Два сосуда объемами 20 и 30 литров

(blacktriangleright) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): [text{концентрация вещества}=dfrac{text{масса вещества}}{text{масса раствора}}cdot 100%]

(blacktriangleright) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Пусть (x) литров раствора, содержащего (20%) кислоты использовал Сергей при смешивании, тогда

(4 – x) литров раствора, содержащего (40%) кислоты использовал Сергей при смешивании,

(dfrac{20}{100}x) – объём кислоты в растворе, содержащем (20%) кислоты, (dfrac{40}{100}(4 – x)) – объём кислоты в растворе, содержащем (40%) кислоты.

Так как в итоге кислоты оказалось (dfrac{32,5}{100} cdot 4 = 1,3) литра, то:

[dfrac{20}{100}x + dfrac{40}{100}(4 – x) = 1,3,] откуда находим (x = 1,5).

Ответ: 1,5

Пусть (x) грамм – масса второго газа, тогда

(x + 300) грамм – масса первого газа,

(dfrac{21}{100}(x + 300)) грамм – масса кислорода в первом газе,

(dfrac{5}{100}x) грамм – масса кислорода во втором газе,

тогда масса кислорода в третьем газе составляет (dfrac{14,6}{100}(2x + 300)) грамм.

Так как третий газ возник в результате смешивания первого и второго, то:

[dfrac{21}{100}(x + 300) + dfrac{5}{100}x = dfrac{14,6}{100}(2x + 300),] откуда находим (x = 600). Таким образом, масса третьего газа равна (600 + 600 + 300 = 1500) грамм.

Ответ: 1500

Пусть (x) литров молока жирностью (2,5%) было у Ивана, тогда

(5 – x) литров молока жирностью (6%) было у Ивана,

(dfrac{2,5}{100}x) – объём жира в молоке жирностью (2,5%), (dfrac{6}{100}(5 – x)) – объём жира в молоке жирностью (6%).

Так как в итоге жира оказалось (dfrac{4,6}{100} cdot 5 = 0,23) литра, то:

(dfrac{2,5}{100}x + dfrac{6}{100}(5 – x) = 0,23), откуда находим (x = 2).

Ответ: 2

Концентрация в процентах – это отношение объёма вещества к объёму смеси, умноженное на 100(%). До переливания в сосуде А было (3 cdot 0,17 = 0,51) литра вещества Х, в сосуде В было (7 cdot 0,19 = 1,33) литра вещества Х.

После переливания объём вещества Х в сосуде А стал (0,51 + 1,33 = 1,84) литра, а объём всего раствора (3 + 7 = 10) литров. Тогда концентрация в процентах составила [dfrac{1,84}{10} cdot 100% = 18,4%.]

Ответ: 18,4

Пусть объём (5)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (10)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,05x + 0,1y = 0,07(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = dfrac{3}{2} = 1,5,,] таким образом, ответ: (1,5).

Ответ: 1,5

Пусть объём (20)-процентного раствора кислоты равен (x) литров, а объём (14)-процентного раствора равен (y) литров, тогда требуется найти значение величины (dfrac{x}{y}) при условии [0,2x + 0,14y = 0,18(x + y)
qquadLeftrightarrowqquad
dfrac{x}{y} = 2,,] таким образом, ответ: (2).

Ответ: 2

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит (x) кг, а в нем (25%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{25}{100}cdot x) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{0}{100}cdot 20=dfrac{40}{100}cdot (x+y+20)]

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

[dfrac{25}{100}cdot x+dfrac{95}{100}cdot y+
dfrac{30}{100}cdot 20=dfrac{50}{100}cdot (x+y+20)]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:

[begin{cases}
25x+95y+0=40(x+y+20)\
25x+95y+30cdot 20=50(x+y+20)
end{cases}]

Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:

[begin{aligned} &begin{cases}
25x+95y=40(x+y+20)\
30cdot 20=10(x+y+20)
end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
5x+19y=8(x+y+20)\
y=40-x end{cases} quad Rightarrow \[2ex] Rightarrow quad
&begin{cases}
3x-11(40-x)+160=0\
y=40-x end{cases} quad Rightarrow quad begin{cases}
x=20\y=20end{cases} end{aligned}]

Таким образом, раствора с (25%) кислоты было (20) кг.

Ответ: 20

(blacktriangleright) Концентрация вещества в растворе (сплаве) – это процент содержания этого вещества в растворе (сплаве): [text{концентрация вещества}=dfrac{text{масса вещества}}{text{масса раствора}}cdot 100%]

(blacktriangleright) Заметим, что в задачах из данной подтемы зачастую удобно составлять уравнения относительно кислоты или активного вещества.

Первый способ:

В выжатой губке (100% – 20% = 80%) сухого вещества, тогда после выжимания масса сухого вещества губки стала составлять (0,8 cdot 100 = 80) грамм.

Но и до выжимания она была такой же, при этом до выжимания она составляла только (100 – 80 = 20%) массы мокрой губки, значит масса мокрой губки была (80 : 0,2 = 400) грамм.

Второй способ:

Пусть (x) кг – масса мокрой губки, тогда [dfrac{x}{100}cdot 20 text{г}] – масса сухого вещества. После выжимания масса сухого вещества стала составлять (100 – 20 = 80%) от массы выжатой губки (то есть 80 грамм), тогда [dfrac{x}{100}cdot 20 = 80,] откуда (x = 400) грамм.

Ответ: 400

Пусть (x) литров 10-процентного раствора спирта смешала Наташа,

пусть (y) литров 20-процентного раствора спирта смешала Наташа, тогда

(dfrac{10}{100}x + dfrac{20}{100}y) литров чистого спирта содержится в растворе Наташи.

По условию при добавлении 1 литра воды раствор станет 14-процентным, тогда:

(dfrac{10}{100}x + dfrac{20}{100}y = dfrac{14}{100}(x + y + 1)).

С другой стороны, если она добавит вместо литра воды литр 40-процентного раствора спирта, то получит 22-процентный раствор, тогда:

[dfrac{10}{100}x + dfrac{20}{100}y + dfrac{40}{100}cdot 1 = dfrac{22}{100}(x + y + 1).] Решая систему из двух уравнений, находим (x = 1, y = 3). Итого: 1 литр 10-процентного раствора спирта смешала Наташа.

Ответ: 1

Пусть первоначальный объём огурца составлял (V_0) литров, а конечный объём (V_1) литров. Так как объём сухого вещества не менялся, то [0,5V_0 = 0,8V_1,,] откуда находим [dfrac{V_0}{V_1} = 1,6,,] следовательно, объём огурца уменьшился в (1,6) раз.

Ответ: 1,6

Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит (x) кг, а в нем (30%) кислоты, то в килограммах в нем (dfrac{30}{100}cdot x) кислоты.

Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:

[dfrac{30}{100}cdot x+dfrac{90}{100}cdot y+
dfrac{0}{100}cdot 10=dfrac{42}{100}cdot (x+y+10)]

Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:

[dfrac{30}{100}cdot x+dfrac{90}{100}cdot y+
dfrac{50}{100}cdot 10=dfrac{52}{100}cdot (x+y+10)]

Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем (x). Для этого можно умножить оба уравнения на (100), чтобы сделать их проще на вид:

[begin{cases}
30x+90y+0=42(x+y+10)\
30x+90y+50cdot 10=52(x+y+10)
end{cases}]

Данная система равносильна системе

[begin{cases}
4y-x=35\
19y-11x=10
end{cases} quad Rightarrow quad
begin{cases}
x=25\y=15
end{cases}]

Таким образом, раствора с (30%) кислоты было (25) кг.

Ответ: 25

Пусть у Азата было (x) литров (10)-процентного раствора, (y) литров (20)-процентного раствора и (z) литров (30)-процентного раствора, тогда [0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,2(x + y + z)qquadLeftrightarrowqquad 0,1z = 0,1x qquadLeftrightarrowqquad x = z,,] то есть (10)-процентного раствора было столько же, сколько и (30)-процентного, следовательно, ответ: (0).

Ответ: 0

Пусть изначально было (x) литров (10)-процентного раствора, (y) литров (20)-процентного раствора и (z) литров (30)-процентного раствора, тогда искомая величина есть (2x + y). При этом [begin{cases}
0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,18(x + y + z)\
x + y + z = 3
end{cases}
quadLeftrightarrowquad
begin{cases}
0,1x + 0,2y + 0,3(3 – x – y) = 0,54\
z = 3 – x – y
end{cases}] из первого уравнения последней системы находим: [2x + y = 3,6,.] Таким образом, ответ: (3,6).

Ответ: 3,6

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с краской вода: это вода, которая была перелита в первый раз, но не ушла при втором переливании. При втором переливании именно её место в ковше заняла краска.

Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с водой краска: это краска, которая была перелита во второй раз, то есть это та самая краска, которая заняла место навсегда оставшейся в ведре с краской воды, следовательно, объём краски в ведре с водой равен объёму воды в ведре с краской. Так как объёмы содержимого вёдер одинаковы, то и соответствующие концентрации одинаковы, тогда ответ: (0).

Ответ: 0