Два сосуда заполнены одним газом и сообщаются

Решение

Поскольку режим работы установки является установившимся, то за любой промежуток времени Δt выделяемая энергия ΔW равна теплоте, которую получила вода ΔQ. В стационарном режиме масса вошедшей в установку воды равна массы вошедшей и вышедшей воды равны. При этом температура вышедшей воды выше первоначальной на ΔТ. Поскольку сечение трубки S одинаково на входе и выходе установки, то масса нагретой за время Δt воды равна

Δm = ρSvΔt,

а количество поглощенной теплоты

ΔQ = ΔmCp ΔТ.

Уравнение теплового баланса запишется в этом случае в виде

PΔt = ΔmCp ΔТ = ρSvΔt Cp ΔТ.

Отсюда для скорости воды получим ( при ρ = 1 г/см3, Ср = 4.2 Дж/(г.К))

v = P/(ρSCpΔТ) ≈ 4.76 м/с.

3. Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и сообщаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов V1/V2 = 2 . Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т1 = 300К. В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная температура Т = 350К. Теплообменом газов со стенками сосудов и трубки пренебречь.

Ответ: Т2 = 525К.

Решение.

Так как сосуды сообщаются, давление в них одинаково. По уравнению состояния

PV1 = (m1/μ)RT1 , PV2 = (m2/μ)RT2 ,

отсюда

m1/m2 = (V1/V2) (T2/T1).

Приравнивая количество теплоты, которым обменялись газы, получаем

cm1(T – T1) = cm2(T2 – T),

откуда

Т2 = T + (m1/m2)(T – T1) = T +(V1/V2)(T2/T1) (T – T1).

Окончательно находим

T2 = T/[1 – (V1/V2)(T – T1)/T1] = 525 K.

4. В калориметр, содержащий m1 = 2кг льда при температуре t1 = -5оС, добавили m2 = 200г воды при температуре t2 = +5оС. Сколько льда будет в калориметре после установления равновесия? (МФТИ,1991г)

Ответ: mл = 2.05кг.

Решение.

Лед нагревается, а вода охлаждается и частично или вся замерзает. Если замерзла только часть воды, конечная температура равна t = 0 oC и уравнение теплового баланса запишется так:

m1(to – t1)СЛ = m2(t2 – tо)СВ+ Δmλ,

где СЛ ,СВ – удельные теплоемкости льда и воды, λ – удельная теплота плавления льда. Отсюда

Δm = [m1(to – t1)СЛ – m2(t2 – tо)СВ]/ λ = 0.05 кг.

Итак, льда будет 2.05 кг

5. Моль идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из двух изобар и двух изохор. Работа газа за цикл А = 200Дж. Максимальная и минимальная температуры газа в цикле отличаются на ΔТ = 60К, отношение давлений на изобарах равно 2. Найти отношение объемов газов на изохорах.

Ответ: V1/V2 = (ΔТ – 2A/νR)/ (ΔТ – A/νR) ~ 1/3.

Решение.

Начнем с определения состояний газа, в которых его температура максимальна и минимальна. Пусть температура газа в состоянии, соответствующем точке 4 на графике процесса равна Т4. На изохоре 41 температура газа повышается до температуры Т1. На изобаре 12 она продолжает повышаться и достигает величины Т2. На участке 234 температура газа будет постоянно уменьшаться. Следовательно, температура газа имеет максимальную величину в точке 2, а минимальную величину – в точке 4. Тогда можно записать

Т2 – Т4 = ΔТ.

Введем обозначения: Vmax, Vmin – максимальный и минимальный объемы, занимаемые газом в круговом процессе, Рmax , Pmin – максимальное и минимальное давления газа в этом процессе. Тогда для работы, совершенной газом, имеем

A = (Рmax – Pmin) (Vmax- Vmin) = PminVmin(α – 1)(x – 1) = νRT4(α – 1)(x – 1),

где х = Vmax/Vmin = V1/V2 , α = Pmax/Pmin = P1/P4.

Т2 – Т4 = ΔТ → (Т2 /Т4 – 1)T4 = ΔТ,

но

Т2 /Т4 = (T2/T1)(T1/T4) = (Vmax/Vmin)(Pmax/Pmin)= x α → T4 = ΔТ/(x α – 1).

Отсюда

A = νR(α – 1)(x – 1)ΔТ/(x α – 1).

Выражая из этого равенства x, получим

1/x = V1/V2 = [ΔТ(α – 1) -2A/νR]/ [ΔТ(α – 1)- A/νR] =

= (ΔТ – 2A/νR)/ (ΔТ – A/νR) ~ 1/3.

6. Найти молярную теплоемкость идеального одноатомного газа, температура которого меняется по закону Т = αV2, где α – постоянная величина.

Ответ: С = 2R .

Решение.

Теплоемкость газа по определению равна:

С = ΔQ/ΔT ,

где ΔQ – количество теплоты, подведенное к газу. По первому закону термодинамики имеем:

ΔQ = СμV ΔТ + ΔA,

где СμV = 3/2R – молярная теплоемкость идеального одноатомного газа. Подставляя закон изменения температуры в рассматриваемом процессе (Т = αV2) в уравнение состояния идеального газа, получаем соотношение

P = βV ,

где β = α(m/μ)R. Давление газа в этом процессе прямо пропорционально объему, поэтому для работы газа имеем

ΔA = ½ β(V22 – V12),

где V1 и V2 – объемы газа соответственно при температурах Т1 и Т2. Можно показать, что в данном процессе

V2 = (R/β)T.

Тогда

ΔA = ½ R(T2 – T1) = ½ R ΔT.

Подставляя это выражение в равенство для теплоемкости, получим

С = (СμV ΔТ + ½ R ΔT)/ ΔT = СμV + ½ R = 2R.

7. Тепловая машина работает по циклу (см. рис.), состоящему из изобары, изохоры и политропы, на которой давление газа и объем связаны соотношением P = αV, где α – постоянная величина. Найти коэффициент полезного действия тепловой машины, если в ней в качестве рабочего тела используется идеальный газ с молярной теплоемкостью при постоянном объеме Сμv = 3/2R. Отношение максимальной температуры в цикле к минимальной равно 4.

Ответ: η = [1 – (T1 / T2)1/2]/4[1 + (T1 / T2)1/2] = 1/12.

Решение.

Газ получает количество теплоты Q от нагревателя в процессе политропного расширения. Теплоемкость газа в таком процессе постоянна и равна (см. предыдущую задачу)

C = (m/μ)2R,

где m – масса газа. Количество теплоты, получаемое газом равно

Q = C(T2 – T1) = (m/μ)2R(T2 – T1).

Работа газа А за цикл равна площади треугольника 1,2,3:

A = ½ (P2 – P1)(V2 – V1) = ½ α(V2 – V1)2.

Здесь P1 и P2 – начальное и конечное давления, V1 и V2 – начальный и конечный объемы в политропном процессе. Учитывая, что

V2 = (mRT2/α μ)1/2 и V1 = (mRT1/α μ)1/2 ,

где Т2 и Т1 – максимальная и минимальная температуры, перепишем выражение для работы

A = ½ (m/μ)R[√T2 – √T1]2.

Тогда для КПД тепловой машины получим

η = A/Q = [√T2 – √T1]2/[4(T2 – T1)] =

= [1 – (T1/T2)1/2]/ [4 + 4(T1/T2)1/2] = 1/12.

8. КПД цикла 1-2-4-1 (см. рис.) равен η1 , а цикла 2-3-4-2 равен η2. Найти КПД цикла 1-2-3-4-1 . Участки 4-1 и 2-3 – изохоры, участок 3-4- изобара, участки 1-2 и 2-4 представляют собой линейные зависимости давления от объема. Все циклы обходятся по часовой стрелке. Рабочее вещество – идеальный газ. (МФТИ, до91г)

Ответ: η = η1 + η2 – η1η2 .

Решение. В цикле I Q12 > 0, Q2441 > 0. Поэтому КПД

η1 = (Q12 + Q24 + Q41)/(Q12 + Q41) = 1 + Q24 /(Q12 + Q41).

Отсюда

Q12 + Q41 = Q24/ ( η1 – 1).

Здесь использовано то, что

A = Q12 + Q24 + Q41 , т.к. Δu = 0.

В цикле II Q42 = – Q24 > 0 , а Q23 34 η2 = (Q42 + Q23 + Q34)/Q42 = 1 – (Q23 + Q34)/Q24,

отсюда

Q23 + Q34 = (η2 – 1)Q24.

В полном цикле Q12 > 0, Q2334 41 > 0, поэтому

η = (Q12 + Q23 + Q34 + Q41)/(Q12 + Q41) =

= 1 + (Q23 +Q34)/(Q12 + Q41) =

(η2 – 1)Q24/ ( η1 – 1)/ Q24 = η1 + η2 – η1 η2

9. В герметичном теплоизолированном сосуде находится ν =2моля идеального одноатомного газа при температуре Т =300К и нормальном атмосферном давлении. Найти давление газа после включения на время t =3мин небольшого электронагревателя мощностью N = 16.6Вт, помещенного в сосуд (МФТИ, до91г.)

Ответ: P = Po(1 + Nt/3RT) = 1.4 105Па .

Решение.

От нагревателя газ получает количество тепла

Q = Nt.

Поскольку работа газа равна нулю, то

Q = ΔU = ν cV ΔT =3/2R ν ΔT,

отсюда

ΔT = 2/3Nt / R ν.

Температура газа

Т2 = Т + ΔT,

а давление по закону Шарля,

P2 = Po(T2/T) = Po(1 + ΔT/T) = Po[1 + 2Nt /(3ν RT)] =

= 105[1 + (16.6.180)/(3. 8.3.300)] = 140кПа.

10. Один моль гелия, имевшего температуру T1 , нагревают так, что его давление увеличивается пропорционально среднеквадратичной скорости с теплового движения его атомов. Сколько теплоты необходимо передать гелию, чтобы увеличить скорость с в n = 2 раза? (МГУ, физ. фак. , 2000)

Ответ: Q = 2 R T1 ( n2 -1 ) =6 R T1

Решение.

Согласно первому закону термодинамики количество теплоты, определяется как

Q = Δ U + A ,

где Δ U = 3/2 R ΔT – изменение внутренней энергии газа, А – совершенная газом работа,

ΔT – изменение температуры газа , R – универсальная газовая постоянная.

Среднеквадратическая скорость молекул равна

с= (3 R T / μ)1/2

Отсюда

Т2 / Т1 = (с2 /с1)2 = n2 .

Здесь индексы ‘ 1 ‘ , ‘2 ‘ относятся к исходному и конечному состояниям газа. Поскольку по условию задачи Р ~ с , а, следовательно, Р ~ Т1/2 , то , записав уравнение Менделеева-Клапейрона в виде

Р = (R Т1/2 / V) Т1/2 ,

получим, что Т1/2 / V = const , где V – обьем газа. Следовательно

P ~ V, и V2 / V1 = ( Т2 / Т1)1/2 = n, P2 / P1 = V2 / V1 = n.

Поскольку давление пропорционально обьему, то для работы газа можно записать

А = ½ (P2+ P1) (V2 – V1) = ½ P1 V1 (n + 1) (n – 1) =½ R Т1 (n2 – 1) .

Изменение внутренней энергии запишется как

Δ U = 3/2 R ΔT = 3/2 R T1 ( n2 – 1)

Тогда необходимое количество теплоты будет равно

Q = Δ U + A = 2 R T ( n2 – 1) = 6 R T.

11. Зависимость от температуры молярной теплоемкости Сμ идеального одноатомного газа в цикле тепловой машины, который состоит из трех последовательных процессов 1-2, 2-3, 3-1, изображена на рисунке. Здесь R -универсальная газовая постоянная. Найти отношение давлений газа при максимальной T2 и минимальной T1 абсолютных температурах, в этом цикле, если КПД машины равен

η = 1/11, количество газа в цикле неизменно и отношение

T2 /T1 = n = 2 (МГУ, физ. фак., 2001)

_Ответ: P2 /P1 = 6n / {2(2+n) – 11η (n-1)}.

Решение.

Заметим, что процесс 3→1 является изобарическим, поскольку теплоемкость этого процесса совпадает с молярной теплоемкостью изобарического процесса 5/2R. Аналогично, можно утверждать, что процесс 2→ 3 является изохорическим процессом. На рисунке данный цикл изображен в координатах Р-V. За цикл газ получает количество теплоты равное

Qн = 11 ν R (T2 – T1 ) / 6,

а отдает

Qx = ν R{3 (T2 – T3 ) +5 (T3 – T1)} /2 = R{3 T2 +2T3 – 5T1} /2,

где ν- число молей газа.

Поскольку по определению КПД цикла равно

η = (Qн – Qx ) / Qн = {4 + 2n – 6(T3 / T1 )}/ 11(n-1),

отсюда

T3 / T1 = {4 + 2n – 11(n-1)η}/ 6.

Поскольку

P1 = P3 , V2 = V3 и P2 /T2 = P3 / T3 ,

то

P2 / P1 = P2 / P3= T2 / T3 = (T2 / T1) (T1 / T3) = 6n / {2(2+n) – 11η (n-1)}.

12. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем массы М, находится газ. Газ нагревают. Поршень, двигаясь равноускоренно, приобретает скорость v. Найти количество теплоты, сообщенной газу. Внутренняя энергия моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня, а также внешним давлением пренебречь. (Меледин, 2.64)

_Ответ: Q = ½ Mv2[1 + (c/R)].

Решение.

По закону сохранения энергии

Q = mcΔT/μ + ½ Mv2,

где ½ Mv2 = PSL. Здесь учтено, что при постоянном ускорении поршня давление Р также постоянно. Уравнение газового состояния для постоянного давления дает

РΔV = mRΔT/μ.

Таким образом,

Q = mcΔT/μ + РΔV = mcΔT/μ + mRΔT/μ = m(с +R)ΔT/μ.

Отсюда

ΔT = Qμ/m (с +R)],

Q = Qc/(c + R) + ½ Mv2.

Окончательно

Q = ½ Mv2[1 + (c/R)].

13.В термосе находится вода при температуре 0 оС. Масса воды m = 100 г. Выкачивая из термоса воздух, воду замораживают посредством ее испарения. Какова масса льда образовавшегося в термосе? Удельная теплота плавления льда λ = 3.3.105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды r = 24.8.105 Дж/кг.

Ответ: mл = 88 г.

Решение

При образовании льда выделяется тепло, которое будет тратиться на испарение воды. Уравнение теплового баланса имеет вид:

mлλ = (m – mл)r.

Отсюда

mлλ = mr/(r + λ) = 88 г.

14. Один моль идеального газа изменяет свое состояние по циклу, изображенному на рисунке: (4 → 1) и (2→3) – изохоры, (3→4) – изобара, (1→2) – процесс с линейной зависимостью давления от объема. Температуры в состояниях 1, 2, 3, 4 равны соответственно Т1, Т2, Т3, Т4. какую работу совершает газ за один цикл.

Решение

Работа, совершенная газом за цикл, равна площади трапеции 1234.

A = ½ [(P1 – P4) + (P2 – P3)](V3 – V4) = ½ P3V3(P1/P3 + P2/P3 -2)(1 – V4/V3).

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

P3V3 = RT3.

Поскольку процессы (4 → 1) и (2→3) – изохоры, а (3→4) – изобара, то

P1/P3 = P1/P4 = T1/T4,

P2/P3 = T2/T3,

V4/V3 = T4/T3.

Используя, найденные соотношения, получим:

А = ½ R(T3 – T4) (T1/T4 + T2/T3 -2).

15. На рисунке изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода О2. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе Vmax = 16.4дм3. Определить массу газа и его объем в точке 1.

Ответ: m = 16г,V = 12.3дм3.

Решение

Наклон изохор, проведенных из начала координат обратно пропорционален объему газа

P = [mR/(μV)]T.

Изохора, проведенная в точку 3, имеет минимальный наклон, следовательно, объем газа в этой точке максимален. Тогда для массы газа получим

m = P3V3μ/(RT3) = 16 г.

Поскольку 3 → 1 изобара, то

V1/T1 = V3/T3,

отсюда

V1/= V3 T1/T3 = 12.3 дм3.

16. Моль одноатомного идеального газа из начального состояния 1 с температурой Т1 = 100К, расширяясь через турбину в пустой сосуд, совершает некоторую работу и переходит в состояние 2 (см. рис.). Этот переход происходит адиабатически, без теплообмена. Затем газ квазистатически сжимают в процессе 2-3 , в котором давление является линейной функцией объема и, наконец, в изохорическом процессе 3-1 газ возвращается в исходное состояние. Найти работу, совершенную газом при расширении через турбину в процессе 1-2, если в процессах 2-3-1 к газу в итоге подведено Q = 72Дж тепла. Известно, что Т2 = Т3, V2 = 3V1.

(МФТИ,86-88) Ответ: А12 = 3/2R(T1 – T2) = 625Дж.

Решение.

Согласно первому началу термодинамики для процесса 1→2 имеем

А12 = – Δu12 = сv(Т1 – Т2) – первое начало применимо всегда, и для неквазистационарных процессов, как здесь, процессов тоже.

В процессе 2→3 Δu23 = 0, т.е.

Q23 = A23 = ½ (P2 + P3)(V3 – V2) = ½ P2V2(1 + P3/P2)(V3/V2 – 1).

Поскольку

Т2 = Т3, то P3/P2 = V2/V3 = V2/V1 = k.

Тогда

Q23 = ½ RT2(1 + k)(1/k – 1) = ½ RT2 (1 + k)(1 – k)/k.

Q31 = (3/2)R(T1 – T2).

Q = Q12 + Q31 = ½ RT2 (1 + k)(1 – k)/k + (3/2)R(T1 – T2).

Отсюда

Т2 = (9/17)T1 – (6/17)Q/R ≈ 50 K.

Итак,

А12 = (3/2)R(T1 – T2) = 625 Дж.

17. Найти теплоемкость одного моля идеального газа в политропическом процессе, в котором давление Р и объем газа V связаны соотношением Р = αV2, где α – некоторая постоянная. Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме считать известной и равной СμV. (При решении задачи принять, что изменение объема и температуры газа мало по сравнению с начальными объемом и температурой).

Ответ: С = СμV + R/3.

Решение.

Используя определение теплоемкости С = ΔQ/ΔT и первый закон термодинамики

ΔQ = СμV ΔT + ΔА, получаем для идеального газа

С = СμV + ΔА/ΔT.

При малых изменениях объема давление можно считать постоянным и работу считать по формуле

ΔА = РΔV.

Из уравнений Р = αV2 и PV = RT следует, что

T = αV3/R.

Разность температур

ΔT = Т1 – Т = αV13/R – αV3/R = αV3/R[(V1/V)3 – 1],

где V1 = V + ΔV.

Тогда

(V1/V)3 = (1 + ΔV/V)3 ≈ 1 + 3 (ΔV/V).

С учетом этого

ΔT = 3αV2 ΔV /R.

Подставляя в выражение для работы РΔV давление Р = αV2 , найдем теплоемкость газа:

С = СμV + αV2 ΔV /ΔT = СμV + αV2 ΔVR/3αV2 ΔV = СμV + R/3.

В случае одноатомного газа С = 11R/6.

18. В ведре находится смесь воды со льдом массой

m = 10кг. Ведро внесли в комнату и сразу начали измерять температуру смеси. Получившаяся зависимость температуры смеси от времени изображена на рисунке. Удельная теплоемкость воды СВ = 4.2кДж/(кгК), удельная теплота плавления льда λ = 340кДж/кг. Определить массу льда в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.

Ответ: mЛ = 1.23кг.

Решение

Из графика видно, что первые Δτ1 = 50 мин температура смеси оставалась равной 0 оС: таял лед и на это шла вся подводимая к смеси энергия. Далее за Δτ2 = 10 мин температура воды поднялась на Δt = 2 оС. Эти данные позволяют найти скорость подвода теплоты

Q/ = cВm Δt/Δτ2 ,

тогда количество теплоты, пошедшее на плавление льда,

Q = mЛλ = Q/ Δτ1 = cВm Δt Δτ1/Δτ2.

Отсюда

mЛ = cВm Δt Δτ1/(λΔτ2) = 1.23 кг.

19. В вакуумированном теплоизолированном цилиндре, расположенном вертикально, может перемещаться массивный поршень. В начальный момент поршень закрепляют и нижнюю часть цилиндра заполняют идеальным газом. Затем поршень освобождают. После установления равновесия объем, заполняемый газом, оказался в два раза меньше первоначального. Во сколько раз изменилась температура газа? Молярную теплоемкость газа при постоянном объеме принять равной Cμv = 5/2R.

Ответ: T2 / T1 = Cμv /[ Cμv – R(V1 / V2 – 1)] = -5/3 .

Решение

При опускании поршня массой М на высоту h сила тяжести совершает работу

А = Mgh,

идущую на увеличение внутренней энергии газа

ΔU = νCμV(T2 – T1),

где ν – число молей газа, CμV – молярная теплоемкость при постоянном объеме, T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа.

В состоянии равновесия сила тяжести поршня уравновешивается силой давления газа:

Mg = P2S,

где S – площадь поперечного сечения поршня. Работу А с учетом этого равенства можно преобразовать к следующему виду:

A = Mgh = P2Sh = P2(V2 – V1) = P2V2(V1/V2 – 1) = νRT2(V1/V2 – 1),

здесь V1 и V2 – начальный и конечный объемы газа. Подставляя найденное выражение работы в уравнение

A = ΔU = νCμV(T2 – T1),

после несложных преобразований найдем

T2/T1 = T2 / T1 = Cμv /[ Cμv – R(V1 / V2 – 1)] = -5/3 .

20. В герметически закрытом сосуде в воде плавает кусок льда массой М = 0.1кг, в который вмерзла свинцовая дробинка массой m =5г. Какое количество тепла нужно затратить, чтобы дробинка начала тонуть? Теплота плавления льда λ = 330 кДж/кг. Температура воды в сосуде 0оС. (ρл =0.9г/см3, ρсв = 11.3г/см3).

Ответ: Q = 19.5 кДж.

Решение

Условием, при котором дробинка начнет тонуть является условие равновесия системы лед+дробинка, полностью погруженной в воду

(Mл + m)g = FАрх = ρвgV = ρвg(Mл/ρл + m/ρсв).

Отсюда

Mл = m[1 – ρв/ρсв]/[ ρв/ρл – 1].

Таким образом, должна растаять масса льда

ΔM = M – Mл.

Для этого необходимо сообщить количество теплоты

Q = λ (M – Mл) = 19.5 кДж.

21. Один моль идеального газа, первоначально находившегося при нормальных условиях (Р0 = 105Па ,t0=0oC), переводят в состояние с вдвое большим объемом и давлением. Процесс перевода осуществляется в два этапа – изобарически и изохорически (см. рис.) Какое количество теплоты подведено к газу? Теплоемкость при постоянном объеме СμV = 21Дж/мольК.

Ответ: Q = (3CV +R)T0 = 19.5Дж.

Поделитесь с Вашими друзьями: