Из сосуда емкостью 54 литра наполненного кислотой
Занятие математического кружка «Задачи на разбавление»
Примеры решения задач
Задача 1.
Из бака, наполненного спиртом, отлили часть спирта и долили до прежнего объема водой, затем из бака отлили столько же литров смеси, сколько в первый раз отлили спирта, после чего в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спирта отлили из бака в первый и во второй раз, если в баке содержалось 64 л ?
Решение:
Пусть х литров спирта отлили в первый раз, тогда (64 – х) литров спирта осталось в баке.
После того, как в бак долили воды, в нем стало 64 литра смеси.
литров спирта содержится в 1 л смеси;
( )∙х литров спирта отлили во второй раз.
Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров спирта, или 64 – 49 = 15 литров спирта.
Составим и решим уравнение:
х + ( )∙х = 15,
64х + 64х – = 64 ∙ 15
Решив квадратное уравнение, получим корни 8 и 120.
Т.к. 120>64, то 120 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, 8 л спирта отлили в первый раз.
∙ 8 = 7 л спирта отлили во второй раз.
Ответ: 8 л, 7 л.
Задача 2.
В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор соляной кислоты?
Решение:
Пусть х литров 100 %-ной соляной кислоты отлили в первый раз, тогда (12 – х) литров кислоты осталось в сосуде.
После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 12 литров смеси.
литров кислоты содержится в 1 л смеси;
( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.
Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты.
Значит, осталось 12 – х – ( )∙х или 25 % от 12 л т.е. 0,25 ∙ 12 = 3 литра кислоты.
Составим и решим уравнение:
12 – х – ( )∙х = 3,
144 – 12х – 12х + = 36,
– 24х + 108 = 0,
Решив квадратное уравнение, получим корни 6 и 18.
Т.к. 18>12, то 18 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 12 л жидкости невозможно вылить 18 л жидкости).
Значит, 6 л жидкости отливали каждый раз.
Ответ: 6 л.
Решите самостоятельно
Условия задач:
Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой. После этого из сосуда опять вылили столько же литров смеси, при этом в сосуде осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость сосуда 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый и во второй раз?
В сосуде было 18 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор кислоты?
Ответы и решение задач:
Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой. После этого из сосуда опять вылили столько же литров смеси, при этом в сосуде осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость сосуда 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый и во второй раз?
Решение:
Пусть х литров кислоты отлили в первый раз, тогда (54 – х) литров кислоты осталось в сосуде.
После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 18 литров смеси.
литров кислоты содержится в 1 л смеси;
( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.
Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты или 54 – 24 = 30 литров кислоты.
Составим и решим уравнение:
х + ( )∙х = 30,
54х + 54х – = 30 ∙ 54,
– 108х + 1620 = 0,
Решив квадратное уравнение, получим корни 18 и 90.
Т.к. 90>54, то 27 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 54 л жидкости невозможно вылить 90 л жидкости).
Значит, 18 л кислоты отлили в первый раз.
( )∙18 = 12 литров кислоты отлили во второй раз.
Ответ: 18л, 12л.
В сосуде было 18 литров кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25 %-ный раствор кислоты?
Решение:
Пусть х литров кислоты отлили в первый раз, тогда (18 – х) литров кислоты осталось в сосуде.
После того, как в сосуд долили воды, в нем стало 18 литров смеси.
литров кислоты содержится в 1 л смеси;
( )∙х литров кислоты отлили во второй раз.
Следовательно, всего отлили х + ( )∙х литров кислоты.
Значит, осталось 18 – х – ( )∙х или 25 % от 18 л т.е. 0,25 ∙ 18 = 4,5 литров кислоты.
Составим и решим уравнение:
18 – х – ( )∙х = 4,5,
324 – 18х – 18х + = 81,
– 36х + 243 = 0,
Решив квадратное уравнение, получим корни 9 и 27.
Т.к. 27>9, то 27 не удовлетворяет условию задачи (из сосуда, вмещающего 18 л жидкости невозможно вылить 27 л жидкости).
Значит, 9 л жидкости отливали каждый раз.
Ответ: 9 л.
Источник
Довольно часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, разбавлять что-либо водой или наблюдать испарение воды. В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчёты.
Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:
– концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина c = m/M;
– процентным содержанием данного вещества называется величина с× 100%;
Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.
Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2 или c(m1+m2), тогда получаем уравнение: c1m1+c2m2 = c(m1+m2).
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.
Задача №1.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?
Решение.
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x) литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось (54 – х) литров кислоты. Значит, в одном литре смеси содержится литров кислоты. Всего за два раза вылили= 30 литров кислоты. В результате получили уравнение: x + x× = 30.
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров кислоты.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны: не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости. Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Задача №2.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?
Решение.
1 способ
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г – масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение:
0,5x+0,7y=0,65(x+y)
Получаем соотношение 1:3.
Ответ: растворы необходимо смешать в отношении 1:3.
Уравнение к подобным задачам легко составить, если заполнить табличную модель условия задачи:
Концентрация вещества | Масса раствора | Масса вещества | |
1 раствор | 50 % = 0,5 | х | 0,5x |
2 раствор | 70 % = 0,7 | у | 0,7y |
Смесь растворов | 65 % = 0,65 | х + у | 0,65(x + y) |
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.
2 способ
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, г – масса чистой кислоты в первом растворе, а г – масса чистой кислоты во втором растворе, г – масса чистой кислоты в смеси, тогда можно составить равенство: + = ,при упрощении, которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).
С помощью составления таблиц можно решить следующие задачи:
Задача № 3.
При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы.
Решение.
Концентрация вещества | Масса раствора | Масса вещества | |
1 раствор | 20 % = 0,2 | х | 0,2x |
2 раствор | 50 % = 0,5 | у | 0,5y |
Смесь растворов | 30 % = 0,3 | х + у | 0,3(x+y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,2x + 0,5y = 0,3(x+y).
Решив уравнение получим .
Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 1 : 2.
Задача № 4.
Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35% золота, а во втором – 60%. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Решение.
Концентрация золота | Масса сплава | Масса золота | |
1 сплав | 35 % = 0,35 | х | 0,35x |
2 сплав | 60 % = 0,6 | у | 0,6y |
Смесь сплавов | 40 % = 0,4 | х + у | 0,4(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,35x + 0,6y = 0,4(x+y).
Решив уравнение получим .
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 4 : 1.
Задача № 5.
При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
Решение.
Концентрация соли | Масса раствора | Масса соли | |
1 раствор | 40 % = 0,4 | х | 0,4x |
2 раствор | 48 % = 0,48 | у | 0,48y |
Смесь растворов | 42 % = 0,42 | х + у | 0,42(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,4x + 0,48y = 0,42(x + y)
Решив уравнение получим .
Ответ: первый и второй растворы были взяты в отношении 3 : 1.
Задача № 6.
Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 70%, а во втором – 40% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 50% меди?
Решение.
Концентрация меди | Масса сплава | Масса меди | |
1 сплав | 70 % = 0,7 | х | 0,7x |
2 сплав | 40 % = 0,4 | у | 0,4y |
Смесь сплавов | 50 % = 0,5 | х + у | 0,5(x + y) |
Составим уравнение по массе вещества:
0,7x + 0,4y = 0,5(x + y).
Решив уравнение получим .
Ответ: первый и второй сплавы были взяты в отношении 1 : 2.
С помощью составления таблиц легче решаются и задачи другого типа:
Задача № 7.
В ёмкость, содержащую 100 граммов 2% раствора соли, добавили 175 граммов воды, некоторое количество соли и тщательно перемешали полученную смесь. Определите, сколько граммов солибыло добавлено, если известно, что после перемешивания получился раствор, содержащий 2,5% соли.
Решение.
Концентрация соли | Масса раствора, г | Масса соли, г | |
Раствор | 2 % = 0,02 | 100 | 0,02×100=2 |
Вода | 175 | ||
Соль | х | х | |
Смесь | 2,5 % = 0,025 | х + 275 | 0,025(x + 275) |
Составим уравнение по массе вещества:
2 + х = 0,025(x + 275),
х = 5.
Ответ: 5 грамм.
Задача №8.
Для приготовления коктейля используют молоко, жирностью 2%, и мороженое, жирность которого 10%. Сколько грамм мороженого нужно взять, чтобы получить 500 грамм коктейля жирность которого 4%?
Решение.
Концентрация жира | Масса раствора, г | Масса жира, г | |
Молоко | 2 % = 0,02 | 500 – х | 0,02×(500 – х) |
Мороженое | 10% = 0,1 | х | 0,1х |
Коктейль | 4% = 0,04 | 500 | 500 × 0,04 = 20 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,02×(500 – х) + 0,1х = 20,
х = 125.
Ответ: 125 грамм.
Задача №9.
Имеются два сплава, состоящие из олова и железа. В первом сплаве содержится 55% железа и 45% олова, а во втором – 80% железа и 20% олова. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы переплавив их, получить новый сплав, в котором масса железа больше массы олова ровно в три раза?
Решение.
Вещество | Концентрация | Масса сплава | Масса вещества | |
1 сплав | Железо | 55% = 0,55 | х | 0,55х |
Олово | 45% = 0,45 | 0,45х | ||
2 сплав | Железо | 80% = 0,8 | у | 0,8у |
Олово | 20% = 0,2 | 0,2у | ||
смесь | Железо | 0,55х + 0,8у | ||
Олово | 0,45х + 0,2у |
Составим уравнение по массе вещества:
0,55х + 0,8у = 3(0,45х + 0,2у),
Откуда получаем .
Ответ: первый и второй сплавы надо взять в отношении 1 : 4.
Задача №10.
Сплав золота и серебра, содержащий 80% золота, сплавили с некоторым количеством серебра, в результате чего было получено 20 кг нового сплава, содержащего 70% серебра. Определите, сколько килограммов серебра было добавлено?
Решение.
Концентрация серебра | Масса сплава, кг | Масса серебра, кг | |
1 сплав | 20 % = 0,2 | 20 – х | 0,2(20 – x) |
серебро | х | х | |
Новый сплав | 70 % = 0,7 | 20 | 14 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,2(20 – x) + х = 14,
х = 12,5.
Ответ: 12,5 кг.
Задача №11.
Определите, сколько нужно взять литров пресной воды, не содержащей солей, чтобы, смешав эту воду с некоторым количеством морской воды, содержащей 3% солей, получить в результате 60 литров воды, содержащей 1% солей?
Решение.
Концентрация соли | Объём раствора, л | объём соли, кг | |
Морская вода | 3 % = 0,03 | 60 – х | 0,03(60 – x) |
Пресная вода | х | ||
Смесь воды | 1 % = 0,01 | 60 | 0,6 |
Составим уравнение по массе вещества:
0,03(60 – x) = 0,6,
х = 40.
Ответ: 40 литров.
Задача №12.
В химической лаборатории в двух сосудах содержится раствор борной кислоты различной концентрации. В первом сосуде содержится 3 литра раствора, а во втором – 5 литров. Если растворы, находящиеся в этих сосудах, смешать, то получится 44% раствор кислоты. А если смешать равные объёмы этих растворов, то получится 40% раствор. Какова концентрация раствора в первом сосуде?
Решение.
Концентрация кислоты | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | |
1 сосуд | х | 3 | 3х |
2 сосуд | у | 5 | 5у |
Смесь растворов | 44% = 0,44 | 8 | 3,52 |
Из таблицы получаем первое уравнение: 3х + 5у = 3,52.
Концентрация кислоты | Объём раствора, л | объём кислоты, кг | |
1 сосуд | х | 1 | х |
2 сосуд | у | 1 | у |
Смесь растворов | 40% = 0,4 | 2 | 0,8 |
Из второй таблицы получаем второе уравнение: х + у = 0,8.
Имеем систему уравнений:
3х + 5у = 3,52,
х + у = 0,8.
Решив систему, получим х = 0,24 = 24%.
Ответ: концентрация раствора в первом сосуде 24%.
Задача №13.
В двух бочках содержится сахарный сироп различной концентрации. В первой бочке содержится 150 кг сиропа, а во второй – 250 кг. Если весь сироп перемешать, то получится сироп, в котором 30% сахара. А если смешать равные массы сиропа из каждой бочки, то полученный сироп будет содержать 28% сахара. Какова масса сахара, содержащегося во второй бочке?
Решение.
Концентрация сахара | Масса раствора, кг | Масса сахара, кг | |
1 бочка | 150 | х | |
2 бочка | 250 | у | |
Смесь | 30% = 0,3 | 400 | 0,3×400 = 120 |
Из таблицы получаем первое уравнение: х + у = 120.
Смешаем равные массы сиропа, а именно, возьмём по 1 кг сиропа из каждой бочки. Составим вторую таблицу:
Концентрация сахара | Масса раствора, кг | Масса сахара, кг | |
1 бочка | 1 | ||
2 бочка | 1 | ||
Смесь | 28% = 0,28 | 2 | 0,28×2 = 0,56 |
Получаем второе уравнение:
+ = 0,56.
Решим систему уравнений: х + у = 120,
+ = 0,56; из которой получим у = 90.
Ответ: 90 кг сиропа во второй бочке.
Задача №14.
Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400 кг и в нём находится 30 %= 0,3 цинка, то он содержит 400×0,3=120 кг, а во втором сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:
.
Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40% олова, то в 150 кг первого сплава олова будет 150*40/100=60 кг, а во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26% меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав весит 250 кг, то имеем:
х-60+75+65=250, откуда х=170 кг
Ответ: 170 кг.
Задача №15.
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%. Определите, какое количество железа осталось ещё в руде?
Решение.
Сначала составим таблицу, которая помогает зрительно воспринимать данные задачи:
Концентрация железа | Масса руды, кг | Масса железа, кг | |
Руда | 500 | х | |
Руда, после удаления примесей | 300 | х-0,125×200=x-25 |
Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то концентрация железа в ней равна .
Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125×200=25 (кг), то его масса в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна .
По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=0,2. Составим уравнение:
– 0,2=,
5(x-25)-300=3x,
x=212,5.
Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.
Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:
212,5-25=187,5 (кг)
Ответ: 187,5 кг.
Задачи «на смеси и сплавы» решаются множеством способов, но в них всегда присутствует концентрация (доля содержания одного вещества в другом), и они всегда решаются путём составления уравнений.
Источник
Задачи
на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:
- Задаются, например, две
смеси (сплава) с массами m1 и m2 и
с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1
и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется
определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую
концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества
равна c1m1+c2m2,
а концентрация c=(c1m1+c2m2)/(m1+m2). - Задается некоторый объем
смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное
количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или
другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества
или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.
При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством
данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом
доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение.
Рассмотрим конкретные задачи.
Задача №1.
Из сосуда ёмкостью 54 литра, наполненного кислотой, вылили несколько литров
и доли сосуд водой. Потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в
оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 литра чистой кислоты. Сколько кислоты
вылили в первый раз?
Решение.
Пусть x литров кислоты вылили в первый раз. Тогда в сосуде осталось (54-x)
литров. Долив сосуд водой, получим 54 литра смеси, в которой растворилось
(54-х) литров кислоты. Значит в одном литре смеси содержится (54-x)/54литров
кислоты. Всего за два раза вылили 54-24=30 литров кислоты. В результате
получили уравнение: x+x(54-x)/54=30
Решив это уравнение, найдём два корня: х=90 и х=18. Ясно, что значение 90 не
удовлетворяет условию задачи.
Ответ: в первый раз было вылито 18 литров воды.
При решении задач на смеси считается, что рассматриваемые смеси однородны:
не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости.
Концентрацией вещества называется отношение массы этого вещества к массе всей
смеси (раствора, сплава). Концентрация вещества, выраженная в процентах,
называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Задача №2.
В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы
получить раствор 65%-й кислоты?
Решение.
1 способ
Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса
чистой кислоты в первом растворе, (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г –
масса чистой кислоты в смеси. Составим уравнение (рис. 6а):
0,5x+0,7y=0,65(x+y)
Получаем соотношение 1:3.
Ответ: 1:3.
Существует и другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим
(или старинным) способом.
2 способ
Обоснуем старинный способ решения задач «на смеси».
Пусть требуется смешать растворы а%-й и b%-й кислот, чтобы получить
с%-й раствор.
Пусть х г – масса а%-го раствора, y г – масса b%-го раствора, ax/100 г –
масса чистой кислоты в первом растворе, а by/100 г – масса чистой кислоты
во втором растворе, c(x+y)/100 г – масса чистой кислоты в смеси.
ax/100+by/100=c(x+y)/100
,
при упрощении которого станет ясно, что x:y=(b-c):(c-a).
Задача №3.
Имеется два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый
сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в
первом и во втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250
кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Определите,
сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть х кг – количество олова в новом сплаве. Так как новый сплав весит 400
кг и в нём находится 30 % цинка, то он содержит 400*30/100=120 кг, а во втором
сплаве (120-y) кг цинка. По условию задачи процентное содержание цинка в двух
сплавах равно, следовательно, можно составить уравнение:
100y/150=100(120-y)/250
Из этого уравнения находим, что у=45. Поскольку первый сплав содержит 40%
олова, то в 150 кг первого сплава олова будет 150*40/100=60 кг, а
во втором сплаве олова будет (х-60) кг. Поскольку второй сплав содержит 26%
меди, то во втором сплаве меди будет 250*26/100=65 кг. Во втором сплаве олова
содержится (х-60) кг, цинка 120-45=75 (кг), меди 65 кг и, так как весь сплав
весит 250 кг, то имеем:
х-60+75+65=250, откуда х=170 кг
Ответ: 170 кг.
Задача №4.
В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды
200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в
оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа
осталось ещё в руде?
Решение.
Сначала составим таблицу, в которой напишем массу руды, массу железа,
концентрацию (долю железа в рудеапишем массу руды, массу железа, концентрацию
() руде?
нем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20) до
и после удаления примесей.
Масса руды, кг | Масса железа, кг | Концентрация (доля железа в руде) | |
Руда | 500 | х | x/500 |
Руда после удаления примесей | 500-200=300 | х-0,125?200=x-25 | (x-25)/300 |
Пусть х кг – масса железа в руде. Так как масса всей руды равна 500 кг, то
концентрация железа в ней равна x/500%.
Так как масса железа в 200 кг примесей равна 0,125?200=25 (кг), то его масса
в руде после удаления примесей равна (х-25) кг. Из того, что масса оставшейся
руды равна 500-200=300 кг следует, что концентрация железа в ней равна
(x-25)/300.
По условию, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20%=1/5.
Составим уравнение:
(x-25)/300-1/5=x/500,
5(x-25)-300=3x
x=212,5
Найдём, что х=212,5 кг – масса железа в руде.
Найдём остаток железа в руде после удаления примесей:
212,5-25=187,5 (кг)
Ответ: 187,5 кг.
Пример раствора. Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20
грамм соли. Получим расствор, его масса равна 180 + 20 = 200 грамм.
Концентрация соли (процентное содержание соли) – это отношение количества соли
к количеству раствора, записанное в процентах – (20 : 200)100 = 10%,
Процентное содержание воды – (180 : 200)100 = 90%. Результаты запишите в виде
таблицы.
вода | 180 | 90% |
соль | 20 | 10% |
расствор | 200 | 100% |
Пример смеси. Возьмем одно ведро цемента и три ведра песка
высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим
смесь цемента с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация
(процентное содержание цемента) – это отношение количества цемента к количеству
смеси, записанное в процентах – (1 : 4)100 = 25%,
Процентное содержание песка – (3 : 4)100 = 75%. Результаты запишите в виде
таблицы.
цемент | 1 | 25% |
песок | 3 | 75% |
смесь | 4 | 100% |
При решении задач на смеси, растворы и сплавы, мы используем их
общее свойство, которое заключается в том, что масса смеси, раствора или сплава
равна сумме масс их компонентов. Процентное содержание каждого компонента
указывает на отношение массы компонента к массе смеси (раствора или сплава).
При смешивании смесей, растворов или сплавов их общие массы,
также как и массы компонентов складывают.
В этой статье мы везде будем использовать тот факт, что 1%
=0,01.
Задача5. Смешали 4 л 15%-ного раствора соли с 5 л 20%-ного
соли к смеси добавли 1 л чистой воды. Какова концентрация полученной смеси?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что чистая вода
это раствор, содержащий 0 литров соли.
1-й раствор | 2-й раствор | 3-й раствор | смесь | ||||
вода | 100% | ||||||
соль | 15% | 20% | 0% | ||||
расствор | 4 л | 100% | 5 л | 100% | 1 л | 100% | |
Концентрация раствора – это отношение объема (массы) соли к
объему (массе) раствора, записанное в процентах. Чтобы найти ее нам нужно
решить три следующие задачи:
а) найти объем соли в каждом из трех растворов;
б) найти объем соли в смеси;
в) найти объем смеси;
г) найти отношение объема соли, содержащейся в смеси и объема
самой смеси и выразит это отношение в процента.
1. Объем соли в 1-м растворе. 40, 0,15 = 0,6 (л);
2. Объем соли в 2-м растворе . 50,2 = 1 (л);
3. Объем соли в смеси. 0,6 + 1 + 0 = 1,6(л);
4. Объем смеси. 4 + 5 + 1 = 10(л);
5. Концентрация соли в смеси. (1,6 : 10)100 =16%.
Ответ: 16%.
Задача6. Сколько килограммов олова нужно добавить к куску
бронзы массой 4 кг и содержащему 15% олова, чтобы повысить содержание в нем
олова до 25% от общей массы?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая, что смешали два
сплава, причем второй сплавсодержит 100% олова и не содержит остальных
компонентов.
1-й сплав | 2-й сплав | новый сплав | |||
олово | 15% | 100% | 60% | ||
остальные компоненты | 0% | ||||
сплав | 4 кг | ||||
В данной задаче известно процентное содержание компонента,
поэтому мы можем количество этого компонента во втором сплаве считать равнцым х
кг и выражить отношение массы олова в новом сплаек к массе сплава через х .
1. Масса олова в первом сплаве 40,15 =0,6 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х (кг);
3. Масса олова в новом сплаве 0,6 + х (кг);
4. Масса второго сплава х (кг);
5. Масса нового сплава 4 + х (кг);
6. Отношение массы олова в новом сплаве к массе нового сплава
(0,6 + х):(4 + х), по условию задачи оно должно быть равно 0,6. Имеем уравнение
(0,6 + х):(4 + х) = 0,6. Это уравнение равносильно уравнению
5(0,6 + х) = 3(4 + х);
5х – 3х = 12 – 3;
х = 4,5.
Ответ: 4,5 кг.
Задача7. Сплав меди и олова массой 10 кг содержит 70%
олова. К этому сплаву добавили 8 кг меди. Сколько нужно добавить килограмм
олова, чтобы его концентрация стала в 3 раза больше, чем концентрация меди?
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы, считая что к первому
сплаву добавили второй сплав содержащий х кг олова и 8 кг меди.
1-й сплав | 2-й сплав | новый сплав | |||
олово | 70% | х кг | 3 | ||
медь | 8 кг | 1 | |||
сплав | 10 кг | 100% | 100% | 100% | |
По условию задачи концентрация меди в новом сплаве должна быть в
три раза выше, чем концентрация олова. Этот факт мы используем для составления
уравнения. Пусть концентрация меди равна t%, тогда концентрация олова 3t%, так как суммарная концентрация меди и олова должна быть
равной 100% (других компонентов в сплаве нет), имеем уравнение t + 3t = 100, откуда концентрация меди равна
25%, а концентрация олова равна 75%.
1. Масса олова в первом сплаве 100,7 = 7 (кг);
2. Масса олова во втором сплаве х кг;
3. Масса олова в новом сплаве х + 7 (кг);
4. Масса ноавого сплава 10 + 8 + х (кг)
5. Концентрация олова в новом сплаве (х + 7):( 18 +х), имеем
второе уравнение.
(х + 7):( 18 + х) = 0,75;
4(х + 7) = 3(18 + х);
4х – 3х = 54 – 28;
х = 26.
Ответ: 26 кг.
Задача 8. Первоначально влажность зерна составляла 25%.
После того как 200 кг зерна просушили, оно потеряло в массе 30 кг. Вычислить
влажность просушенного зерна.
Рещение.
В данной ситуации мы имеем дело не с раствором, а со смесью
“твердого” зерна и воды. Запишем условие задачи в виде таблицы,
учитывая тот факт, что сушка приводит к уменьшению массы воды в смеси и массу
самой смеси.
1-я смесь | 2-я смесь | |||
вода | m | 25% | m – 30 | ? |
зерно | ||||
смесь | 200 кг | 100% | 200-30 | 100% |
1. Масса воды в 1-й смеси 200 0,25 = 50 (кг);
2. Масса 2-й смеси 50 – 30 = 20 (кг);
3. Масса второй смеси 200 – 30 = 170 (кг);
4. Процент влажности второй смеси (20:170)100 =11,8%.
Ответ: 11,8%..
Задача 9. Сухие грибы содержат 12% воды, а свежие – 90%
воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг сежих грибов?
Решение.
свежие грибы | сухие грибы | |||
вода | 90% | 12% | ||
“мякоть” | ||||
смесь | 22> кг | 100% | ? | 100% |
При сушке грибов, ягод, фруктов происходит испарение воды,
поэтому масса воды уменьшается, а масса “мякоти” сохраняется
неизменной.
1. Процентное содержание “мякоти” в свежих грибах 100%
– 90% = 10%;
2. Масса “мякоти” 22 0,1 = 2,2 (кг);
3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% – 12% = 88%;
4. Пусть масса сушенных грибов х (кг);
5. Отношение массы “мякоти” к массе сушенных грибов 2,2
: х, что по условию задачи равно 0,88.
Имеем уравнение 2,2 : х = 0,88;
х = 2,2:0,88;
х = 2,5;
Ответ: 2,5 кг.
Задача 10. Сначала приготовили 25% раствор поваренной
соли. Затем одну треть воды испарили. Найти концентрацию получившегося
раствора.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
раствор | новый раствор | ||
соль | 25% | ? | |
вода | -1/3 | ||
раствор | 100% | 100% | |
Процентное содержание воды в растворе 100% – 25% = 75%.
Пусть масса раствора была х кг, тогда масса соли в растворе 025х
кг, масса воды 0,75х кг.
Одну треть воды испарили, значит, уменьшилась как масса воды в
растворе, так и масса самого раствора, количество соли в растворе не
изменилось.
Масса воды в новом растворе 0,75х – 0,25х = 0,5х (кг).
Масса нового раствора х – 0,25х = 0,75х (кг).
Концентрация нового раствора (0,25х : 0,75х)100 = 33,7%.
Ответ: 33,7%.
Задача 11.Имеется 1 литр 6% раствора спирта. Сколько литров
3%-ного раствора спирта нужно добавить в первй раствор, чтобы получить 5%
раствор.
Рещение.
Запишем условие задачи в виде таблицы.
1-й раствор | 2-й раствор | новый раствор | |||
спирт | 6% | 3% | 5% | ||
вода | |||||
раствор | 1 л | 100% | ? | 100% | |
Рещение.
Объем спирта в 1-м растворе 10,06=0,06 (л).
Пусть объем второго раствора равен х л.
Объем спирта во втором растворе 0,03х (л).
Объем спир