Газ наполняющий герметичный сосуд с поршнем

Пример 1.
Определите число молекул, содержащихся в 2 мм³ воды при 4°С.

Дано

Решение

V = 2·10-9 м³

T = 277 К

______________

N = ?

Число молекул определим, используя выражение

,
(1)

где ν – количество вещества, NA–число
Авогадро.

Учитывая, что ν=m/μ, где μ-молярная масса,
использовав (1), получим:

. (2)

Массу воды определим через плотность и объем : m=ρV.
Тогда формула (2) примет вид:

. (3)

Молярную массу молекулы H2O воды вычислим:

(2·1+1·16)·10-3
кг/моль=18·10-3 кг/моль.

Окончательно, из формулы (3) получаем N≈6,68·1019
.

Пример 2. Поршневой насос, объем
цилиндра которого равен 0,5л, соединен с баллоном емкостью 3л, содержащим
воздух при нормальном атмосферном давлении. Определите давление воздуха в
баллоне после 5 рабочих ходов поршня, если насос работает в режиме: а) нагнетательном,
б) разрежающем. Считать процесс изотермическим.

Дано

Решение

V1=5·10-4 м³

V2=3·10-3 м³

p0=1,013·10-3 Па

n=5

______________

pн, pр –?

а) Поршневой насос после n-рабочих
ходов в нагнетательном режиме заберет из атмосферы объем воздуха Vn=nV1
при давлении p0. Этот воздух, попадая в баллон, создает там
парциальное давление pn. Тогда, согласно закону
Бойля-Мариотта (по условию Т=const),

, отсюда . Искомое
давление воздуха в баллоне:

б) По условию задачи воздух в баллоне занимает объем V2 при давлении р0. К концу первого
хода в разрежающем режиме та же масса воздуха займет объем V2+V1 при давлении p1.
Тогда по закону Бойля-Мариотта

, отсюда

В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне
соответственно равны V2 и p1, а в конце хода – (V2+V1)
и p2, тогда

,

Следовательно, к концу n-го рабочего хода:

Подставляя числовые значения в выражения (1) и (2), получим

pн=1,86·105 Па; pр=0,48·105
Па.

Пример 3. Идеальный газ находится
под давлением 250 кПа и занимает объем 2,5л при температуре 200К. Сначала газ
изохорно нагревают до температуры 400К. Затем, изотермически расширяя, газ
доводят до первоначального давления. После этого газ возвращают в начальное
состояние путем изобарного сжатия. Изобразите процесс графически на
рV-диаграмме. Определите давление p2 и объем V3.

Дано

Решение

p1=2,5·103 Па

V1=2,5·10-3 м³

Т1=200К,

Т2=400К

______________

p2 – ? V3-?

Построим график цикла:

При переходе газа из состояния 1 в состояние 2 осуществляется
изохорный процесс. Следовательно, по закону Шарля имеем p1/Т1=p2/Т2,
откуда

(1)

При переходе газа из состояния 3 в состояние 1 осуществляется
изобарный процесс. Тогда, согласно закону Гей-Люссака , отсюда .

Учитывая, что Т3=Т2 (точки 2 и 3
принадлежат одной изотерме), получим

. (2)

Произведем вычисления по формулам (1) и (2): p2=5·105
Па; V3= 5·10-3 м³.

Пример 4. Идеальный газ находится в
баллоне при 27°С и давлении 3·106 Па. Какой станет температура,
если из баллона будет выпущено 0,3 массы газа, а его давление понизится до
2·106 Па?

Дано

Решение

Т1=300К

p1=3·106 Па

p2=2·106 Па

k=0,3

____________________

Т2-?

Рассмотрим два состояния идеального газа. В первом состоянии
газ имеет массу m и характеризуется параметрами p1, V и T, во
втором состоянии он имеет массу и характеризуется параметрами p2,
V и Т2.

Параметры каждого из этих состояний связаны уравнением
Менделеева-Клапейрона:

,(1)

. (2)

Разделив почленно уравнение (1) на уравнение (2), имеем:

, откуда .

Произведем вычисления, получим Т2=286К

Пример 5. В закрытом сосуде объемом
2м³ находится 2г водорода и 32г кислорода при температуре 500К.
Определите: а) давление в сосуде, б) молярную массу смеси, в) плотность
смеси.

Дано

Решение

V= 2м³

Т= 500К

m1=0,002 кг

m2=0,032 кг

µ1=2·10-3кг/моль

µ2=32·10-3кг/моль

R=8,31Дж/моль·К

_______________

p-? µсм-? ρсм-?

Давление смеси определим по закону Дальтона

, (1)

где p1- давление водорода, p2-
давление кислорода.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

, .(2)

С учетом (2) преобразуем выражение (1):

.(3)

Для определения молярной массы смеси используем (3) в виде

(4)

Обозначив через µсм молярную массу смеси,
запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси в виде

. (5)

Из выражений (4) и (5) получим

. (6)

Плотность смеси газов определим из:

, (7)

где m=m1+m2 – масса смеси газов. Объем смеси газов из(4):

.(8)

Решая совместно уравнения (7) и (8), получим:

.(9)

Произведем вычисления по формулам (3), (6) и (9):

р=4,2 кПа, µсм=17·10-3 кг/моль,
ρсм= 0,017кг/м³.

Пример 6. Чтобы не стать помехой
движению самолетов, олимпийский аэростат «Миша», наполненный гелием при p1=105Па
и температуре T0=300К, должен был подняться над Лужниками на высоту
h=1,5км, где плотность воздуха на 20% меньше, чем у поверхности Земли. Какова
масса M оболочки аэростата, если его объем V=500м3 (оболочку
считать герметичной и нерастяжимой).

Дано

Решение

V=500м3

p0=105Па

T0=300K

h=1.5×103м

mв=29×10-3кг/моль

mг=4×10-3кг/моль

_____________________

Mобл=?

Анализ

Предполагаем, что T =const, а V =const из условия. Условия
равновесия аэростатавыполняются на высоте h =1500м. Тогда, из закона
Архимеда:

,

где mв – масса вытесненного воздуха, mг-масса
гелия.

Решив это уравнение, ответим на вопрос задачи

Выразим mв и mг mв=rвV, где rв = 0,8rвп,
где rвп – плотность
воздуха у поверхности земли.

Тогда

, а .

Следовательно

.

Аналогично .

Тогда

.

Произведем вычисление: M=380кг.

Пример 7. Спутник погрузился в тень
Земли. При этом температура внутри спутника, равная вначале T1=300K,
упала на 1%, вследствие чего давление воздуха изменилось на величину Dp=10,5×102Па.
Определите массу воздуха в спутнике, если его объем V=10м3.

Дано

Решение

T1=300K

DT=0.01

T=3K

Dp=10,5×102Па

V=10м3

m=29×10-3кг/моль

________________

m=?

Считаем, что газ (воздух) внутри спутника является идеальным.
Запишем уравнение Менделеева – Клайперона для каждого состояния:

,(1)

,(2)

(3)

Объем V, масса m, молярная масса m газа являются постоянными. В системе трех уравнений не
известны три величины: m, p1 и р2. Следовательно,
система разрешима.

Так как температура упала, то T1=T2+DT. Вычитая из уравнения (1) уравнение (2),
получаем

.

Но p1–p2=Dp, а T1–T2=DT. Тогда приходим к уравнению:

.

Отсюда: .

Произведем вычисления: m=12кг.

Пример 8. Идеальный газ, масса
которого равна 6,1кг, занимает объем 5м3 при давлении 2∙105Па.
Определите среднюю квадратичную скорость движения молекул газа.

Дано

Решение

m=6,1кг

V=5м3

р=2∙105Па

_____________

<кв>-?

Средняя квадратичная скорость молекулы: . Из уравнения
Менделеева – Клапейрона: найдем: . Тогда .

Произведя вычисления, получим: <кв> = 700м/с

Пример 9. В баллоне находится азот
массой 4г при 300К. Определите среднюю энергию поступательного движения
молекул, находящихся в баллоне.

Дано

Решение

m=4г= 4•10-3кг

Т=300К

μ = 28•10-3кг/моль

________________

<Wn> – ?

Средняя энергия поступательного движения всех молекул определяется
выражением:

; (1)

где <εn> – средняя энергия поступательного
движения одной молекулы; N – число молекул, находящихся в баллоне. Известно,
что ,(2)

где k=1,38•10-23Дж/К – постоянная Больцмана, Т
– термодинамическая температура. Число N молекул найдем по формуле:

, (3)

где n- количество
вещества, NА =6,02•1023моль-1 – постоянная
Авогадро.

Известно, что

,(4)

где m – масса азота, μ = 28•10-3кг/моль –
молярная масса азота.

Выражение (1) с учетом (2), (3) и (4) примет вид:

. (5)

Произведем вычисления по формуле (5), получим:
<Wn>≈534 Дж.

Пример 10. Смесь водорода и гелия
при температуре 27˚C находится под давлением 2∙102Па.
Масса водорода составляет 60% от общей массы смеси. Определите концентрацию
молекул каждого газа.

Дано

Решение

Т=300К

р=2•102Па

k=1,38•10-23Дж/К

τ1=0,6

τ2=0,4

_______________

n1, n2 – ?

Масса каждого из газов определяется из соотношений

, , (1)

где m – масса смеси, τ1 и τ2
– массовые доли соответственно водорода и гелия.

С другой стороны, масса каждого из газов:

, .
(2)

Сравнив (1) и (2), получим:

,

, откуда

. (3)

Для смеси газов

. (4)

Из выражения (3) и (4) получим:

,. (5)

При заданном давлении водород и гелий можно считать идеальными
газами, подчиняющимися уравнению , отсюда (6). С учетом
(6) преобразуем соотношения (5):

, . (7)

Произведем вычисления: n1 ≈ 0,36•1023,
n2 ≈ 0,12•1023.

Пример 11. Определите полную энергию
и количество молекул воздуха между рамами окна, если площадь окна S=2м2,
расстояние между рамами ℓ=0,2м. Давление воздуха между рамами
атмосферное, а температура его линейно изменяется вдоль ℓ от t1=
-10˚C (t1 – температура наружного стекла) до t2=20˚C
(t2–температура внутреннего стекла).

Дано

Решение

S=2м2

ℓ=0,2м

Т1=263K

Т2=293K

________________

W-?

N-?

По условию задачи, воздух между рамами находится в неравновесном
состоянии, так как температура изменяется вдоль оси Оx (Рис.2), ее
распределение в объеме воздуха не изменяется со временем. В пределах
достаточно тонкого слоя толщиной dx, температуру можно считать постоянной и
равной Т. Тогда энергия

.(1)

Концентрации молекул в пределах этого слоя определив из
уравнения состояния:

.(2)

Тогда число dN молекул в объеме слоя:

,(3)

а их энергия

.(4)

По условию задачи температура между рамами изменяется
линейно:

,
(5)

где α – постоянная.

Решая совместно уравнения (2), (3), (5), получим:

.

Тогда

(6)

Постоянные α и Т0 найдем из граничных условий: при
х=0 Т=Т1, следовательно, Т0=Т1; при
х=ℓ, Т= Т2, следовательно,

,

отсюда

.

Тогда

.(7)

Полная энергия dW всех молекул в слое dx:

.

Тогда

.(8)

Произведем вычисления по формулам (7) и (8), учитывая, что
i=5, р=1,01•105Па, N = 1,06•1025, W = 1•105Дж.

Пример 12. Определите среднюю
кинетическую энергию, среднюю энергию вращательного и среднюю энергию
поступательного движения одной молекулы аммиака NH3 при 27˚C.

Дано

Решение

Т=300К

________________

<ε>-?

<εn>-?

<εвр>-?

Средняя полная энергия молекулы:

,(1)

где i – число степеней свободы, k =1,38•10-23Дж/К
– постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура.

Средняя энергия поступательного движения молекулы:

, (2)

где число 3 означает число степеней поступательного движения
молекул. Средняя энергия поступательного движения молекул:

.

Учтя, что молекула аммиака является четырехатомной, т.е.
ее число степеней свободы равно 6, получим:

,

откуда

. (3)

Произведем вычисления по формулам (1) и (3):

<ε>=1,24•10-20Дж; =6,2•10-21Дж.

Пример 13. Определите среднюю
арифметическую скорость молекул идеального газа, плотность которого при
давлении 35кПа составляет 0,3кг/м3.

Дано

Решение

р=35×103Па

ρ=0,3кг/м3

_______________

<υ>-?

Согласно уравнению молекулярно – кинетической теории
идеальных газов

,(1)

где n – концентрация молекул, m0–масса одной
молекулы, <υкв> – средняя квадратичная скорость
молекул.

Учитывая, что , а , получаем:

.(2)

Так как плотность газа , где m – масса газа, V
– его объем, N – число всех молекул газа, то уравнение (1) можно записать в
виде:

или .

Подставляя это выражение в формулу (2), находим искомую
среднюю арифметическую скорость:

.

Вычисляя, получаем: <υ> = 545 м/с.

Пример 14. Используя функцию
распределения молекул идеального газа по относительным скоростям , где , определите число
молекул, скорости которых меньше 0,002 наиболее вероятной скорости, если в
объеме газа содержится N=1,67×1024
молекул.

Дано

Решение

υmax =0,002 υв

N=1,67×1024

_______________

DN-?

Число dN(u) молекул, относительные скорости которых заключены
в пределах от u до u+du

,(1)

где N – число молекул в объеме газа.

По условию задачи, υmax=0,002υв,
то umax= υmax/υв=0,002.

Так как u<1, то e-u² ≈ 1-u2. Пренебрегая
u2<1, выражение (1) можно записать в виде:

.(2)

Проинтегрировав выражение (2) по u в пределах от 0 до umax,
найдем

.

Вычисляя, получаем ∆N=1016 молекул.

Пример 15. Средняя длина
<ℓ> свободного пробега молекулы углекислого газа при нормальных
атмосферных условиях равна 40 нм. Определите среднюю арифметическую скорость
<υ> молекул и среднее число <z> соударений, которые испытывает
молекула в 1 секунду.

Дано

Решение

<ℓ> = 40×10-9м

_______________

<υ>-?, <z>-?

Средняя арифметическая скорость молекул определяется по
формуле:

,(1)

где μ- молярная масса вещества.

Среднее число соударений молекулы в 1 секунду равно отношению
средней скорости <υ> молекулы к средней длине <ℓ> ее
свободного пробега:

.(2)

Произведем вычисления по формулам (1) и (2):
<υ>=362м/с, <z>=9,05·109с-1.

Пример 16. Барометр в кабине
летящего самолета все время показывает одинаковое давление р=79кПа, благодаря
чему летчик считает высоту h1 полета неизменной. Однако температура
воздуха за бортом изменилась с t=5˚C до t=1˚C. Какую ошибку
∆h в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у
поверхности Земли считать нормальным.

Дано

Решение

р=79 ×103Па

t1=5˚C,

Т1=278К

t2=1˚C,

Т2=274К

_____________

∆h – ?

Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой:

.

Барометр может показывать одинаковое давление р при изменении
температуры за бортом от Т1 до Т2 только в том случае,
если самолет изменяет высоту полета от h1 (которую летчик считает
неизменной), до некоторой другой h2. Запишем барометрическую формулу
для этих двух случаев:

Найдем отношение р0/р и обе части полученного
равенства прологарифмируем:

;

.

Из полученных соотношений выразим высоты h2 и h1
и найдем их разность:

.(1)

Подставим в выражение (1) значения величин (давления в отношении
р0/р можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный
результат): ∆h=-28,5 м. Знак “–“ означает, что h2<h1
и, следовательно, самолет спустился на 28,5 метров по сравнению с предполагаемой высотой.

Пример 17. Определите, во сколько
раз отличаются коэффициенты диффузии азота (μ1=28·10-3кг/моль)
и углекислого газа (μ2=44·10-3кг/моль), если оба
газа находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры
молекул этих газов считать одинаковыми.

Дано

Решение

μ1=28·10-3кг/моль

μ2=44·10-3кг/моль

________________

D1/D2-?

Коэффициент диффузии газа

,(1)

где – средняя арифметическая
скорость его молекул, – средняя длина свободного
пробега молекул. Поскольку p=nkT,
из условия задачи (p1=p2, Т1=Т2)
следует, что n1=n2. Подставив значения
<υ>,<ℓ> в формулу (1) и учитывая условие задачи,
найдем Вычисляя, получим D1/D2=1,25.