Если в геометрическом сосуде объемом

Объем первого шара равен равен (54). Найдите объем второго шара, если его радиус в (3) раза меньше радиуса первого шара.

Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{54}{V_2}=dfrac{V_1}{V_2}=
dfrac{frac43 pi ,R_1^3}{frac43 pi
,R_2^3}=left(dfrac{R_1}{R_2}right)^3] Так как радиус второго шара в 3 раза меньше радиуса первого шара, то (R_1=3R_2), следовательно, [dfrac{54}{V_2}=left(dfrac{3R_2}{R_2}right)^3=27 quadRightarrowquad
V_2=dfrac{54}{27}=2.]

Ответ: 2

Сосуд имеет форму конуса и вмещает в себя 2700 мл жидкости. Определите, сколько мл жидкости налито в сосуд, если высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда.

Следовательно объем жидкости равен [V_{small{text{ж}}}=dfrac1{27}V=100]

Ответ: 100

В сосуд цилиндрической формы, объем которого 2400 см(^3), налили жидкость, заполнив сосуд на треть, а затем в жидкость полностью погрузили некоторый предмет, вследствие чего уровень жидкости в сосуде поднялся на четверть. Найдите объем предмета в кубических сантиметрах.

Объем цилиндра вычисляется по формуле (V=pi R^2H), где (R) – радиус основания, (H) – высота. Таким образом, во сколько раз увеличивается/уменьшается высота цилиндра, во столько же раз увеличивается/уменьшается объем цилиндра.
Следовательно, если жидкость заполнила сосуд лишь на треть, то есть высота жидкости в 3 раза меньше высоты сосуда, то и объем жидкости в 3 раза меньше объема сосуда, следовательно, объем жидкости равен (2400:3=800) см(^3).

Так как после погружения в жидкость предмета уровень повысился на четверть, то и занимаемый в сосуде объем повысился на четверть.
Закон Архимеда гласит, что объем вытесненной жидкости равен объему погруженного в нее предмета. Следовательно, объем предмета равен четверти объема жидкости, то есть (800:4=200) см(^3).

Ответ: 200

Радиус первого шара равен (6), а радиус второго шара равен (2). Во сколько раз объем первого шара больше объема второго шара?

Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{frac43 pi cdot 6^3}{frac43 pi cdot 2^3}=
left(dfrac62right)^3=27.] Следовательно, объем первого шара в 27 раз больше объема второго шара.

Ответ: 27

Объем первого цилиндра равен (16), причем известно, что его радиус в 7 раз меньше радиуса второго цилиндра, а высота второго цилиндра в 8 раз меньше высоты первого. Найдите объем второго цилиндра.

Объем цилиндра с высотой (H) и радиусом основания (R) ищется по формуле (V=pi R^2H). Тогда объем первого относится к объему второго цилиндра как [dfrac{16}{V_2}=dfrac{pi,R_1^2,H_1}{pi,R_2^2,H_2}=
left(dfrac{R_1}{R_2}right)^2cdot dfrac{H_1}{H_2}] Из условие следует, что (R_1=frac17R_2), (H_2=frac18H_1), следовательно, [dfrac{16}{V_2}=left(dfrac{frac17R_2}{R_2}right)^2cdot
dfrac{H_1}{frac18H_1}=dfrac1{49}cdot 8 quadRightarrowquad
V_2=98.]

Ответ: 98

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 75 грамм жидкости до половины высоты сосуда. Сколько грамм этой же жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Заметим, что в данной задаче использование плотности – чистая формальность.

Ответ: 525

В правильной четырехугольной пирамиде с высотой (h) через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии (frac13h) от плоскости основания, проведена плоскость, параллельная плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен (54).

Ответ: 16