Два сообщающихся сосуда площади сечения которых равны
Помним, (1) что давление в жидкости P = ρ·g·h, (2) если давление в сообщающихся сосудах (в правом и левом колене U образной трубки) одинаково, то жидкость покоится, иначе начинает движение перетекая из одной части сосуда в другую.
Доливая керосин в правое колено трубки мы изменяем уровень воды в левом колене трубки. Но! Вода из правого колена переходит в левое, чтобы скомпенсировать давление создаваемое столбом керосином. Распишем изменение высот столбов жидкости в каждом из колен.
Правое колено:
Высота столба жидкости: h прав. = х + h кер. – h воды., где х-исходная высота столба воды, h кер. -высота столба налитого керосина, h воды. -высота столба воды ушедшей в левое колено сосуда;
Расстояние от края трубки до уровня жидкости: 45 – h кер. + h воды., заметим, что когда жидкость из трубки уходит, то это расстояние увеличивается, когда жидкость доливают, то “зазор” между поверхностью жидкости и краем трубки, увеличивается.
Левое колено:
Высота столба жидкости: h лев. = х + h воды.;
Расстояние от края трубки до уровня жидкости: 45 – h воды.
В тот момент, когда жидкости покоятся, давления в правом и левом колене сосуда равны.
P прав. = P лев.
ρ воды·g·(х – h воды.) + ρ кер. ·g·h кер. = ρ воды ·g·(х + h воды.).
Домножим правую и левую части уравнения на дробь 1/g, раскроем скобки и получим:
ρ воды·х – ρ воды·h воды. + ρ кер. ·h кер. = ρ воды. ·х + ρ воды. ·h воды.
Сгруппируем в правой части уравнения все слагаемые с ρ воды., а в левой с ρ кер.
ρ кер. ·h кер. = ρ воды. ·х + ρ воды. ·h воды. – ρ воды·х + ρ воды·h воды.
ρ кер. ·h кер. = 2·ρ воды. ·h воды.
Плотность пресной воды 1 г/см³ плотность керосина пусть будет 0,8 г/см³ (точное значение зависит от марки керосина).
0,8·h кер. = 2·1·h воды.;
h кер. = (2·1·h воды.) /0,8;
h кер. = 2,5·h воды. [*]
Керосин легче воды, его столб будет выше, поэтому первым исчезнет зазор в правом колене.
45 – h кер. + h воды. = 0, то есть
h кер. = 45 + h воды. [**]
Левые и правые части уравнений [*] и [**] равны, объединим их в одно уравнение.
2,5·h воды. = 45 + h воды.
Упростим выражение.
2,5·h воды. – h воды. = 45;
(2,5 – 1)·h воды. = 45;
h воды. = 45/1,5 = 30 см;
h кер. = 45 + h воды. = 45+30=75 см.
Задача №2
Условие в этой задаче не полное, поэтому она, записанная как есть, имеет множество решений.
p ртути = ρ ртути ·g·h ртути = 13600 кг/м³ · 9,8 Н/кг · 0,01 м = 1333 Па
(Учебник физики 7 класс, Перышкин А. В., 2006 г., стр. 102).
p общ. = p воды + p керосина = ρ воды ·g·h воды + ρ кер. ·g·h кер. = 9800·h воды +7840·h кер.
1333= 9800·h воды +7840·h кер.
Из Вашего условия большего мы получить не сможем.
Задача №3
Сила тяжести F=mg; сообщающиеся сосуды с различным сечением используют в гидравлических машинах для развития больших сил, перегоняя поршнями жидкость из сосуда с малым сечением (площадью поперечного сечения) в сосуд с большим сечением F₂/F₁ = S₂/S₁.
Доливая керосин сверху мы его массой действуем как-бы на поршень 1.
F₁ = Fтяж. керосина. = m кер. ·g = V кер. ·ρ кер. ·g = S₁ · h кер. · ρ кер. ·g.
F₂ = Fтяж. воды. = S₂ · h воды. · ρ воды. ·g.
Жидкость в сосудах покоится, следовательно, сила с которой действует керосин уравновешена силой с которой действует столб воды:
F₁ = F₂;
S₁ · h кер. · ρ кер. ·g = S₂ · h воды. · ρ воды. ·g.
(h кер. · ρ кер. ·g) / (h воды. · ρ воды. ·g) = S₂/S₁;
(???высота керосина 2 см или 0,2 см ??? Будем считать =2 см)
(0,02·0,8·9,8)/(h воды. ·1·9,8) = 3/1
Выразим неизвестную величину:
(0,02·0,8·9,8)·1= 3·(h воды. ·1·9,8)
h воды. = ((0,02·0,8·9,8)·1)/(3·(1·9,8)) = 0,016/3 = 0,005(3) м ≈ 0,53 см. – изменение уровня воды в широком сосуде.
Источник
4.2. Элементы гидростатики
4.2.5. Сообщающиеся сосуды
Сообщающимися называются сосуды, соединенные между собой каналом, заполненным жидкостью.
Для сообщающихся сосудов справедлив закон сообщающихся сосудов: высоты взаимно уравновешенных столбов разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:
h1h2=ρ2ρ1,
где h1 — высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 — высота столба жидкости плотностью ρ2.
Указанный закон справедлив в отсутствие сил поверхностного натяжения.
Если сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
ρ1 = ρ2,
то свободные поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне, независимо от формы сосудов (рис. 4.14):
h1 = h2,
где h1 — высота столба жидкости в левом колене; h2 — высота столба жидкости в правом колене сообщающихся сосудов.
Рис. 4.14
Если сообщающиеся сосуды заполнены разнородными жидкостями
ρ1 ≠ ρ2,
то свободные поверхности жидкостей, независимо от формы сосуда (рис. 4.15), устанавливаются так, что выполняется отношение
h1h2=ρ2ρ1,
где h1 — высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 — высота столба жидкости плотностью ρ2.
Рис. 4.15
Если сообщающиеся сосуды заполнены несколькими жидкостями (например, как показано на рис. 4.16), то гидростатическое давление на одном уровне (отмеченном пунктиром) в левом колене определяется формулой
p1 = ρ1gh1,
в правом колене —
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3.
Рис. 4.16
Равенство давлений на указанном уровне
p1 = p2
позволяет записать тождество:
ρ1h1 = ρ2h2 + ρ3h3.
Пример 28. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра второго, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения узкого сосуда равна 10 см2. Система заполнена некоторым количеством жидкости плотностью 1,6 г/см3. Найти, на сколько миллиметров повысится уровень жидкости в каждом из сосудов, если в систему добавить 0,12 кг той же жидкости.
Решение. В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне.
Добавление в систему некоторого количества жидкости массой m приводит к ее распределению по двум сосудам в соответствии с площадью их поперечного сечения:
- в первом сосуде оказывается масса жидкости
m1 = ρV1 = ρ∆h1S1,
где ρ — плотность жидкости; V1 = S1∆h1 — объем жидкости в первом сосуде; S1 — площадь поперечного сечения первого сосуда; ∆h1 — повышение уровня жидкости в первом сосуде;
- во втором сосуде оказывается масса жидкости
m2 = ρV2 = ρ∆h2S2,
где V2 = S2∆h2 — объем жидкости во втором сосуде; S2 — площадь поперечного сечения второго сосуда; ∆h2 — повышение уровня жидкости во втором сосуде.
Повышение уровней жидкости в обоих сосудах одинаково:
∆h1 = ∆h2 = ∆h,
поэтому масса жидкости, добавленной в систему, определяется формулой
m = m1 + m2 = ρ∆h(S1 + S2).
Выразим отсюда искомое значение ∆h:
Δh=mρ(S1+S2).
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для первого (широкого) сосуда
S1=πd124,
- для второго (узкого) сосуда
S2=πd224,
где d1 = 2d2 — диаметр первого (широкого) сосуда; d2 — диаметр второго (узкого) сосуда.
Отношение площадей
S1S2=πd1244πd22=d12d22=(d1d2)2=(2d2d2)2=4
позволяет найти площадь широкого сосуда:
S1 = 4S2.
Подставив S1 в формулу для ∆h
Δh=mρ(4S2+S2)=m5ρS2,
рассчитаем значение высоты, на которую повысится уровень жидкости в сосудах:
Δh=0,125⋅1,6⋅103⋅10⋅10−4=15⋅10−3 м=15 мм.
Пример 29. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра другого, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения широкого сосуда составляет 10 см2. Система заполнена жидкостью плотностью 6,0 г/см3. В узкий сосуд добавляют 0,12 кг жидкости плотностью 2,0 г/см3, а затем — 0,12 кг жидкости плотностью 4,0 г/см3. Найти разность уровней жидкостей в сосудах.
Решение. В сообщающихся сосудах неоднородная жидкость устанавливается на разных уровнях таким образом, что гидростатическое давление на выбранном уровне оказывается одинаковым:
p1 = p2,
где p1 — давление в широком сосуде; p2 — давление в узком сосуде.
На рисунке пунктирной линией обозначен уровень, на котором будем рассчитывать гидростатическое давление в широком и узком сосудах.
Гидростатическое давление на выбранном уровне:
- в широком сосуде
p1 = ρ1gh1,
где ρ1 — плотность жидкости, заполняющей систему изначально; g — модуль ускорения свободного падения; h1 — высота столба жидкости в широком сосуде;
- в узком сосуде
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3,
где ρ2 — плотность первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; h2 — высота столба первой жидкости; ρ3 — плотность второй жидкости, добавленной в узкий сосуд; h3 — высота столба второй жидкости.
Равенство давлений на указанном уровне
ρ1gh1 = ρ2gh2 + ρ3gh3
позволяет определить высоту столба жидкости в широком сосуде:
h1=1ρ1(ρ2h2+ρ3h3),
где высоты жидкостей h2 и h3 определяются соответствующими массами и плотностями:
- для первой жидкости
h2=m2ρ2S2;
- для второй жидкости
h3=m3ρ3S2,
где S2 — площадь поперечного сечения узкого сосуда; m2 — масса первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; m3 — масса второй жидкости, добавленной в узкий сосуд.
Подстановка h2 и h3 в формулу для h1 дает
h1=1ρ1(ρ2m2ρ2S2+ρ3m3ρ3S2)=m2+m3ρ1S2.
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для широкого сосуда
S1=πd124,
- для узкого сосуда
S2=πd224,
где d1 = 2d2 — диаметр широкого сосуда; d2 — диаметр узкого сосуда.
Отношение площадей
S1S2=πd1244πd22=d12d22=(d1d2)2=(2d2d2)2=4
позволяет найти площадь узкого сосуда:
S2=S14.
Таким образом, высота столба жидкости в широком сосуде определяется выражением
h1=4(m2+m3)ρ1S1.
Высота столба жидкости над указанным уровнем в узком сосуде есть сумма:
h2+h3=m2ρ2S2+m3ρ3S2=4S1(m2ρ2+m3ρ3).
Искомая разность верхних уровней жидкостей в узком (h2 + h3) и широком h1 сосудах рассчитывается по формуле
Δh=(h2+h3)−h1=4S1(m2ρ2+m3ρ3)−4(m2+m3)ρ1S1=
=4S1(m2ρ2+m3ρ3−(m2+m3)ρ1).
Произведем вычисление:
Δh=410⋅10−4(0,122,0⋅103+0,124,0⋅103−0,12+0,126,0⋅103)=0,20 м=20 см.
Источник
Решебник по физике Л.А. Кирик Самостоятельные и контрольные работы
1. а) Два сосуда одинаковой формы и размеров установлены так, как показано на рисунке. Что можно сказать: а) о массах воды в сосудах; б) о давлении на дно сосудов; в) о силах давления на дно сосудов?
а) массы одинаковы
б) давление на дно одинаково
в) сила давления на дно в первом сосуде больше, так как площадь дна больше
б) В сосуде находится один над другим три слоя несмешивающихся жидкостей: воды, керосина и ртути. Высота каждого слоя 5 см. Сделайте пояснительный рисунок и укажите на нем порядок расположения слоев. Определите давление жидкостей на дно сосуда и на глубине 7,5 см.
2. а) Под колоколом воздушного насоса находится сосуд, закупоренный пробкой. Почему при интенсивном выкачивании воздуха из-под колокола пробка может вылететь (см. рисунок)?
Давление под колоколом на пробку по мере выкачивания воздуха уменьшается, а внутри колбы остается постоянным. Когда сила давления газа, обусловленная разностью давлений, превысит максимальное значение силы трения покоя пробки о стекло, пробка вылетит.
б) Кубик с длиной ребра 10 см погружен в воду так, что его нижняя грань находится на глубине 25 см. С какой силой вода давит на нижнюю грань?
3. а) Будет ли гидравлический пресс работать на Луне? Если да, то будет ли какое-то различие в его работе на Луне по сравнению с работой на Земле?
Давление пресса на Луне будет меньше, чем на Земле, так как сила тяжести на Луне меньше.
б) В левое колено U-образной трубки с водой долили слой керосина высотой 20 см. На сколько поднимется уровень воды в правом колене?
4. а) Сосуды имеют одинаковые площади дна. Что можно сказать: а) о массах воды в сосудах; б) о давлении на дно сосудов; в) о силах давления на дно сосудов?
а) масса в 1-ом сосуде больше
б) давления одинаковы
в) силы давления одинаковы, так как площади дна равны
б) Малый поршень гидравлического пресса площадью 2 см2 под действием внешней силы опустился на 16 см. Площадь большего поршня 8 см2. Определите вес груза, поднятого поршнем, если на малый поршень действовала сила 200 Н. На какую высоту был поднят груз?
5. а) Справедлив ли закон сообщающихся сосудов в условиях невесомости?
Нет. В состоянии невесомости вес тела равен 0, следовательно, жидкость не будет оказывать давление.
б) Со дна аквариума убрали камень массой 780 г. В результате давление на дно сосуда уменьшилось на 50 Па. Какова плотность камня, если известно, что длина аквариума 30 см, а ширина 20 см? Камень был погружен в воду полностью.
6. а) Что вы можете сказать о величине давления и силах давления на дно сосуда во всех трех отсеках, изображенных на рисунке?
Давление зависит только от высоты сосуда и плотности жидкости. Сила давления на дно будет больше там, где площадь дна больше. => Давление одинаково во всех трёх отсеках, сила давления в 1-ом сосуде больше, чем во 2,3 отсеках.
б) В цилиндрических сообщающихся сосудах находится вода. Площадь поперечного сечения широкого сосуда в 4 раза больше площади поперечного сечения узкого сосуда. В узкий сосуд наливают керосин, который образует столб высотой 20 см. На сколько повысится уровень воды в широком сосуде и на сколько опустится в узком?
Пусть относительно начального уровня воды в сосудах в узком сосуде уровень воды понизится на h2, а в широком повысится на h1. Тогда давление столба керосина высотой Н в узкой трубке будет равно g ρк Н, давление воды в широкой трубке равно g ρв (h1 + h2), где ρк – плотность керосина и ρв – плотность воды. Так как жидкости находятся в равновесии, то
g ρк Н = g ρв (h1 + h2), или ρк Н = ρв (h1 + h2)
Воду считаем несжимаемой жидкостью, поэтому уменьшение объёма в узкой трубке площадью S должно быть равно увеличению объёма в широкой трубке площадью 4S:
Sh2 = 4Sh1, или h2 = 4h1.
Определим h1 = ρк Н/ 5 ρв.
Получаем h1 = 3,2 см и h2 = 12,8 см.
Источник