Из 10 л и нескольких сосудов

ТЕМА № 6 «Задачи на переливание»

Задачи на переливание — один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов. Однако данный вид логических задач целесообразно рассматривать и с учащимися среднего звена (7-8 классы).

 Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

– все сосуды без делений,

– нельзя переливать жидкости “на глаз”

– невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

Ø  знаем, что сосуд пуст,

Ø  знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

Ø  в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

Ø  в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

Ø  в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Рассмотрим задачи.

Задача № 1. Отмерить 3 л, имея сосуд 5 л.

Какое наименьшее число переливаний потребуется для того, чтобы в четырехлитровую кастрюлю с помощью крана и пятилитровой банки налить 3 литра воды? 

Наливаем кастрюлю.

Переливаем воду из кастрюли в банку.

Наливаем кастрюлю.

Доливаем полную банку, и в кастрюле остается 3 литра.

Задача № 2. Винни-Пух и пчелы.

Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал? 

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. 
Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:

Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг). Задача решена. 
Поиск решения можно было начать с такого действия: к трем литрам добавить 1 литр. Но тогда решение будет выглядеть следующим образом:

Задача № 3. Бэтмен и Человек-Паук.

Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу. 

Ход рассуждений таков: 
Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8-литровый перелить из 5-литрового 5 литров, потом еще три. 
Решение задачи показано в таблице:

Задача № 4. Парное молоко.

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение:

Будем “шаги” переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

Задача № 5. Деление 10 л поровну, имея сосуды 3, 6 и 7 л.

Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в 6-литровом сосуде (4 л) и в 7-литровом (6 л), пользуясь этими и 3-литровым сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется? 

В скобках – второй вариант решения.

Задача № 6. Молоко из Простоквашино.

Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Переливаем из 8-литрового ведра 5 литров молока в 5-литровое. Переливаем из 5-литрового бидона 3 литра в 3-литровый бидон. 
Переливаем их теперь в 8-литровое ведро. Итак, теперь 3-литровое ведро пусто, в 8-литровом 6 литров молока, а в 5-литровом – 2 литра молока. 
Переливаем 2 литра молока из 5-литрового бидона в 3-литровый, а потом наливаем 5 литров из 8-литрового ведра в 5-литровый бидон. Теперь в 8-литровом 1 литр молока, в 5-литровом – 5, а в 3-литровом – 2 литра молока. 
Доливаем дополна 3-литровый бидон из 5-литрового и переливаем эти 3 литра в 8-литровое ведро. В 8-литровом ведре стало 4 литра, так же, как и в 5-литровом бидоне. Задача решена.

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача № 7. Набрать 7 л воды из речки.

У подножья высокого холма, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Задача № 8. Том Сойер.

Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Задача № 9. Губка Боб.

Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

Существенным недостатком табличного способа решения является отсутствие четкого алгоритма действий, невозможность предвидеть ближайшие шаги. Составлять такие таблицы можно довольно долго, так и не придя к нужному результату.

Механизировать решение этих задач с помощью «умного» шарика предложил в книге «Занимательная геометрия». Для каждого случая предлагалось строить биль­ярдный стол особой конструкции, длины двух сторон которого численно равны объему двух меньших сосудов. Далее, из острого угла этого стола вдоль одной из сторон нужно «запустить» шарик, который по закону «угол падения равен углу отражения» будет сталкиваться с бортами стола, показывая тем самым последовательность переливаний. На бортах стола нанесена шкала, цена деления которой соответствует выбранной единице объема. В результате движения шарик либо ударяется о бортик в нужной точке (тогда задача имеет решение), либо не ударяется (тогда считается, что задача решения не имеет). 

Предложим еще один способ решения задач на переливание — с помощью векторов. Построим прямоугольную систему координат хОу (для решения потребуется только первая четверть). На оси Ох отметим точки, координаты которых кратны объему а одного из двух меньших сосудов. Через отмеченные точки проведем пунктиром прямые х = а, х = 2а, …, х = kа.
Эти прямые покажут нам, что сосуд объемом а полон и его нужно опорожнить. На оси Оу отметим точку, координата которой численно равна объему второй из меньших емкостей, то есть b. Проведем через нее пунктирную прямую у = b, которая поможет нам определить точки очередного наполнения второго сосуда. Наполнение емкости, объем которой отметили на оси Оу, будем показывать векторами, направленными вертикально вниз. Переливание из этого сосуда в тот, объем которого указан на оси Ох, изобразим векторами, направленными по диагонали вниз. И, наконец, опорожнение последней емкости будет выглядеть в виде вектора, направленного вертикально вверх. Для контроля рядом с концами векторов будем записывать остаток или то, что перелили. Если искомое число получим на оси Ох, то это количество жидкости, накопленной в сосуде объема а, если оно окажется на одной из вертикальных линий, то необходимая величина находится в сосуде объема b. Начерченные векторы являются последовательными шагами решения задачи. 

Для примера решим задачу: 
Разделить содержимое наполненной бочки в 12 ведер пополам при помощи бочек в 9 и 7 ведер.

Построим прямоугольную систему координат так, как описано выше. Вертикальный вектор, направленный вниз к метке 9 — это первый шаг: наполнение 9-ведерной бочки. Вектор 9–2 по диагонали вниз — переливание воды из 9-ведерной в 7-ведерную бочку. Метка 2 означает, что в средней (9-ведерной) бочке осталось 2 ведра воды. Так как меньшая емкость полна (мы дошли до пунктирной линии), то ее следует опорожнить, то есть вылить содержимое в 12-ведерную бочку — вектор направлен вертикально вверх. Следующий ход — вылить оставшиеся в средней бочке 2 ведра воды в меньшую (вектор 2–2). Поскольку вектор показывает на ось Ох, то это означает, что 9-ведерная бочка пуста, ее нужно вновь наполнить (вектор направлен вертикально вниз до метки 9). Продолжаем при помощи средней бочки наполнять меньшую (вектор по диагонали), оценивая каждый раз при наполнении одной из них содержимое другой и указывая оставшееся число ведер рядом с концом вектора. Продолжая действовать таким образом, скоро обнаруживаем в средней бочке необходимые 6 ведер воды. Эту задачу можно решить иначе, поменяв местами обозначения для 7- и 9-ведерной бочек на координатных осях. Тогда решение достигается с помощью большего количества шагов.