Два сосуда объемами заполнены идеальным газом

Задача 1

На фотографии показана роторная карусель, представляющая собой цилиндрический барабан, вращающийся вокруг вертикальной оси с частотой  ν = 33 оборота в минуту.  Люди, которые первоначально стоят прислонившись спинами к внутренней вертикальной стенке барабана, движутся с центростремительным ускорением  3g (g = 10 м/с2). В результате этого они «прилипают» к стенке барабана. Для пущего эффекта в некоторый момент пол автоматически опускается. Считая людей достаточно худыми, оцените радиус барабана этой карусели, а также минимальный коэффициент трения между людьми и стенкой барабана карусели, достаточный для того, чтобы люди не скользили вниз.

Возможное решение

Будем считать, что люди являются достаточно худыми, и для того  чтобы сделать нужные оценки, пренебрежём их толщиной. Тогда из формулы для центростремительного ускорения, полагая его модуль равным 3g, получаем:

3g = ω2 ∙R = 4∙π2∙ν2∙R, где ω = 2∙π∙ν.

Отсюда

R = 3∙g/4∙π2∙ν2 ≅ 2,5 м.

Для ответа на второй вопрос запишем второй закон Ньютона для движения человека по окружности в проекции  на вертикальную ось и на радиальное направление (m – масса человека,  N – сила реакции стенки барабана,  Fтр. – модуль силы трения): m∙g = Fтр., 3∙m∙g = N.

Учтём, что если коэффициент трения минимален, то Fтр. =  µ∙N. Тогда из записанных уравнений находим: µ = 1/3.

Критерии оценивания

Задача 2

В вертикальном цилиндрическом сосуде, частично заполненном тетрахлорметаном, имеющим плотность 1600 кг/м3 и не  смешивающимся с водой, плавает кусок льда массой 1 кг. Как и на сколько изменится высота уровня тетрахлорметана после того, как весь лёд растает? Площадь дна сосуда 200 см2.

Возможное решение

Пусть h1– начальная высота уровня тетрахлорметана. Тогда давление на дно сосуда равно

ρT∙g∙h1,

где ρT  –  плотность тетрахлорметана.

После таяния льда давление на дно сосуда равно:

ρT ∙g∙h2 + ρ∙g∙H = ρT∙g∙h2 + m∙g/S,

где  h2  – конечная высота столба тетрахлорметана,  ρ – плотность воды,  H – высота столба воды. Масса содержимого сосуда не изменилась, следовательно, давление на дно в начальном и конечном состоянии равно, то есть:

Таким образом, высота уровня тетрахлорметана понизится на ∆h = 3,125 см.

 Критерии оценивания

Задача 3

На графиках приведены зависимости от времени  t давления  p и объёма  V одного моля одноатомного идеального газа. Определите, как со временем изменялась теплоёмкость данного количества газа. Постройте график зависимости этой теплоёмкости от времени.

Возможное решение

В течение первых 15 минут зависимость давления газа от его объёма имеет вид

Пусть в некоторый произвольный момент времени (в интервале от 0 мин. до 15 мин.) давление газа равно  p1, а занимаемый им объём равен V1. Запишем для процесса перехода из состояния (p0, V0) в состояние (p1, V1) первое начало термодинамики:

Здесь C – теплоёмкость одного моля газа в рассматриваемом процессе, ∆T  – изменение температуры газа, ∆A – работа, которую совершает газ. Она численно равна площади фигуры под графиком зависимости  p(V), и эта фигура – трапеция.

Перепишем последнее выражение, воспользовавшись уравнением состояния p∙V = R∙T для одного моля идеального газа:

или

Учтем, что 

Тогда

откуда следует

то есть C = 2∙R.

Заметим, что давление p1 и объём V1, взятые в произвольный момент времени, при проведении выкладок сокращаются. Это справедливо, в том числе и для двух произвольных состояний газа, разделённых очень малым промежутком времени. Это доказывает, что теплоёмкость в рассматриваемом процессе является постоянной величиной, то есть она будет равна 2∙R в любой момент в течение первых 15 минут.

По истечении первых пятнадцати минут процесс становится изобарическим.

Следовательно, при этом C = 5/2∙R.

Соответствующий график зависимости теплоёмкости одного моля одноатомного идеального газа от времени изображён на рисунке.

Критерии оценивания

Задача 4

В точку А поместили первый точечный заряд, и он создал в точке В потенциал 2 В. Затем первый заряд убрали, и в точку В поместили второй точечный заряд. Он создал в точке  А потенциал 9 В. Далее первый заряд вернули обратно в точку А. С какой силой взаимодействуют эти заряды?

Возможное решение

Пусть модули зарядов, которые помещали в точки  A и  B, равны  q1 и  q2 соответственно, а расстояние между ними равно  R. Записывая формулы для потенциалов, создаваемых точечными зарядами в точках B и A, получим:

Согласно закону Кулона, искомая сила взаимодействия зарядов равна:

С учётом записанных выражений для потенциалов получим:

Ответ: F = 2 нН

Критерии оценивания

Задача 5

Определите показание идеального амперметра в цепи, схема которой приведена на рисунке (Рис. 5.1).

Зависимость силы тока I, протекающего через диод Д, от напряжения U на нём описывается выражением: I = α∙U2, где  α = 0,02 А/В2. ЭДС источника  E = 50 В. Внутреннее сопротивление источника напряжения и резистора равны r = 1 Ом и R = 19 Ом, соответственно.

Возможное решение

Запишем закон Ома для участка цепи, включающего в себя резистор, источник напряжения и амперметр:

I(R + r) = E – U,

где I – сила тока, текущего через диод (и через амперметр), U – напряжение на диоде.

Используя вольт-амперную характеристику диода, получаем:

Решая квадратное уравнение, находим:

Второй корень квадратного уравнения, соответствующий знаку «+»  перед квадратным корнем (3,125 А), не является корнем исходного уравнения. Это можно установить либо при помощи непосредственной подстановки в указанное исходное уравнение, либо заметив, что сила тока, протекающего через амперметр в данной цепи, не может превышать

Imax = E/(R+r) = 2,5 А.

Решение задачи выглядит несколько проще, если сразу подставлять в получаемые уравнения числа. Например, перепишем закон Ома в виде:

α∙U2(R +r) = E – U

Корень этого уравнения соответствует пересечению параболы

y1(U) = α∙U2(R + r) = 0,4∙U2

и графика линейной функции

y2(U) = E – U = 50 – U.

Пересечение происходит в точке с абсциссой U0 = 10 В (это можно установить либо аналитически, решив соответствующее квадратное уравнение,  либо графически). При таком напряжении на диоде сила текущего через  него тока равна:

Ответ: I0 = 2A

Критерии оценивания

Общие рекомендации по оцениванию работы