Истечение воздуха из сосуда

ТЕЧЕНИЕ ВОЗДУХА

Основные закономерности течения воздуха (газа) те же, что и для жидкостей. Имеют место:

– ламинарный и турбулентный режимы течения. Для их разграничения также используется критерий Рейнольдса;

– установившийся и неустановившийся характер течения.

Кроме этого, используются и все остальные кинематические и динамические характеристики потоков: средняя скорость, объемный расход, массовый расход, давление, скоростной напор, мощность потока.

Из-за малой вязкости воздуха и, как правило, больших скоростей, режим в большинстве слу-чаев турбулентный.

Расчет параметров движущегося воздуха выполняют с учетом термодинамического процесса, изменяющегосяот изотермиического (с учетом теплообмена при Т = const), до адиабатного (без учета теплообмена).

Политропный процесс (политропный показатель n = 1,3…1,35) является более общим, охва-тывает изотермический и адиабатный процессы.

При больших скоростях течения воздуха процесс сжатия на местных сопротивлениях счи-тается адиабатным с адиабатным показателем k = 1,4.

При малых скоростях воздуха и большой протяженности магистралей процесс рассматрива-ют как изотермический n = 1.

Весь диапазон реальных процессов описывается уравнениями этих состояний.

В основу расчетов течения воздуха положено уравнение Бернулли для идеального газа:

ρgz + р + ρv2/2 = const (полное давление). Слагаемые уравнения (н/м2) называют:

ρgz – весовое давление, p – статическое давление, ρv2/2 – скоростное или динамическое дав-ление.

Весовым давлением часто пренебрегают и уравнение Бернулли принимает следующий вид:

р + ρv2/2 = const = Р0.

Эту сумму называют полным давлением P0.

Идеальным называют состояние газа, когда можно пренебречь силами межмолекулярного взаимодействия. Такие условия создаются при давлении до 10 МПа (~ 100 кгс/см2).

Для описания этого состояния используют уравнение Менделеева-Клайперона:

р = ρRT, (1)

где р – давление газа (Па) при температуре в градусах Кельвина Т (ºК). При атмосферном давлении (101325 Па или 1 атм – физическая атмосфера) Т = 273 ºК, ρ – плотность газа (кг/м3).

R – универсальная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от темпе-ратуры и давления. Для воздуха R = 287 Дж/(кг∙ºК).

В области давлений до 10 МПа применение уравнения р = ρRT в расчетах пневмосистем дает погрешность не более 2%.

В пневматике есть два принципиальных отличия от расчета гидросистем:

1. – используют массовый расход, так как объемный расход изменяется по мере сжатия воздуха, а массовый нет: Qρ1 = Q ρ2.

2. – при сверхзвуковой скорости течения воздуха меняется характер зависимости расхода от перепада давлений на местных сопротивлениях, поэтому рассматривают подкритический и надкритический режимы течения.

Истечение воздуха из резервуара

Рассмотрим процесс истечения воздуха из резервуара через отверстие при поддержании в нем постоянного давления, рис. 1.

Рис. 1. Истечение газа из

отверстия в тонкой стенке

Размеры резервуара по сравнению с размерами выходного отверстия очень велики и можно пренеб-речь скоростью движения воздуха внутри резерву-ара. Следовательно, можно принять, что давление, температура и плотность воздуха внутри резервуара равны:

p0 = Const, ρ0 = Const, T0 = Const.

Из гидравлики известно, что скорость истечения жидкости определяется по формуле:

(1)

где μ – коэффициент расхода, Р0 и Р – давления в резервуаре и за его пределами, ρ – плот-ность воздуха.

В отличие от жидкостей, газы сжимаются и при давлении до 10 МПа (~ 100 кгс/см2) их состо-яние описывается уравнением состояния идеального газа: р = ρRT, (2)

Термодинамический процесс при расширении воздуха близок к адиабатному и для него спра-ведливо соотношение:

(3)

где k – адиабатный показатель (для воздуха k ≈ 1,4), ρ и р – плотность и давление воздуха за пределами резервуара.

В формуле (1) разность давлений отнесена к плотности. Здесь пренебрегают тем, что плот-ность жидкости зависит от давления. Действительно, эта зависимость слишком слабая.

Для воздуха при разных давлениях разная плотность, поэтому формула (1) имеет вид:

(4)

При этом поправочный коэффициент, учитывающий сжимаемость воздуха определяется от-ношением:

Учитывая, что для адиабатного процесса в соответствии с формулой (2) давление р0 равна:

р0 = ρ0RT0, (5)

то после подстановки в выражение (4) формул (3) и (5) получим:

(6)

В скобке плотность ρ0 сокращается, RТ0 выносим за скобку, но RТ0 появляется в знаменателе второго члена в скобке, а из знаменателя уходит в числитель.

Делаем подстановку , тогда в знаменателе второго члена получим:

Выносим из под корня kRТ0 и умножаем на f0 (площадь отверстия), получаем зависимость объемного расхода от отношения давлений вне и внутри резервуара:

Массовый расход равен: Qρ = ρQ,

поэтому окончательно выражение (6) примет вид:

(7)

где – скорость распространения звука в воздухе.

Размерность выражения для скорости звука: (Дж/кг ºК)· ºК.

Градусы Кельвина сокращаются, поэтому: н·м/кг → (кг·м/с2)·м /кг → м2/с2 → vзв (м/с).

Размерность формулы (7): м2 → кг/с это размерность массового расхода.

Формула (7) – это парабола со степенью 1/2. Если построить график зависимости массового расхода от отношения давлений p/p0, то он будет иметь вид, показанный на рис. 2.

Отношение p/p0называется степенью расширения воздуха.

Анализ формулы (7) показывает, что выражение в квадратных скобках, обращается в ноль при p/ p0 = 1. При этом расход воздуха равен нулю.

Рис. 2.

Зависимость массового расхода

газа от отношения давлений

Из графика видно, что при p/p0 = 0,5 выражение (7) дает максимальное значение массового расхода Qρmax.

(Критическое отношение (p/p0)кр = 0,53, так как парабола немного несиммет-рична).

При p/p0 < 0,5 имеет место так называемый надкритический режим. Расход воздуха должен уменьшаться в соответствии с пунктирной линией и при p/p0 = 0 стать равным нулю, но этого не происходит, так как равенство p/p0 = 0 соответствует истечению воздуха в вакуум. Но вакуума на Земле нет и поэтому расход также будет наибольшим и равным Qρmax.

Таким образом, левая ветвь параболы фактически не реализуется.

Опыт показывает, что при постоянных ρ0, T0 и р0расход остается постоянным и равным мак-симальному (горизонтальная линия), а скорость истечения достигает критического значения, равного скорости звука: (9)

Из выражения р = ρRT можно получить: RT = р/ρ и подставить в формулу: .

Тогда получим формулу (9).

Если скорость на выходе равна скорости звука vзв, любое дальнейшее увеличение давления внутри резервуара p0не увеличит скорость истечения, так как внутренний объем «заперт» потоком воздуха, выходящем со звуковой скоростью.

Тем не менее, в соответствии с формулой (7) увеличение р0 будет приводить к увеличению плотности ρ0, стоящему перед корнем, поэтому расход все же будет немного увеличиваться.

Таким образом, существует два режима истечения:

подкритический, при котором: p/p0 < 0,53 (на рис. 2 справа);

и надкритический, при котором: p/p0 > 0,53 (на рис. 2 слева);

При определении расходов воздуха предварительно по отношению давлений находят зону ис-течения (надкритический или подкритический режим), а затем рассчитывают расход.

Потери на трение воздуха учитывают коэффициентом расхода μ, который можно вычислить по формулам для истекающей жидкости, известной из курса общей гидравлики.

Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Дата создания страницы: 2019-04-28 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Источник

Основными соотношениями, необходимыми для описания работы пневматических устройств, являются соотношения, описывающие законы движения воздуха. Принимается, что воздух является идеальной жидкостью, т.е. такой жидкостью, в которой частицы перемешаются одна относительно другой без трения. Предположим, что движение установившееся и свойства жидкости в данном сечении остаются постоянными, т.е. давление и температура не изменяются. Обозначим через c, p, g, ?, z, соответственно, скорость движения жидкости, давление, ускорение силы тяжести, плотность жидкости и высоту над плоскостью отсчета. Уравнение Бернулли в дифференциальной форме, выражающее закон сохранения энергии, записывается в виде:

Интегрирование этого уравнения дает выражение закона движения жидкости:

Величина Н — постоянная интегрирования, представляет собой полный напор, развиваемый движущейся жидкостью. Он равен сумме напоров скоростного, пьезометрического и геометрического. Учитывая низкую плотность воздуха, величиной z обычно пренебрегают. Поэтому.

Для идеальной жидкости запас энергии в каждом сечении потока остается неизменным. У реальных жидкостей, имеющих трение, запас энергии от сечения к сечению по направлению потока убывает. Уравнение для реальной жидкости между двумя произвольными сечениями потока имеет вид:

Обычно гидравлические потери Н12 принимают пропорциональными изменению кинетической энергии, т.е.

где величина ? называется коэффициентом гидравлических потерь; с — средняя скорость в сечении потока.

В случае истечения воздуха из резервуара с достаточно большими размерами (рисунок 2) скоростью воздуха перед отверстием можно пренебречь и тогда

Рисунок 2

Величина называется коэффициентом скорости.

В каналах пневматических сопротивлений скорость течения воздуха сравнительно велика, и поэтому, с достаточной степенью точности можно считать, что теплообмен между протекающим воздухом и стенками канала отсутствует и, следовательно, истечение происходит по адиабатическому закону. Поэтому, можно записать:

где k — показатель адиабаты; ?, ?1– плотности воздуха в различных сечениях.

Массовый расход воздуха

где F–площадь сечения А-А; ?2–плотность воздуха в сечении А-А.

В полученном выражении за плотность воздуха в сечении отверстия площадью F принята плотность в среде, куда происходит истечение.

На самом деле плотность воздуха в этом сечении иная. Выравнивание плотности воздуха в струе с плотностью воздуха окружающей среды происходит в сечении Б-Б, расположенном на некотором расстоянии от отверстия. При этом площадь сечения Б-Б меньше площади отверстия F. Отношение сжатого сечения к расчетному называют коэффициентом сжатия струи. Произведение коэффициента сжатия на коэффициент скорости называют коэффициентом расхода ?. Таким образом, для уточнения в формулу для определения расхода Gm вместо ? следует Рисунок 3

На практике приходится рассчитывать расход воздуха не для отверстия с тонкими стенками, а для различных видов дросселирующих сопротивлений, имеющих более сложную конфигурацию, В этих случаях коэффициент расхода определяют экспериментально, и он является поправочным коэффициентом, учитывающим геометрию дросселя.

Расход (рисунок 3) имеет максимальное значение при

Показатель адиабаты k для воздуха равен 1,4, следовательно, ?кр= 0,528.

Момент равенства ?=?кр соответствует в канале дросселирующего сопротивления скорости течения воздуха, равной скорости звука. Экспериментально показано, что если в дальнейшем понижать давление р2, то расход Gm не увеличится, а останется постоянным. Поэтому, в случае докритического течения (?? ?кр), пользуются формулой

а в случае надкритического течения (?< ?кр) — формулой

Для расчета расхода воздуха часто пользуются более простой формулой

где ,рi –давление в полости до подводящего отверстия; рi-1–давление в полости за подводящим отверстием; Gкр — критическое значение массового расхода, определяемое по формуле

где d–диаметр подводящего отверстия.

Максимальная погрешность при таком определении расхода равна 3,4%.

Источник

Лекция 5. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ, НАСАДКОВ И ИЗ-ПОД ЗАТВОРОВ

Рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов через отверстия и насадки (коротки трубки различной формы) в атмосферу или пространство, заполненное газом или той же жидкость. В процессе такого истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость, находящаяся в резервуаре, превращается в кинетическую энергию свободной струи.

Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков.

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью под давлением Р0, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н0 от свободной поверхности (рис.5.1).

Рис. 5.1. Истечение из резервуара через малое отверстие

Жидкость вытекает в воздушное пространство с давлением Р1. Пусть отверстие имеет форму, показанную на рис.5.2, а, т.е. выполнено в виде сверления в тонкой стенке без обработки входной кромки или имеет форму, показанную на рис.5.2, б, т.е. выполнено в толстой стенке, но с заострением входной кромки с внешней стороны. Струя, отрываясь от кромки отверстия, несколько сжимается (рис.5.2, а). Такое сжатие обусловлено движением жидкости от различных направлений, в том числе и от радиального движения по стенке, к осевому движению в струе.

Рис. 5.2. Истечение через круглое отверстие

Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия.

где Sс и Sо – площади поперечного сечения струи и отверстия соответственно; dс и dо – диаметры струи и отверстия соответственно.

Скорость истечения жидкости через отверстие такое отверстие

где Н – напор жидкости, определяется как

φ- коэффициент скорости

где α – коэффициент Кориолиса;

ζ- коэффициент сопротивления отверстия.

Расход жидкости определяется как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения:

Произведение ε и φ принято обозначать буквой и называть коэффициентом расхода, т.е. μ = εφ.

В итоге получаем расход

где ΔР – расчетная разность давлений, под действием которой происходит истечение.

При помощи этого выражения решается основная задача – определяется расход.

Значение коэффициента сжатия ε, сопротивления ζ, скорости φ и расхода μ для круглого отверстия можно определить по эмпирически построенным зависимостям. На рис.5.3 показаны зависимости коэффициентов ε, ζ и μ от числа Рейнольдса, подсчитанного для идеальной скорости

где ν – кинематическая вязкость.

Рис. 5.3. Зависимость ε, φ и от числа Reu

Рис. 5.4. Инверсия струй

При истечении струи в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке происходит изменение формы струи по ее длине, называемое инверсией струи (рис.5.4). Обуславливается это явление в основном действием сил поверхностного натяжения на вытекающие криволинейные струйки и различными условиями сжатия по периметру отверстия. Инверсия больше всего проявляется при истечении из некруглых отверстий.

Несовершенное сжатие наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара (рис.5.5).

Рис. 5.5. Схема несовершенного сжатия струи

Так как боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, то струя по выходе из отверстия сжимается в меньшей степени, чем из резервуара неограниченных размеров, как это было описано в п.5.1.

При истечении жидкостей из цилиндрического резервуара круглого сечения через круглое отверстие, расположенное в центре торцевой стенки, при больших числах Re коэффициент сжатия для идеальной жидкости можно найти по формуле, представленной Н.Е. Жуковским:

где n – отношение площади отверстия Sо к площади поперечного сечения резервуара S1

Расход жидкости при несовершенном сжатии

где напор Н нужно находить с учетом скоростного напора в резервуаре

Часто приходится иметь дело с истечением жидкости не в атмосферу, а в пространство, заполненное этой же жидкостью (рис.5.6). такой случай называется истечением под уровень, или истечением через затопленное отверстие.

Рис. 5.6. Истечение по уровень

В этом случае вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении.

Скорость истечения в сжатом сечении струи

где φ – коэффициент скорости;

Н – расчетный напор,

Расход жидкости равен

Таким образом, имеем те же расчетные формулы, что и при истечении в воздух (газ), только расчетный напор Н в данном случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стенки, т.е. скорость и расход жидкости в данном случае не зависят от высот расположения отверстия.

Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду.

Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка длиной, равной нескольким диаметрам без закругления входной кромки (рис. 5.7). На практике такой насадок часто получается в тех случаях, когда выполняют сверление в толстой стенке и не обрабатывают входную кромку. Истечение через такой насадок в газовую среду может происходить в двух режимах.

Первый режим – безотрывный режим. При истечении струя, после входа в насадок сжимается примерно так же, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке. Затем струя постепенно расширяется до размеров отверстия из насадка выходит полным сечением (рис.5.7).

Рис. 5.7. Истечение через насадок

Коэффициент расхода μ, зависящий от относительной длины насадка l / d и числа Рейнольдса, определяется по эмпирической формуле:

Так как на выходе из насадка диаметр струи равен диаметру отверстия, то коэффициент сжатия ε = 1 и, следовательно, μ = φ , а коэффициент сопротивления ζ = 0,5.

Если составить уравнение Бернулли для сжатого сечения 1-1 и сечения за насадком 2-2 и преобразовать его, то можно получить падение давления внутри насадка

P2 – P1 0,75Hgρ

При некотором критическом напоре Нкр абсолютное давление внутри насадка (сечение 1-1) становится равным нулю (P1 = 0), и поэтому

Следовательно, при Н > Нкр давление P1 должно было бы стать отрицательным, но так как в жидкостях отрицательных давлений не бывает, то первый режим движения становится невозможным. Поэтому при Н Нкр происходит изменение режима истечения, переход от первого режима ко второму (рис.5.8).

Рис. 5.8. Второй режим истечения через насадок

Второй режим характеризуется тем, что струя после сжатия уже не расширяется, а сохраняет цилиндрическую форму и перемещается внутри насадка, не соприкасаясь с его стенками. Истечение становится точно таким же, как и из отверстия в тонкой стенке, с теми же значениями коэффициентов. Следовательно, при переходе от первого режима ко второму скорость возрастает, а расход уменьшается благодаря сжатию струи.

При истечении через цилиндрический насадок под уровень первый режим истечения не будет отличаться от описанного выше. Но при Н > Нкр перехода ко второму режиму не происходит, а начинается кавитационный режим.

Таким образом, внешний цилиндрический насадок имеет существенные недостатки: на первом режиме – большое сопротивление и недостаточно высокий коэффициент расхода, а на втором – очень низкий коэффициент расхода. Недостатком также является возможность кавитации при истечении под уровень.

Внешний цилиндрический насадок может быть значительно улучшен путем закругления входной кромки или устройства конического входа. На рис.5.9 даны различные типы насадков и указаны значения соответствующих коэффициентов.

Рис. 5.9. Истечение жидкости через насадки а – расширяющиеся конические; б – сужающиеся конические; в – коноидальные; г – внутренние цилиндрические

Конически сходящиеся и коноидальные насадки применяют там, где необходимо получить хорошую компактную струю сравнительно большой длины при малых потерях энергии (в напорных брандспойтах, гидромониторах и т.д.). Конически сходящиеся насадки используют для увеличения расхода истечения при малых выходных скоростях.

Рассмотрим случай опорожнения открытого в атмосферу сосуда при постоянно уменьшающемся напоре, при котором течение является неустановившемся (рис.5.10).

Однако если напор, а следовательно, и скорость истечения изменяются медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи применить уравнение Бернулли.

Рис. 5.10. Схема опорожнения резервуара

Обозначим переменную высоту уровня жидкости в сосуде за h, площадь сечения резервуара на этом уровнеS, площадь отверстия Sо, и взяв бесконечно малый отрезок времени dt, можно записать следующее уравнение объемов:

где dh – изменение уровня жидкости за время dt.

Отсюда время полного опорожнения сосуда высотой Н

Если будет известен закон изменения площади S по высоте h, то интеграл можно подсчитать. Для призматического сосуда S = const (рис.5.11), следовательно, время его полного опорожнения

Из этого выражения следует, что время полного опорожнения призматического сосуда в два раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре, равном первоначальному.

Для определения времени истечения жидкости из горизонтального цилиндрического сосуда (цистерны) (рис. 5.12) выразим зависимость переменной площади S от h:

где l – длина цистерны; D – диаметр цистерны.

Тогда время полного опорожнения такой цистерны, т.е. время изменения напора от h1 = D до h2 = 0, получится равным

Во многих водозаборных и водопропускных гидротехнических сооружениях расходы воды проходят через отверстия, перекрываемые затворами. Затворы поднимают на определенную высоту над дном и пропускают через отверстия необходимые расходы. Чаще всего на гидромелиоративных сооружениях устраивают отверстия прямоугольного сечения, истечение из которых и рассмотрим.

Отверстия могут быть незатопленными (истечение свободное) и затопленными, когда уровень воды за затвором влияет на истечение.

Если отверстие незатопленное, то вытекающая из-под затвора струя находится под атмосферным давлением (рис. 5.13). При истечении через затопленное отверстие струя за затвором находится под некоторым слоем воды (рис. 5.14).

Рис. 5.13. Истечение из-под затвора через незатопленное отверстие

Когда затвор приподнят над дном, вытекающая из-под него струя испытывает сжатие в вертикальной плоскости. На расстоянии, примерно равном высоте отверстия а (высоте поднятия затвора), наблюдается наиболее сжатое сечение. Глубина в сжатом сечении hc связана с высотой отверстия а следующей зависимостью:

hc = ε’a

где ε’ – коэффициент вертикального сжатия струи.

Коэффициент вертикального сжатия ε’ зависит от отношения высоты отверстия а к напору (глубине воды перед затвором) Н. Для ориентировочных расчетов можно принимать ε’ = 0,64.

Если составить уравнение Бернулли для сечений, проведенных перед затвором и в сжатом сечении, после преобразований получим:

где φ – коэффициент скорости,

где Н0 – напор с учетом скорости подхода,

Тогда расход при истечении из-под затвора при незатопленном отверстии определится по формуле:

где S – площадь отверстия, S = ab.

Рис. 5.14. Истечение из-под затвора при затопленном отверстии

При истечении через затопленное отверстие (рис. 5.14) расход определится по формуле:

где hz – глубина в том сечении, где наблюдается максимальное сжатие истекающей из-под затвора струи.

Глубина hz определяется из зависимости

в которой

а hб – глубина в отводящем канале (бытовая глубина).

Если вытекающая из отверстия или насадка струя попадает на неподвижную стенку, то она с определенным давлением воздействует на нее. Основное уравнение, по которому вычисляется давление струи на площадку, имеет вид

На рис. 5.15 приведены наиболее часто встречающиеся в практике ограждающие поверхности (преграды) и уравнения, по которым вычисляется давление струи на соответствующую поверхность.

Величина давления струи, естественно, зависит от расстояния насадка до преграды. С увеличением расстояния струя рассеивается и давление уменьшается. Соответствующие исследования показывают, что в данном случае струя может быть разбита на три характерные части: компактную, раздробленную и распыленную (рис.5.16).

В пределах компактной части сохраняется цилиндрическая форма струи без нарушения сплошности движения. В пределах раздробленной части сплошность потока нарушается, причем струя постепенно расширяется. Наконец, в пределах распыленной части струи происходит окончательный распад потока на отдельные капли.

Рис. 5.15. Взаимодействие струи жидкости с неподвижной поверхностью

Рис. 5.16. Составные части свободной струи

Источник