Из сосуда содержащего 2 белых и 4 черных шара

2.4. Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом опыте одинакова и равна 0,2. Опыты проводятся последовательно до наступления этого события. Определить вероятность того, что: а) придётся проводить четвёртый опыт; б) будет проведено четыре опыта.

2.5. Три стрелка одновременно стреляют по одной мишени. Вероятности попадания при одном выстреле соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что при одновременном залпе этих стрелков в мишени будет: а) только одно попадание; б) хотя бы одно попадание.

2.6. Из урны, содержащей шесть белых и четыре чёрных шара, наудачу последовательно по одному извлекаются шары до первого появления шара чёрного цвета. Найти вероятность того, что придётся производить четвёртое извлечение, если шары берутся: а) без возвращения; б) с возвращением в урну после фиксирования его цвета.

2.7. Вероятность того, что изготовленная на первом станке деталь будет первосортной равна 0,7. Для детали изготовленной на втором станке эта вероятность равна 0,8. На первом станке изготовлены две детали, на втором – три. Найти вероятность того, что все пять деталей будут первосортными.

2.8. Определить вероятность того, что наудачу выбранное натуральное число: а) не делится ни на два, ни на три; б) не делится или на два, или на три.

2.9. На пяти карточках написано по одной букве так, что они составляют слово «колос». Карточки перемешиваются, а затем раскладываются наудачу снова в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «сокол»?

2.10. На шести карточках написано по одной букве так, что они составляют слово «карета». Карточки перемешиваются, а затем раскладываются наудачу снова в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «ракета»?

2.11. Для сигнализации об аварии установлены два работающих независимо друг от друга сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95, а того, что сработает второй сигнализатор – 0,9. Найти вероятность того, что: а) при аварии сработает только один сигнализатор; б) при аварии сработает хотя бы один сигнализатор.

2.12. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, а потому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в три места.

2.13. Из урны, содержащей два чёрных и два белых шара, два игрока поочерёдно без возвращения извлекают шары. Выигрывает тот, кто первым извлечёт белый шар. Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.14. Два игрока подбрасывают по две монеты. Выигрывает тот, у которого выпадет больше гербов. В случае выпадения равного числа гербов подбрасывания продолжаются до первого положительного результата. Определить вероятности выигрыша игры для каждого игрока. Какова вероятность того, что игрок A выиграет игру при третьем бросании? Какова вероятность того, что игроки сделают ровно три бросания? Какова вероятность того, что игроки сделают больше трёх бросаний?

2.15. Три орудия поочерёдно стреляют по одной мишени до первого попадания в неё. Вероятности попадания при одном выстреле у них равны соответственно: 0,6; 0,5 и 0,4. Определить вероятность того, что цель будет поражена, если каждое орудие может сделать не более трёх выстрелов. Какова вероятность того, что цель будет поражена при четвёртом выстреле? Какова вероятность того, что на поражение цели будет израсходовано не более трёх снарядов?

2.16. В коробке находятся 6 катушек с белыми нитками, 4 катушки с чёрными нитками и 2 катушки с красными нитками. Катушки извлекаются по одной без возвращения. Определить вероятность того, что катушка с белыми нитками появится раньше катушки с чёрными нитками.

2.17. Из полной колоды карт (52 штуки) последовательно по одной извлекаются три карты, причём карта чёрной масти сразу возвращается в колоду, а карта красной масти – не возвращается. Определить вероятность того, что третья извлечённая карта будет красной масти.

2.18. В урне находятся n шаров с номерами от 1 до n. Наудачу проводится m извлечений по одному шару с возвращением извлечённого шара после фиксирования его номера в урну. Определить вероятность того, что ни один шар не появится более одного раза.

2.19. В обществе, состоящем из 2n человек, одинаковое число мужчин и женщин. Места за круглым столом занимаются наудачу. Определить вероятность того, что два лица одного пола не займут места рядом.

2.20. В урне находятся n+m одинаковых шаров, из которых n– белого, а m– чёрного цвета . Производятся подряд без возвращения n извлечений по два шара. Определить вероятность того, что каждый раз извлекались пары шаров разного цвета.

2.21. В урне имеются два шара – белый и чёрный. Производятся извлечения по одному шару до тех пор, пока не появится чёрный шар, причём при извлечении белого шара этот шар возвращается в урну и при этом добавляются ещё два белых шара. Определить вероятность того, что при первых пятидесяти извлечениях чёрный шар не будет извлечён.

2.22. Игрок А поочерёдно играет с игроками В и С, имея вероятность выигрыша в каждой партии p, и прекращает игру после первого проигрыша или после двух партий, сыгранных с каждым игроком. Определить вероятности выигрыша игры A,B и С. Как изменяются вероятности выигрыша всей игры для каждого из игроков, если ; ?

2.23. Из урны, содержащей nшаров с номерами от 1 до n, последовательно извлекают два шара, причём первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Определить вероятность того, что шар с номером 2 будет извлечён при втором извлечении.

2.24. Студент успел выучить 20 из 25 вопросов программы. Зачёт считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из четырёх предложенных вопросов программы. Какова вероятность того, что: а) студент сдаст зачёт; б) зачёт будет сдан, если он правильно ответит на первые два вопроса и хотя бы на один из двух оставшихся; в) зачёт будет сдан, если известно, что на первые два из четырёх вопросов он уже дал правильные ответы?

2.25. В урне находятся 5 белых, 7 красных и 9 синих шаров. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что все извлечённые шары одинакового цвета? Какова вероятность, того, что эти шары – синие, если известно, что они одинакового цвета и не белые?

2.26. Из колоды карт (36 штук) наудачу извлекаются сразу три карты. Определить вероятность того, что это будут три «дамы», если известно, что это три карты – «картинки».

2.27. Общество, состоящее из n мужчин и 2n женщин, разбивается на n групп по три человека. Какова вероятность того, что в каждой группе будет только по одному мужчине?

2.28. В учебнике «Курс теории вероятностей» говорится, что однажды был зарегистрирован факт, когда при раздаче тридцати шести карт между четырьмя партнёрами каждый получил девять карт только одной масти. Найти вероятность такого события. Оценить приблизительно величину этой вероятности.

2.29. Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.30. Трое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.

2.31. В урне находятся n белых и m черных шаров. Два игрока поочерёдно извлекают по одному шару, возвращая каждый раз шар обратно, если он – чёрного цвета. Выигрывает тот, у которого первым появится шар белого цвета. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков. Можно ли заранее, при формировании состава урны определить такие числа n и m, при которых игра станет «справедливой»?

2.32. Два стрелка поочерёдно стреляют по одной мишени до первого попадания в неё. Вероятность попадания при одном выстреле у первого стрелка равна , у второго стрелка эта вероятность равна . Найти вероятность того, что первый стрелок сделает больше выстрелов, чем второй. Чему равна вероятность того, что количества сделанных стрелками выстрелов будут одинаковыми? Может ли второй стрелок сделать больше выстрелов, чем первый?

2.33. Упростить вид общей формулы вероятности суммы n случайных событий для случаев, когда совпадают значения вероятностей произведений равных количеств событий-сомножителей.

2.34. В урне имеются n одинаковых шаров с номерами от 1 до n. Все шары извлекаются по одному без возвращения и располагаются в ряд в порядке появления. Определить вероятность того, что хотя бы при одном извлечении номер шара совпадёт с номером его извлечения. Чему равен предел значения этой вероятности, если ?

2.35. В помещении, насчитывающем п пронумерованных мест, nлицам выдали n номерных билетов. Какова вероятность того, что ровноmлиц окажутся на местах, соответствующих номерам билетов, если все места занимаются наудачу?

2.36. В электропоезд, состоящий из n вагонов, входят k пассажиров , каждый из которых выбирает вагон наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдёт хотя бы один пассажир.

2.37. Два игрока играют до победы, причём для этого первому необходимо выиграть mпартий, а второму – n партий. Вероятность выигрыша одной партии первым игроком равна p, а вторым – q, . Определить вероятности выигрыша всей игры каждым из игроков.

2.38.В партии, содержащей п изделий, – т бракованных. Для проверки наудачу выбирается s изделий. Партия бракуется, если среди выбранных изделий окажется более чем k бракованных изделий. Определить вероятность того, что партия будет забракована.

2.39. Рассматриваются три попарно независимых события, которые, однако, все вместе произойти не могут. Предполагая, что все они имеют одну и туже вероятность появления, которая равна p, определить значение p, при котором вероятность появления хотя бы одного из этих трёх событий будет максимальной. Чему равна эта максимально возможная вероятность?

2.40. В урне находятся M белых и Nчёрных шаров. Без возвращения извлекаются k шаров . Известно, что среди этих k шаров есть m шаров белого цвета. Какова вероятность того, что и остальные шаров имеют белый цвет?

2.41. Определить вероятность того, что написанная наудачу простая дробь будет несократимой. (Задача Чебышева).

Ответы

2.1. . . .

2.2. . .

2.3. .

2.4. а) , ;

б) , . 2.5. а) 0,092; б)0,496.

2.6. а) ; б). 2.7. . 2.8. а) ; б) . 2.9. . 2.10. . 2.11. а)0,14; б)0,995. 2.12. 0,3. 2.13. ; . 2.14. Обозначим: «при том бросании у игрока A выпало больше гербов»;

«при том бросании у игрока B выпало больше гербов»;

«при том бросании у игроков были равные количества гербов». Тогда событие A – «игрок Aвыиграл игру» записывается так: . Аналогично записывается событие B. , . Так как игроки находятся в равных условиях, то: . . . 2.15. 0,998272; 0,072; 0,88.

2.16. . 2.17. Обозначим: «i–ая карта – красная» ; «i-ая карта – чёрная» ; С – «в последовательности трёх извлечённых карт последняя карта – красная». Тогда: ; .

2.18. ; . 2.19. .

2.20. .

2.21. . 2.22. ; ; . 2.23. .

2.24. а) ; б) ; в) .

2.25. . . 2.26. .

2.27. .

2.28. .

2.29. ; . 2.30. .

2.31. ; . Игра станет « справедливой» только если будет n=0, то есть, когда в урне вообще не будет белых шаров и игроки об этом знать не будут. 2.32. ; .

2.33. Если: для любой пары индексов i и j для любого набора трёх индексов i , jи kит. д., то: .

2.34. Обозначим – событие: «шар с номером i появился при i-том извлечении». Тогда: для любого ;

для

любой пары i и j; ;

для любой тройки i, j и k; ; …..; .

Используя , получаем . Если , то .

2.35. Пусть А – случайное событие – «m лиц сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов, а остальные n– m лиц сидят на местах, номера которых не соответствуют номерам билетов»;

В – «mлиц сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов»; С – «n–m лиц сидят на местах, номера которых не соответствуют номерам билетов». Ясно, что .

Если – случайное событие – «первые m человек, сидят на местах, соответствующих номерам полученных билетов», то . Подобных групп по m человек можно составить штук, следовательно .

Случайное событие формулируется так: «хотя бы одно лицо из остальных n–m лиц сидит на месте, номер которого соответствует номеру полученного им билета». Рассуждая, как и при решении задачи 2.34, получим . Тогда .

Таким образом: .

2.36. Если А – «в каждый вагон вошёл хотя бы один пассажир», то – «есть вагоны, в которые ни один пассажир не вошёл». Пусть – «в i-том вагон не вошёл ни один пассажир». Тогда , причём события-слагаемые – совместные события с одинаковыми вероятностями осуществления: , , …… Используя результат решения задачи 2.33, получаем: .

2.37. ;.

2.38. Для того чтобы искомая вероятность не была равна нулю, должно быть , тогда ,

где , .

2.39. ; ; .

2.40. Пусть случайное событие А – «среди k извлечённых шаров есть m шаров белого цвета, а цвета остальных () шаров могут быть любыми»; случайное событие C – «все k извлечённых шаров имеют белый цвет». Ясно, что . Но, так как , то . Учитывая, что и , получаем ответ: .

2.41. Простая дробь будет несократимой, если её числитель и знаменатель не будут одновременно делиться на все p, принадлежащие множеству P – множеству простых чисел.

Обозначим случайное событие – «простая дробь – несократима» и случайное событие – «простая дробь несократима на простое число p». Тогда . Так как события-сомножители – независимые события, то искомая вероятность равна бесконечному произведению: . Ясно, что вероятность случайного события – «иm, и nделятся на простое число p» будет равна: =. А тогда получаем: .

§3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

3.1.  Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой партии одно изделие – бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую. После этого наудачу выбирается одно изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

3.2.  В двух урнах находятся соответственно и белых и и чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар будет белым?

3.3.  Имеется одинаковых урн, в каждой из которых белых и k чёрных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу извлекается один шар и перекладывается в третью урну и т. д. Определить вероятность извлечения после таких перекладываний белого шара из последней урны.

3.4.  Имеется три партии деталей. Для контроля качества деталей из наудачу выбранной партии наудачу взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной детали, если в одной из партий общего количества деталей – бракованные, а в двух других – все доброкачественные?

3.5.  В двух из трёх одинаковых урн находятся по два чёрных и по два белых шара, а в третьей пять белых и один чёрный шар. Из наудачу выбранной урны извлекли один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что извлечение проводилось из урны, содержащей пять белых шаров?

3.6.  В каждой из урн находится белых и штук чёрных шаров, а в каждой из урн – белых и штук чёрных шаров. Извлечённый из наудачу выбранной урны шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар извлечён: а) из урны первого типа; б) из урны второго типа?

3.7.  Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощённая схема контроля качества признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную признаёт пригодной с вероятностью 0,05. а) Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, будет признано пригодным. б) Изделие по результатам упрощённого контроля признано пригодным. Какова вероятность того, что контроль не ошибся?

3.8.  Вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени длиною t равна . Считая, что количества вызовов за любые два соседних промежутка времени длиною t каждый – независимыми, определить вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длиною 2t.

3.9.  Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.

3.10.  В тире имеется пять ружей, вероятности попадания при одном выстреле из которых соответственно равны: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9.Стреляющий берёт винтовку наудачу и делает дин выстрел. Определить вероятность попадания.

3.11.  Вероятность попадания снаряда в цель при одном выстреле равна 0,7, а вероятность разрушения цели при попадании в неё одного снаряда равна 0,9. Орудие произвело подряд три выстрела. Какова вероятность того, что цель будет разрушена?

3.12.  В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров в урне – равновозможные? Какова вероятность того, что в урне содержались: а) только белые шары; б) только чёрные шары, если извлечённый шар оказался белым?

3.13.  В урне имеется n шаров, причём цвет каждого из них с равными вероятностями может быть белым или чёрным. Извлекаются последовательно m шаров с возвращением каждый раз шара обратно после фиксирования его цвета. Какова вероятность того, что в урне содержатся только белые шары, если чёрные шары не извлекались?

3.14.  В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых – 9 новых. Для первой игры наугад берут три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, – новые.

3.15.  В правом кармане имеются три монеты по 50 копеек и четыре монеты по 10 копеек, а в левом – шесть монет по 50 копеек и три монеты по 10 копеек. Из правого кармана в левый карман наудачу перекладываются пять монет. После этого из левого кармана наудачу извлекается одна монета. Определить вероятность того, что это будет монета достоинством в 50 копеек. Как изменится эта вероятность, если сначала перекладывать монеты из левого кармана в правый карман, а потом из правого кармана наудачу брать монету такого же достоинства?

3.16.  Из 30 вопросов программы составлено пятнадцать билетов, каждый из которых состоит из двух вопросов. Экзаменующийся студент может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен экзаменующимся будет сдан, если для этого надо ответить на два вопроса билета или на один из вопросов билета и на один дополнительный вопрос, заданный экзаменатором.

3.17.  Преподаватель составил по программе курса M экзаменационных билетов. Студент успел выучить m билетов . Возникает вопрос: «Каким по списку ему лучше всего идти на экзамен (первым, вторым, третьим, …, последним), чтобы вероятность взять «хороший» билет была максимальной»?

3.18.  В маршрутном такси едут n пассажиров. На ближайшей остановке каждый из них может выйти с вероятностью p. На этой остановке в такси с вероятностью могут войти два новых пассажира. С вероятностью может войти один новый пассажир и с вероятностью не войдёт ни один новый пассажир . Найти вероятность того, что, когда такси после этой остановке снова тронется в путь, в салоне будут: а) по-прежнему n пассажиров; б)n-1 пассажир.