Два сообщающихся сосуда с одинаковыми поперечными сечениями
Автор
Тема: Жидкости и газы из сборника задач Савченко Н.Е. (Прочитано 44083 раз)
0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.
361. В цилиндрических сообщающихся сосудах находится ртуть. Отношение диаметров сосудов n = d1/d2 = 0,25. В узкий сосуд наливают воду; высота столба воды h = 80 см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и на сколько он поднимется в широком? Плотность воды ρ1 = 1,0⋅103 кг/м3, ртути ρ2 = 13,6⋅103 кг/м3.
Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):
рА = рВ,
где pА = ρ2⋅g⋅h2, pВ = ρ1⋅g⋅h. Тогда
ρ2⋅g⋅h2 = ρ1⋅g⋅h или ρ1⋅h = ρ2⋅h2. (1)
Из рисунка 1 видно, что
h2 = Δh1 + Δh2, (2)
где Δh1 — высота, на которую опустится ртуть в узком сосуде, Δh2 — высота, на которую поднимется ртуть в широком сосуде.
Из условия не сжимаемости воды
ΔV1 = ΔV2, S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2,
где [ S_{1} = frac{pi cdot d_{1}^{2} }{4}, ; ; ; S_{2} =frac{pi cdot d_{2}^{2} }{4} ] — площади поперечного сечения сосудов, d1/d2 = n — по условию. Тогда
[ frac{pi cdot d_{1}^{2} }{4} cdot Delta h_{1} =frac{pi cdot d_{2}^{2} }{4} cdot Delta h_{2}, ; ; ; Delta h_{2} =Delta h_{1} cdot left(frac{d_{1} }{d_{2} } right)^{2} =n^{2} cdot Delta h_{1}.
]
После подстановки в уравнение (2) получаем:
h2 = Δh1 + n2⋅Δh1 = Δh1⋅(1 + n2).
Подставим в уравнение (1)
[ rho _{1} cdot h=rho _{2} cdot Delta h_{1} cdot left(1+n^{2} right), ; ; ; Delta h_{1} =frac{rho _{1} cdot h}{rho _{2} cdot left(1+n^{2} right)}, ; ; ; Delta h_{2} =frac{rho _{1} cdot h cdot n^{2} }{rho _{2} cdot left(1+n^{2} right)}, ]
Δh1 = 5,5⋅10–2 м, Δh2 = 3,5⋅10–3 м.
Записан
362. В сообщающиеся сосуды налита ртуть, поверх которой в один из сосудов налита вода. Разность уровней ртути Δh = 20 мм. Плотность ртути ρ1 = 13,6⋅103 кг/м3, воды ρ2 = 1,0⋅103 кг/м3. Найти высоту столба воды.
Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):
рА = рВ,
где pА = ρ1⋅g⋅Δh, pВ = ρ2⋅g⋅h2. Тогда
ρ1⋅g⋅Δh = ρ2⋅g⋅h2 или ρ1⋅Δh = ρ2⋅h2,
[ h_{2} =frac{rho _{1} cdot Delta h}{rho _{2}}, ]
h2 = 0,27 м.
Записан
363. В двух сообщающихся цилиндрических сосудах с одинаковыми поперечными сечениями площадью S = 1⋅10–2 м2 находится ртуть. В одни из сосудов поверх ртути наливают воду массой m1 = 20 кг и опускают в нее плавать груз массой m2 = 7,2 кг. На сколько поднимется уровень ртути во втором сосуде? Плотность ртути ρ = 13,6⋅103 кг/м3.
Решение. Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости (в однородной жидкости на одном уровне гидростатические давления равны) (рис. 1):
рА = рВ,
где pА = ρ⋅g⋅h. Давление в точке В можно найти разными способами.
1 способ. Давление pВ = ρ1⋅g⋅h3, где ρ1 — плотность воды, h3 = h1 + h2, h1 — высота столбца воды массой m1, h2 — высота столбца воды, вытесненная при погружении в воду тела массой m2 и т.п.
2 способ. Так как тело плавает в воде, то давление воды и плавающего тела в точке В
[ p_{B} = frac{left(m_{1} +m_{2} right)cdot g}{S}. ]
Тогда
[ rho cdot g cdot h=frac{left(m_{1} +m_{2} right)cdot g}{S}, ;; ; rho cdot h=frac{m_{1} +m_{2} }{S}.;;; (1) ]
Из рисунка 1 видно, что
h = Δh1 + Δh2,
где Δh1 — высота, на которую поднимется ртуть, Δh2 — высота, на которую ртуть опустится.
Из условия не сжимаемости воды
ΔV1 = ΔV2, S⋅Δh1 = S⋅Δh2, Δh1 = Δh2.
В итоге получаем, с учетом уравнения (1):
[ h=2Delta h_{1} =frac{m_{1} +m_{2} }{Scdot rho }, ; ; ; Delta h_{1} =frac{m_{1} +m_{2} }{2Scdot rho }, ]
Δh1 = 0,1 м.
Записан
364. Шарик массой m = 40 г плавает в одном из двух одинаковых цилиндрических сообщающихся сосудов, заполненных водой (рис. 1). Площадь поперечного сечения каждого сосуда S = 20 см2. На сколько изменится уровень воды, если вынуть шарик? Плотность воды ρ = 1,0 г/см3.
Решение. На шарик действуют силы тяжести (m⋅g) и архимедова сила (FA). Запишем условие плавания тела:
FA = m⋅g,
где FA = ρ⋅g⋅Vn, Vn — объем части шарика, погруженного в воду. Тогда
ρ⋅g⋅Vn = m⋅g или ρ⋅Vn = m.
Если шарик вынуть из воды, то объем воды уменьшиться на Vn. Так как вода занимается два сообщающихся сосуда площадью S каждый, то уровень воды (высота столбца) уменьшиться на
[ Delta h=frac{V_n}{2S}=frac{m}{2rho cdot S}, ]
Δh = 1⋅10–2 м.
Записан
365. Два цилиндрических сосуда соединены у дна тонкой трубкой с краном (рис. 1). Один сосуд имеет площадь поперечного сечения S1 = 15 см2, второй — S2 = 5,0 см2. Сосуды заполнены водой: первый до высоты h1 = 20 см, второй до высоты h2 = 40 см. Каков будет уровень воды в сосудах, если открыть кран К в соединительной трубке?
Решение. Так как давление на дно сосуда больше в правом сосуде, то после открытия кран К вода будет перетекать с правого сосуда в левый. Пусть высота столбца жидкости в сосудах станет равной h3, уровень воды в сосуде площадью S1 увеличится на Δh1, в сосуде площадью S2 уменьшится на Δh2 (рис. 2). Из рисунка видно, что
Δh1 = h3 – h1, (1)
Δh2 = h2 – h3. (2)
Из условия не сжимаемости воды
ΔV1 = ΔV2, S1⋅Δh1 = S2⋅Δh2. (3)
Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
S1⋅(h3 – h1) = S2⋅(h2 – h3), h3⋅(S1 + S2) = S1⋅h1 + S2⋅h2,
[ h_{3} =frac{S_{1} cdot h_{1} +S_{2} cdot h_{2} }{S_{1} +S_{2}}, ]
h3 = 0,25 м.
« Последнее редактирование: 13 Декабря 2011, 19:00 от alsak »
Записан
366. Деталь отлита из сплава железа и никеля. Определить, сколько процентов по объему составляют железо и никель, а также объем всей детали, если в воздухе деталь весит Р1 = 33,52 Н, а в воде — Р2 = 29,60 Н. Плотность железа ρ1 = 7,9⋅103 кг/м3, никеля ρ2 = 8,9⋅103 кг/м3, воды ρ3 = 1,0⋅103 кг/м3. Архимедову силу в воздухе не учитывать.
Решение. Будем считать, что вес детали определяют при помощи динамометра. Тогда вес детали — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:
P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,
где m1 = ρ1⋅V1 — масса железа в детали, V1 — объем железа, m2 = ρ2⋅V2 — масса никеля в детали, V2 — объем никеля. Тогда
P1 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2)⋅g. (1)
В воде на деталь, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:
P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅g – FA,
где FA = ρ3⋅g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей детали. Тогда
P2 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2)⋅g – ρ3⋅g⋅(V1 + V2). (2)
Решим систему уравнений (1)-(2) и найдем V1, V2 и V. Например,
[ P_{2} =P_{1} -rho _{3} cdot gcdot left(V_{1} +V_{2} right), ; ; ; V=V_{1} +V_{2} =frac{P_{1} -P_{2} }{rho _{3} cdot g}, ]
V = 4⋅10–4 м3.
V2 = V – V1, P1 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅(V – V1))⋅g,
(ρ1 – ρ2)⋅V1⋅g = P1 – ρ2⋅V⋅g,
[ V_{1} =frac{P_{1} }{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot g} -frac{rho _{2} cdot V}{rho _{1} -rho _{2} }, ; ; ; frac{V_{1} }{V} =frac{P_{1} }{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot g} cdot frac{1}{V} -frac{rho _{2} }{rho _{1} -rho _{2} } = ]
[ =frac{P_{1} }{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot g} cdot frac{rho _{3} cdot g}{P_{1} -P_{2} } -frac{rho _{2} }{rho _{1} -rho _{2} } =left(frac{P_{1} cdot rho _{3} }{P_{1} -P_{2} } -rho _{2} right)cdot frac{1}{rho _{1} -rho _{2}}, ]
V1/V = 0,35 (35%), V2/V = 1 – 0,35 = 0,65 (65%).
Записан
367. Браслет массой М = 80 г сделан из сплава золота и серебра. Вычислить массу золота, содержащегося в браслете, располагая следующими данными: плотность золота ρ1 = 19,3 г/см3, плотность серебра ρ2 = 10,5 г/см3; при погружении браслета в воду, находящуюся в сосуде с вертикальными стенками и площадью основания S = 25 см2, уровень воды поднимается на h = 2,0 мм.
Решение. Масса браслета равна
M = m1 + m2,
где m1 = ρ1⋅V1 — масса золота в браслете, V1 — объем золота, m2 = ρ2⋅V2 — масса серебра в браслете, V2 — объем серебра. Тогда
M = ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2. (1)
При погружении в воду браслет вытесняет объем воды, равный объему тела, т.е.
V = S⋅h = V1 + V2. (2)
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
V2 = S⋅h – V1, M = ρ1⋅V1 + ρ2⋅(S⋅h – V1),
(ρ1 – ρ2)⋅V1 = M – ρ2⋅S⋅h,
[ V_{1} =frac{M-rho _{2} cdot Scdot h}{rho _{1} -rho _{2}}, ; ; ; m_{1} =rho _{1} cdot V_{1} =rho _{1} cdot frac{M-rho _{2} cdot Scdot h}{rho _{1} -rho _{2}}, ]
m1 = 6,0⋅10–2 кг.
Записан
368. Согласно желанию сиракузского властителя, Архимед должен был определить содержание золота в короне, состоящей из золотых и серебряных частей, не разрушая ее. Для этого Архимед взвесил корону в воздухе и получил вес P1 = 25,4 Н, а затем в воде, получив вес Р2 = 23,4 Н. Зная плотность золота, серебра и воды (соответственно ρ1 = 19,3 г/см3, ρ2 = 10,5 г/см3 и ρ3 = 1,00 г/см3), определить, как и Архимед, массу золота, содержащегося в этой короне. Ускорение свободного падения считать равным g = 10,0 м/с2.
Решение. Будем считать, что вес короны определяли при помощи динамометра. Тогда вес короны — это сила упругости пружины динамометра.
В воздухе на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g) и сила упругости (Fy1) (архимедову силу в воздухе не учитывать) (рис. 1). Из проекции второго закона Ньютона получаем:
P1 = Fy1 = (m1 + m2)⋅g,
где m1 = ρ1⋅V1 — масса золота в короне, V1 — объем золота, m2 = ρ2⋅V2 — масса серебра в детали, V2 — объем серебра. Тогда
P1 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2)⋅g. (1)
В воде на корону, подвешенной к динамометру, действует сила тяжести ((m1 + m2)⋅g), сила упругости (Fy2) и архимедова сила (FA) (рис. 2). Из проекции второго закона Ньютона получаем:
P2 = Fy2 = (m1 + m2)⋅g – FA,
где FA = ρ3⋅g⋅V, V = V1 + V2 — объем всей короны. Тогда
P2 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅V2)⋅g – ρ3⋅g⋅(V1 + V2). (2)
Решим систему уравнений (1)-(2), найдем V1 и m1. Например,
[ P_{2} =P_{1} -rho _{3} cdot gcdot left(V_{1} +V_{2} right), ; ; ; V=V_{1} +V_{2} =frac{P_{1} -P_{2} }{rho _{3} cdot g}, ]
V2 = V – V1, P1 = (ρ1⋅V1 + ρ2⋅(V – V1))⋅g,
(ρ1 – ρ2)⋅V1⋅g = P1 – ρ2⋅V⋅g,
[ V_{1} =frac{P_{1} -rho _{2} cdot Vcdot g}{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot g} =frac{rho _{3} cdot P_{1} -rho _{2} cdot left(P_{1} -P_{2} right)}{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot rho _{3} cdot g}, ; ; ; m_{1} =rho _{1} cdot V_{1} =rho _{1} cdot frac{rho _{3} cdot P_{1} -rho _{2} cdot left(P_{1} -P_{2} right)}{left(rho _{1} -rho _{2} right)cdot rho _{3} cdot g} , ]
m1 = 0,965 кг.
Записан
369. В цилиндрическом сосуде с не смешивающейся с водой жидкостью, плотность которой ρ = 1,2 г/см3, при температуре t = 0 °С плавает льдинка массой m = 1 кг. На сколько изменится уровень этой жидкости в сосуде, когда льдинка растает? Площадь основания сосуда S = 0,1 м2.
Решение. После того как льдинка растаяла, объем жидкости в сосуде увеличился на объем воды V, полученной из льдинки. Но плотность воды меньше плотности жидкости, поэтому вся вода окажется сверху, и уровень жидкости опустится до первоначальной высоты h.
1 способ. Объем вытесненной жидкости
[V_{vt} =V_{1} +V_{2} =frac{mcdot g}{rho cdot g} =frac{m}{rho } =S_{1} cdot left(h_{1} +h_{2} right).]
Объем жидкости, которая поднялась — это
[V_{1} =left(S-S_{1} right)cdot h_{2} =S_{1} cdot h_{1} .]
Из второго уравнения получаем
[S_{1} cdot left(h_{1} +h_{2} right)=Scdot h_{2} .]
И тогда
[S_{1} cdot left(h_{1} +h_{2} right)=Scdot h_{2} =frac{m}{rho } ,; ; h_{2} =frac{m}{Scdot rho } .]
2 способ. Изменение давления на дно сосуда равно
[Delta p=frac{mcdot g}{S} =rho cdot gcdot Delta h,; ; Delta h=h_{2} =frac{m}{rho cdot S} .]
Ответ. Уровень жидкости опустится на h2 = 8,3⋅10–3 м.
« Последнее редактирование: 21 Августа 2019, 17:27 от alsak »
Записан
370. Теплоход, войдя в гавань, выгрузил часть груза; при этом его осадка уменьшилась на h = 0,6 м. Найти массу груза, оставленного теплоходом в гавани, если площадь поперечного сечения теплохода на уровне ватерлинии S = 5400 м2. Плотность воды ρ = 1⋅103 кг/м3.
Решение. На теплоход с грузом действуют сила тяжести теплохода (m1⋅g), архимедова сила (FA1) и вес груза (m2⋅g) (рис. 1, а). Тело неподвижно, поэтому уравнение второго закона Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:
FA1 – m1⋅g – m2⋅g = 0,
где FA1 = ρ⋅g⋅V1, V1 = S⋅h1, h1 — глубина погружения теплохода с грузом. Тогда
ρ⋅g⋅S⋅h1 – m1⋅g – m2⋅g = 0. (1)
На теплоход без груза действуют сила тяжести теплохода (m1⋅g), архимедова сила (FA2) (рис. 1, б). В проекции на вертикальную ось получаем:
FA2 – m1⋅g = 0,
где FA2 = ρ⋅g⋅V2, V2 = S⋅h2, h2 — глубина погружения теплохода без груза, h2 = h1 – h. Тогда
ρ⋅g⋅S⋅(h1 – h) – m1⋅g = 0. (2)
Решим систему уравнений (1)-(2). Например,
ρ⋅g⋅S⋅h1 – m1⋅g = m2⋅g, ρ⋅g⋅S⋅h1 – m1⋅g – ρ⋅g⋅S⋅h = 0,
m2⋅g = ρ⋅g⋅S⋅h, m2 = ρ⋅S⋅h,
m2 = 3,2⋅106 кг.
Записан
Источник
4.2. Элементы гидростатики
4.2.5. Сообщающиеся сосуды
Сообщающимися называются сосуды, соединенные между собой каналом, заполненным жидкостью.
Для сообщающихся сосудов справедлив закон сообщающихся сосудов: высоты взаимно уравновешенных столбов разнородных жидкостей обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:
h1h2=ρ2ρ1,
где h1 — высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 — высота столба жидкости плотностью ρ2.
Указанный закон справедлив в отсутствие сил поверхностного натяжения.
Если сообщающиеся сосуды заполнены однородной жидкостью
ρ1 = ρ2,
то свободные поверхности жидкости устанавливаются на одном уровне, независимо от формы сосудов (рис. 4.14):
h1 = h2,
где h1 — высота столба жидкости в левом колене; h2 — высота столба жидкости в правом колене сообщающихся сосудов.
Рис. 4.14
Если сообщающиеся сосуды заполнены разнородными жидкостями
ρ1 ≠ ρ2,
то свободные поверхности жидкостей, независимо от формы сосуда (рис. 4.15), устанавливаются так, что выполняется отношение
h1h2=ρ2ρ1,
где h1 — высота столба жидкости плотностью ρ1; h2 — высота столба жидкости плотностью ρ2.
Рис. 4.15
Если сообщающиеся сосуды заполнены несколькими жидкостями (например, как показано на рис. 4.16), то гидростатическое давление на одном уровне (отмеченном пунктиром) в левом колене определяется формулой
p1 = ρ1gh1,
в правом колене —
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3.
Рис. 4.16
Равенство давлений на указанном уровне
p1 = p2
позволяет записать тождество:
ρ1h1 = ρ2h2 + ρ3h3.
Пример 28. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра второго, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения узкого сосуда равна 10 см2. Система заполнена некоторым количеством жидкости плотностью 1,6 г/см3. Найти, на сколько миллиметров повысится уровень жидкости в каждом из сосудов, если в систему добавить 0,12 кг той же жидкости.
Решение. В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне.
Добавление в систему некоторого количества жидкости массой m приводит к ее распределению по двум сосудам в соответствии с площадью их поперечного сечения:
- в первом сосуде оказывается масса жидкости
m1 = ρV1 = ρ∆h1S1,
где ρ — плотность жидкости; V1 = S1∆h1 — объем жидкости в первом сосуде; S1 — площадь поперечного сечения первого сосуда; ∆h1 — повышение уровня жидкости в первом сосуде;
- во втором сосуде оказывается масса жидкости
m2 = ρV2 = ρ∆h2S2,
где V2 = S2∆h2 — объем жидкости во втором сосуде; S2 — площадь поперечного сечения второго сосуда; ∆h2 — повышение уровня жидкости во втором сосуде.
Повышение уровней жидкости в обоих сосудах одинаково:
∆h1 = ∆h2 = ∆h,
поэтому масса жидкости, добавленной в систему, определяется формулой
m = m1 + m2 = ρ∆h(S1 + S2).
Выразим отсюда искомое значение ∆h:
Δh=mρ(S1+S2).
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для первого (широкого) сосуда
S1=πd124,
- для второго (узкого) сосуда
S2=πd224,
где d1 = 2d2 — диаметр первого (широкого) сосуда; d2 — диаметр второго (узкого) сосуда.
Отношение площадей
S1S2=πd1244πd22=d12d22=(d1d2)2=(2d2d2)2=4
позволяет найти площадь широкого сосуда:
S1 = 4S2.
Подставив S1 в формулу для ∆h
Δh=mρ(4S2+S2)=m5ρS2,
рассчитаем значение высоты, на которую повысится уровень жидкости в сосудах:
Δh=0,125⋅1,6⋅103⋅10⋅10−4=15⋅10−3 м=15 мм.
Пример 29. Два высоких сосуда, диаметр одного из которых в два раза больше диаметра другого, в нижней части соединены тонким шлангом. Площадь сечения широкого сосуда составляет 10 см2. Система заполнена жидкостью плотностью 6,0 г/см3. В узкий сосуд добавляют 0,12 кг жидкости плотностью 2,0 г/см3, а затем — 0,12 кг жидкости плотностью 4,0 г/см3. Найти разность уровней жидкостей в сосудах.
Решение. В сообщающихся сосудах неоднородная жидкость устанавливается на разных уровнях таким образом, что гидростатическое давление на выбранном уровне оказывается одинаковым:
p1 = p2,
где p1 — давление в широком сосуде; p2 — давление в узком сосуде.
На рисунке пунктирной линией обозначен уровень, на котором будем рассчитывать гидростатическое давление в широком и узком сосудах.
Гидростатическое давление на выбранном уровне:
- в широком сосуде
p1 = ρ1gh1,
где ρ1 — плотность жидкости, заполняющей систему изначально; g — модуль ускорения свободного падения; h1 — высота столба жидкости в широком сосуде;
- в узком сосуде
p2 = ρ2gh2 + ρ3gh3,
где ρ2 — плотность первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; h2 — высота столба первой жидкости; ρ3 — плотность второй жидкости, добавленной в узкий сосуд; h3 — высота столба второй жидкости.
Равенство давлений на указанном уровне
ρ1gh1 = ρ2gh2 + ρ3gh3
позволяет определить высоту столба жидкости в широком сосуде:
h1=1ρ1(ρ2h2+ρ3h3),
где высоты жидкостей h2 и h3 определяются соответствующими массами и плотностями:
- для первой жидкости
h2=m2ρ2S2;
- для второй жидкости
h3=m3ρ3S2,
где S2 — площадь поперечного сечения узкого сосуда; m2 — масса первой жидкости, добавленной в узкий сосуд; m3 — масса второй жидкости, добавленной в узкий сосуд.
Подстановка h2 и h3 в формулу для h1 дает
h1=1ρ1(ρ2m2ρ2S2+ρ3m3ρ3S2)=m2+m3ρ1S2.
Площади поперечного сечения сосудов связаны с их диаметрами формулой:
- для широкого сосуда
S1=πd124,
- для узкого сосуда
S2=πd224,
где d1 = 2d2 — диаметр широкого сосуда; d2 — диаметр узкого сосуда.
Отношение площадей
S1S2=πd1244πd22=d12d22=(d1d2)2=(2d2d2)2=4
позволяет найти площадь узкого сосуда:
S2=S14.
Таким образом, высота столба жидкости в широком сосуде определяется выражением
h1=4(m2+m3)ρ1S1.
Высота столба жидкости над указанным уровнем в узком сосуде есть сумма:
h2+h3=m2ρ2S2+m3ρ3S2=4S1(m2ρ2+m3ρ3).
Искомая разность верхних уровней жидкостей в узком (h2 + h3) и широком h1 сосудах рассчитывается по формуле
Δh=(h2+h3)−h1=4S1(m2ρ2+m3ρ3)−4(m2+m3)ρ1S1=
=4S1(m2ρ2+m3ρ3−(m2+m3)ρ1).
Произведем вычисление:
Δh=410⋅10−4(0,122,0⋅103+0,124,0⋅103−0,12+0,126,0⋅103)=0,20 м=20 см.
Источник
Сообщающиеся сосуды – это сосуды, соединенные между собой ниже уровня жидкости в каждом из сосудов. Таким образом жидкость может перемещаться из одного сосуда в другой.
Перед тем как понять принцип действия сообщающихся сосудов и варианты их использования необходимо определиться в понятиях, а точнее разобраться с основным уравнением гидростатики.
Итак, сообщающиеся сосуды имеют одно общее дно и закон о сообщающихся сосудах гласит:
Какую бы форму не имели такие сосуды, на поверхности однородных жидкостей в состоянии покоя на одном уровне действует одинаковое давление.
Для иллюстрации этого закона и возможностей его применения начнем с рассмотрения основного уравнения гидростатики.
Основное уравнение гидростатики
P = P1 + ρgh
где P1 – это среднее давление на верхний торец призмы,
P – давление на нижний торец,
g – ускорение свободного падения,
h – глубина погружения призмы под свободной поверхностью жидкости.
ρgh – сила тяжести (вес призмы).
Звучит уравнение так:
Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается в жидкости одинаково во всех направлениях.
Из написанного выше уравнения следует, что если давление, например в верхней точке изменится на какую-то величину ΔР, то на такую же величину изменится давление в любой другой точке жидкости
Доказательство закона сообщающихся сосудов
Возвращаемся к разговору про сообщающиеся сосуды.
Предположим, что имеются два сообщающихся сосуда А и В, заполненные различными жидкостями с плотностями ρ1 и ρ2. Будем считать, что в общем случае сосуды закрыты и давления на свободных поверхностях жидкости в них соответственно равны P1 и P2.
Пусть поверхностью раздела жидкостей будет поверхность ab в сосуде А и слой жидкости в этом сосуде равен h1. Определим в заданных условиях уровень воды в сообщающихся сосудах – начнем с сосуда В.
Гидростатическое давление в плоскости ab, в соответствии с уравнение гидростатики
P = P1 + ρgh1
если определять его, исходя из известного давления P1 на поверхность жидкости в сосуде А.
Это давление можно определить следующим образом
P = P2 + ρgh2
где h2 – искомая глубина нагружения поверхности ab под уровнем жидкости в сосуде В. Отсюда выводим условие для определения величины h2
P1 + ρ1gh1 = P2 + ρ2gh2
В частном случае, когда сосуды открыты (двление на свободной поверхности равно атмосферному), а следовательно P1 = P2 = Pатм , имеем
ρ1h1 = ρ2h2
или
ρ1 / ρ2 = h2 / h1
т.е. закон сообщающихся сосудов состоит в следующем.
В сообщающихся сосудах при одинаковом давлении на свободных поверхностях высоты жидкостей, отсчитываемые от поверхности раздела, обратно пропорциональны плотностям жидкостей.
Свойства сообщающихся сосудов
Если уровень в сосудах одинаковый, то жидкость одинаково давит на стенки обоих сосудов. А можно ли изменить уровень жидкости в одном из сосудов.
Можно. С помощью перегородки. Перегородка, установленная между сосудами перекроет сообщение. Далее доливая жидкость в один из сосудов мы создаем так называемый подпор – давление столба жидкости.
Если затем убрать перегородку, то жидкость начнет перетекать в тот сосуд где её уровень ниже до тех пор пока высота жидкости в обоих сосудах не станет одинаковой.
В быту этот принцип используется например в водонапорной башне. Наполняя водой высокую башню в ней создают подпор. Затем открывают вентили, расположенные на нижнем этаже и вода устремляется по трубопроводам в каждый подключенный к водоснабжению дом.
Приборы основанные на законе сообщающихся сосудов
На принципе сообщающихся сосудов основано устройство очень простого прибора для определения плотности жидкости. Этот прибор представляет собой два сообщающихся сосуда – две вертикальные стеклянные трубки А и В, соединенные между собой изогнутым коленом С. Одна из вертикальных трубок заполняется исследуемой жидкостью, а другая жидкостью известной плотности ρ1 (например водой), причем в таких количествах, чтобы уровни жидкости в среднем колене находились на одной и той же отметке прибора 0.
Затем измеряют высоты стояния жидкостей в трубках над этой отметкой h1 и h2. И имея ввиду, что эти высоты обратно пропорциональны плотностям легко находят плотность исследуемой жидкости.
В случае, когда оба сосуде заполнены одной и той же жидкостью – высоты, на которые поднимется жидкость в сообщающихся сосудах, будут одинаковы. На этом принципе основано устройство так называемого водометного стекла А. Его применяют для определения уровня жидкости в закрытых сосудах, например резервуарах, паровых котлах и т.д.
Принцип сообщающихся сосудов заложен в основе ряда других приборов, предназначенных для измерения давления.
Применение сообщающихся сосудов
Простейшим прибором жидкостного типа является пьезометр, измеряющий давление в жидкости высотой столба той же жидкости.
Пьезометр представляет собой стеклянную трубку небольшого диаметра (обычно не более 5 мм), открытую с одного конца и вторым концом присоединяемую к сосуду, в котором измеряется давление.
Высота поднятия жидкости в пьезометрической трубке – так называемая пьезометрическая высота – характеризует избыточное давление в сосуде и может служить мерой для определения его величины.
Пьезометр – очень чувствительный и точный прибор, но он удобен только для измерения небольших давлений. При больших давлениях трубка пьезометра получается очень длинной, что усложняет измерения.
В этом случае используют жидкостные манометры, в которых давление уравновешивается не жидкостью, которой может быть вода в сообщающихся сосудах, а жидкостью большей плотности. Обычно такой жидкостью выступает ртуть.
Так как плотность ртути в 13,6 раз больше плотности воды и при измерении одних и тех же давлений трубка ртутного манометра оказывается значительно короче пьезометрической трубки и сам прибор получается компактнее.
В случае если необходимо измерить не давление в сосуде, а разность давлений в двух сосудах или, например, в двух точках жидкости в одном и том же сосуде применяют дифференциальные манометры.
Сообщающиеся сосуды находят применение в водяных и ртутных приборах жидкостного типа, но ограничиваются областью сравнительно небольших давлений – в основном они применяются в лабораториях, где ценятся благодаря своей простоте и высокой точности.
Когда необходимо измерить большое давление применяются приборы основанные на механических принципах. Наиболее распространенный из них – пружинный манометр. Под действием давления пружина манометра частично распрямляется и посредством зубчатого механизма приводит в движение стрелку, по отклонению которой на циферблате показана величина давления.
Видео по теме
Ещё одним устройством использующим принцип сообщающихся сосудов хорошо знакомым автолюбителем является гидравлический пресс(домкрат). Конструктивно он состоит из двух цилиндров: одного большого, другого маленького. При воздействии на поршень малого цилиндра на большой передается усилие во столько раз большего давления во сколько площадь большого поршня больше площади малого.
Вместе со статьей “Закон сообщающихся сосудов и его применение.” читают:
Источник