Из сосуда откачивают воздух насосом объем

2017-10-05   
Имеется сосуд объемом $V$ и поршневой насос с объемом камеры $V^{ prime}$ (рис. 1). Сколько качаний нужно сделать, чтобы давление в сосуде уменьшилось от $p$ до $p^{ prime}$? Атмосферное давление равно $p_{0}$. Изменением температуры пренебречь.

Решение:

Мы, естественно, считаем, что начальное давление $p$ не превосходит наружного давления $p_{0}$, иначе можно сначала просто выпустить излишек газа.

Эту задачу можно решить, используя закон Бойля — Мариотта, хотя в процессе откачки масса газа в сосуде изменяется. Действительно, рассмотрим первый ход поршня влево; при этом клапан А закрыт, клапан В открыт и газ из сосуда входит в камеру насоса. Давление газа уменьшается от первоначального значения до некоторого $p_{1}$. Поскольку процесс изотермический и масса газа при этом не меняется, можно воспользоваться законом Бойля — Мариотта:

$pV = p_{1}(V + V^{ prime})$. (1)

При обратном ходе поршня клапан В закрывается, и воздух из камеры насоса выталкивается наружу через клапан А. При втором ходе поршня влево все повторяется точно так же, только давление в начале хода в сосуде равно $p_{1}$. Обозначая давление в конце второго хода через $p_{2}$, имеем

$p_{1}V = p_{2}(V + V^{ prime})$.

Подставляя сюда $p_{1}$ уравнения (1), находим

$p_{2} = p left ( frac{V}{V + V^{ prime}} right )^{2}$.

Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после $n$ ходов поршня давление в сосуде будет равно

$p_{n} = p left ( frac{V}{V+V^{ prime}} right )^{n}$. (2)

По формуле (2) определяется число качаний $n$, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения $p_{n} = p^{ prime}$:

$n = frac{lg (p^{ prime} / p)}{lg [V / (V + V^{ prime})]}$.

рис.2

Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний $n$. Это есть график показательной функции с основанием $V/(V + V^{ prime})

Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха в сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний $n$ может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление $p_{min}$, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого — существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т. п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остается пусть даже очень маленький, но конечный объем $Delta V$. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Это и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде $p_{min}$ воздух, сжатый от первоначального объема камеры $V^{ prime}$ до объема $Delta V$, будет иметь давление не выше атмосферного $p_{0}$ и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие

$p_{min} V^{ prime} = p_{0} Delta V$, откуда $p_{min} = p_{0} Delta V/V^{ prime}$. (3)

Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединенных последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объем, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени.

546. Одинаковую ли массу имеет чистый сухой воздух объемом 1 м3, взятый на первом этаже и в любой комнате на высоте 230 м здания Московского университета? Результаты поясните.
Масса воздуха объемом 1 м3 на высоте 230 м будет меньше массы воздуха такого же объема на первом этаже, гак как плотность с увеличением высоты уменьшается.

547. Ученик подсчитал, что за истекшие сутки масса воздуха, прошедшего через его легкие, составляет 15 кг. Какой объем при нормальном давлении и температуре занимает воздух, прошедший через легкие ученика? Сравните этот объем с объемом воздуха, заполняющего вашу комнату.

548. Почему при откачивании воздуха вода поднимается в трубке В, а не в трубке А (рис. 151)?
Поскольку сосуд В соединен трубкой с атмосферой давление в нем будет равно сумме атмосферного давления и давления столба жидкости, т.е. всегда больше атмосферного. Поэтому при откачивании вода будет подниматься в трубке В.

549. Почему не выливается вода из опрокинутой бутылки, если горлышко ее погружено в воду (рис. 152)?
Потому что давление, оказываемое столбом воды в бутылке, меньше атмосферного (рис.152)

550. Мальчик сорвал с ветки лист, приложил его ко рту, и, когда втянул воздух, лист лопнул. Почему лопнул лист?
Когда мальчик втянул воздух, давление в полости рта стало меньше атмосферного, и поэтому лист лопнул.

551. Пока кран К закрыт, вода из трубки не выливается (рис. 153). При открывании крана уровень воды в трубке опускается до уровня воды в сосуде. Почему?
При закрытом кране вода из трубки не выливается потому, что атмосферное давление больше, чем давление, создаваемое столбом жидкости в трубке. При открытии крана атмосферное давление действует также на столб жидкости в трубке. В результате вода выливается.

552. В некоторых тракторах горючее из бака к цилиндру двигателя поступает самотеком. Объясните, почему прекращается поступление горючего, если засорится специальное отверстие, оставляемое в пробке, закрывающей верхнее отверстие бака.
Если специальное отверстие в баке засорится, то бак перестает сообщаться с атмосферой. Таким образом, давление у выходного отверстия бака может оказаться меньше, чем давление оказываемое горючим, и оно перестает поступать к двигателю.

553. Вода из верхней пробирки (рис. 154) выливается. Почему при этом внутренняя пробирка поднимается кверху?
Объясняется это тем, что сила давления атмосферного воздуха, действующая внутри пробирки, превышает силу тяжести самой пробирки, сложенную с весом жидкости.

554. Сосуд «наказанное любопытство» устроен так: в дне сосуда проделаны узкие отверстия. Если сосуд наполнить водой и закрыть пробкой, вода из сосуда через отверстия не выливается. Если открыть пробку, то вода потечет из всех отверстий на дне сосуда. Объясните почему.
Когда пробка закрыта, давление столба жидкости в сосуде будет меньше атмосферного, и поэтому вода не будет выливаться. Как только мы откроем пробку, давление на дно будет складываться из атмосферного и давления столба жидкости в сосуде и станет больше атмосферного. В результате вода начнет выливаться через отверстия.

555. Удастся ли опыт Торричелли, если барометрическую трубку с ртутью поставить открытым концом не в чашку с ртутью, а в чашку с водой?
Нет. Ртуть выльется, и трубка заполнится водой.

556. Почему в жидкостных барометрах используют ртуть, а не воду?
Потому что плотность ртути заметно больше плотности воды.

557. Под колоколом воздушного насоса (рис. 155) находятся закрытый и открытый сосуды, соединенные стеклянной трубкой. В закрытом сосуде находится немного воды. Что произойдет, если воздух откачать из-под колокола воздушного насоса; вновь впустить под колокол насоса?
Если воздух из под колокола откачать, то вода из закрытого сосуда начнет переливаться в открытый, т.к. давление в закрытом сосуде будет больше. Если же воздух вновь пустить, то вода начнет переливаться из открытого сосуда в закрытый.

558. Высоту какого столба жидкости следует брать для расчета давления жидкости на дно сосуда (рис. 156)? Объясните почему.
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба воды в открытом сосуде, а не в перевернутой трубочке. В последней уровень воды выше за счет действия атмосферного давления на поверхность жидкости в открытом сосуде.

559. Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчете давления ее на дно сосуда (рис. 157)?
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба воды в открытом сосуде, а не в перевернутой трубочке. В последней сила давления воздуха и столба воды в трубочке уравновешивается силой атмосферного давления.

560. Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчете давления ее на дно сосуда (рис. 158)? Почему?
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба жидкости в правом сосуде, так как давления воздуха и столба воды в левой трубке до уровня поверхности ее в открытом сосуде уравновешиваются атмосферным давлением.

561. а) Анероид показывает давление 1013 гПа. Определите, какая высота столба ртути соответствует этому давлению в трубке Торричелли, установленной вертикально, как показано на рисунке 159 (слева).
б) Почему, если трубку наклонить (рис. 159, справа), верхний уровень ртути в трубке относительно поверхности ртути в сосуде останется неизменным?

562. Ученик утверждал, что показания барометра за окном комнаты должны быть больше, чем в комнате, поскольку на улице на него действует значительно больший столб атмосферного воздуха. Докажите, что такое утверждение ошибочно.
Давления воздуха внутри и вне комнаты практически одинаковы. Если бы давление воздуха в комнате было меньше атмосферного, то воздух снаружи проникал бы в комнату до тех пор, пока давления не выровнялись бы.

563. В трубке, наполненной ртутью, отверстие А закрыто пробкой (рис. 160). Что произойдет, если вытащить пробку из отверстия?
Часть ртути, которая находится над пробкой, под действием атмосферного давления поднимется и останется прижатой к верхнему запаянному концу трубки, а остальная ртуть выльется в сосуд.

564. На рисунке 161 изображена схема простейшей модели анероида. Куда отклонится конец стрелки, если атмосферное давление увеличится; уменьшится?
Если атмосферное давление увеличится, то стрелка анероида отклонится вправо. Если атмосферное давление уменьшится, то стрелка анероида отклонится влево.

565. Пассажирские дальнемагистральные самолеты совершают перелеты на высоте больше 10 000 м. Зачем корпус самолета делают герметичным?
Самолеты делают герметичными потому, что на высоте порядка 10 км наружного воздуха очень мало, для того, чтобы им можно было нормально дышать.

566. Зачем космонавту нужен скафандр?
Скафандр необходим не только для дыхания, но и для защиты от космического облучения.

567. Изменится ли объем двух одинаковых мыльных пузырей (рис. 162), если, например, левую трубку опустить?
Если левую трубку опустить, то объем левого мыльного пузыря незначительно уменьшится, а правого незначительно увеличится. Объясняется это тем, что атмосферное давление внизу больше, чем вверху.

568. На рисунке 163 представлен один и тот же стратостат на различных высотах над Землей. Какому из положений стратостата соответствует большая высота подъема? На основании чего вы делаете свои выводы?
Большая высота подъема соответствует правому изображению стратостата, так как здесь давление наружного воздуха меньше, и в меньшей степени растягиваются канаты.

569. Можно ли для опыта Торричелли воспользоваться трубками, изображенными на рисунке 164? (Длина самой короткой из них 1 м.)
Да. Форма трубки значения не имеет, важно только, чтобы ее высота была больше 76см (рис. 164).

570. Больше или меньше атмосферного давление газа в сосуде (рис. 165)? Какова разница в давлении между газом в сосуде и наружным воздухом, если разность уровней ртути в манометре равна 7 мм?
Давление газа в сосуде меньше атмосферного на 7 мм.рт.ст.

571. Через отверстие А (рис. 166) насос откачивает воздух. Почему при этом жидкости поднимаются по трубкам? Почему уровень керосина выше уровней воды и ртути? Высота столба керосина 90 см. Чему равны высоты столбов воды и ртути?
Жидкости поднимаются по трубкам, так как давления воздуха в них меньше атмосферного. Уровень керосина выше уровней воды и ртути потому, что у него самая маленькая плотность (рис. 166).

572. В один и тот же час в течение нескольких суток учащиеся одной из школ Санкт-Петербурга отмечали атмосферное давление и по полученным данным построили кривую суточного изменения давления (рис. 167). Сколько дней велся учет давления? Какое самое малое давление было отмечено? Каким было самое большое давление? (Выразите эти давления в гектопаскалях.) Сколько дней давление было выше нормального? На сколько изменилось давление между седьмыми и восьмыми сутками?
Учет давления велся 16 дней. Было отмечено самое малое атмосферное давление, равное 750 мм рт.ст. = 1000 гПа, и самое большое, равное 770 мм рт.ст. = 1026 гПа. Шесть дней давление было выше нормального. Между седьмыми и восьмыми сутками давление увеличилось на 6 мм рт.ст., то есть на 8 гПа.

573. Рассчитайте силу, с которой воздух давит на площадь тетради, раскрытой перед вами книги. (Отличием температуры воздуха от 0 °С и высотой над уровнем моря пренебречь.)

574. Рассчитайте силу, с которой воздух давит на поверхность стола, который имеет длину 1,2 м, ширину 60 см (принимая атмосферное давление равным 105 Па).

575. Определите давление газа в баллоне (рис. 168) при нормальном внешнем атмосферном давлении. (В манометре находится ртуть.)

576. На какой высоте летит самолет-опылитель, если барометр в кабине летчика показывает 100 641 Па, а на поверхности Земли давление нормальное?

577. При входе в метро барометр показывает 101,3 кПа. Определите, на какой глубине находится платформа станции метро, если барометр на этой платформе показывает давление, равное 101674 Па.

578. Каково показание барометра на уровне высоты Останкинской телевизионной башни (540 м), если внизу башни барометр показывает давление 100 641 Па?

579. Рассчитайте давление атмосферы в шахте на глубине 840 м, если на поверхности Земли давление нормальное.

580. Определите глубину шахты, если на ее дне барометр показывает 109 297 Па, а на поверхности Земли — 103 965 Па.

581. У подножия горы барометр показывает 98642 Па, а на ее вершине — 90 317 Па. Используя эти данные, определите высоту горы.

582. Первый в мире выход из космического корабля в космическое пространство совершил А. Леонов. Давление в скафандре космонавта составляло 0,4 нормального атмосферного давления. Определите числовое значение этого давления.