторый положительный заряд, то оказалось, что шар и частица притягиваются с силой f1 , а когда заряд удвоили – с силой f2 . Какова будет сила взаимодействия, если заряд шара утроить?

Решение 3. Если шар не заряжен, то частица и шар притягиваются из-за наличия на поверхности шара индуцированного заряда. Пусть величина этой силы fинд . Если теперь сообщить шару заряд q, 2q , 3q , то возникает еще сила отталкивания. Она пропорциональна сообщенному заряду, потому что он распределяется равномерно по поверхности шара. Введем для силы отталкивания обозначение f , 2f , 3f , соответственно. По принципу суперпозиции f1 = fинд – f, f2 = fинд – 2f, f3 = fинд – 3f. Отсюда находим: f3 = 2f2 –f1. Отметим, что сила f3 может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания.

4. Металлический стержень может скользить без трения по параллельным горизонтальным рельсам, находящимся на расстоянии l друг от друга. Рельсы соединены перемычкой, имеющей сопротивление R. Система находится в вертикальном однородном магнитном поле с индукцией . Как будет двигаться стержень, если к нему приложить постоянную силу F? Электрическим сопротивлением стержня и рельсов пренебречь.

Решение 4. При движении стержня в нем индуцируется ЭДС ε1 = Bυl и возникает индукционный ток . На стержень действует сила Ампера , направленная противоположно скорости (эта сила напоминает силу сопротивления среды). Так как сила сопротивления (сила Ампера) увеличивается с увеличением скорости, то через определенное время движение стержня станет равномерным. Установившуюся скорость движения можно найти из условия FA = F и .

5. На собираюую линзу с фокусным расстоянием F = 20 см падает сходящийся пучок лучей (см. рис.). Расстояние а от оптического центра линзы до точки А равно 30 см. На каком расстоянии l от линзы пересекутся лучи?

Решение 5.

1 –ый способ.

Воспользуемся обратимостью хода световых лучей и переформулируем вопрос так: на каком расстоянии l от линзы разместить точку А1 , чтобы ее мнимое изображение оказалось в точке А ? Уравнение тонкой линзы принимает вид , поскольку d = l, f = –a. Отсюда l = 12 см. Ход лучей показан на рисунке. Заметим, что мы фактически использовали формулу тонкой линзы, считая в ней d = –a : когда на линзу падает сходящийся пучок лучей, точку, в которой пересекаются продолжения лучей, можно рассматривать как «мнимый» источник света

l = 12 см; изображение действительное (см. рисунок).

2 –ой способ (без применения формулы тонкой линзы).

Выберем из падающего пучка луч СВ, проходящий через точку В линзы так, что отрезок ОВ=ОА = а. Построим вспомогательный луч ЕО параллельный лучу СВ и проходящий через центр линзы. Он пройдет линзу без изменения направления и в точке D пересечет фокальную плоскость. Луч СВ после преломления в линзе также пойдет через точку D. Симметричный луч С/B/ пойдет через точку D/. Следовательно эти лучи и другие лучи пучка будут пересекаться в точке G. Из рис. видно, что ОF= FD = фокусному расстоянию F.

Обозначим OG =l. Т. к. треугольники ОGB и GDF подобны, имеем

, откуда