Изменения внутренней энергии газа в закрытом сосуде

Для понимания процессов, протекающих в природе, для их математического описания в физике используют различные упрощенные модели. Одной из них является идеальный газ. Формула внутренней энергии для него играет важную роль при изучении переходов между макроскопическими состояниями, в которых изменяются давление, объем и температура.

Идеальные газы

Прежде чем узнать, по какой формуле рассчитывается внутренняя энергия газа, следует подробно разобраться с этим классом веществ. В 1648 году ученый из Голландии Ян Баптиста ван Гельмонт ввел в физику термин «газ», который произошел от древнегреческого слова kaos (беспорядок).

Впоследствии его начали применять для всех веществ, которые соответствуют этому агрегатному состоянию. Газами стали считать любые соединения, которые проявляют следующие физические характеристики:

• не сохраняют объем, то есть занимают любое предоставленное им пространство;
• не имеют определенной формы, она зависит от сосуда, в котором находится вещество.

Газы легко сжимаемы, не имеют упругости, часто являются бесцветными, обладают низкой плотностью, легко смешиваются друг с другом в произвольных долях. Ярким примером такой смеси является воздух, состоящий из кислорода и азота, а также из многих других соединений (паров воды, углекислоты, аргона и т. д. ).

Молекулярно-кинетическая теория

Эта теория является удобным и довольно точным упрощением или моделью, которая служит для наглядного понимания процессов, происходящих в газах. Основными постулатами ее являются следующие:

1. Газовые частицы движутся хаотически по прямым траекториям.
2. Они не взаимодействуют друг с другом с помощью каких-либо сил, кроме механических столкновений.
3. В процессе соударений кинетическая энергия системы не изменяется, то есть столкновения носят исключительно упругий характер.
4. Благодаря соударениям частиц со стенками сосуда газ оказывает на них давление.
5. Кинетическая энергия является единственной энергетической составляющей газа, которая однозначно определяет его абсолютную температуру.

Эти принципы легли в основу модели идеального газа, которую с успехом применяют в настоящее время для решения многих практических задач.

Она дает хорошие результаты для инертных газов при относительно высоких температурах и низких давлениях.

Общее уравнение и частные законы

Идеальный газ — это упрощенная термодинамическая модель, которая полностью базируется на принципах молекулярно-кинетической теории. Состояние любого газообразного соединения можно описать, если знать три макроскопические величины:

• давление P;
• объем V;
• температуру T.

Впервые взаимосвязь между ними нашел французский ученый Эмиль Клапейрон в 1834 году. В своих научных трудах он использовал многие работы XVII—XVIII вв. Клапейрон показал, что для любых химических соединений, которые подчиняются приближению идеальной модели газа, справедливо равенство P*V = n*R*T, где:

• n — количество вещества в молях,
• R — газовая универсальная постоянная, равная 8,31 Дж/(моль*К).

Это равенство получило название общего уравнения или выражения Клапейрона. В общем случае оно содержит 4 переменные величины (P, V, T и n).

Записанное выражение было получено Клапейроном в результате обобщения уже открытых для газов частных законов. В таблице они кратко перечисляются.

Каждый из законов легко может получить любой школьник, если обратится к общему уравнению. Например, если взять газ в закрытом сосуде, имеющем объем V, то выражение Клапейрона запишется так: P1*V = n*R*T1. Здесь индекс 1 показывает начальное состояние системы.

Теперь можно нагреть систему до некоторой температуры T2. Поскольку сосуд является закрытым, то объем во время его нагрева не изменяется, также остается постоянным количество частиц газа n. Уравнение Клапейрона для нового состояния системы принимает вид P2*V = n*R*T2. Оба выражения следует преобразовать таким образом, чтобы переменные находились в одной стороне равенства, а постоянные — в другой:

• P1/T1 = n*R/V;
• P2/T2 = n*R/V.

Приравнивая левые части равенств, можно получить формулу закона Гей-Люссака.

Внутренняя энергия

Любая система частиц с точки зрения термодинамики запасает в себе определенную внутреннюю (потенциальную) энергию. Теоретически она может быть использована для осуществления полезной работы. Единицей энергии в СИ является джоуль (Дж). Иногда в задачах могут встречаться расчеты в калориях, но они легко переводятся в единицы системы СИ (1 калория = 4,184 Дж).

Первый постулат термодинамики

Пусть существует некоторая газовая система, которая находится в состоянии 1. Под ним понимают набор термодинамических величин, характеризующих его однозначно. В случае перехода в состояние 2 энергетическое уравнение процесса запишется в следующей форме: Q (1−2) = A (1−2) + U (1−2).

Здесь Q (1−2) будет называться энергией, которая поглощена или выделена системой в процессе изменения ее состояния из 1 в 2. Эта величина в большинстве случаев указывает на энергетический (тепловой) обмен. Величина A (1−2) показывает механическую работу, совершенную газом в рассматриваемом процессе. Слагаемое, которое обозначается U (1−2), — это изменение внутренней энергии, запасенной газом.

Записанное равенство носит название первого закона термодинамики. Оно говорит о том, что энергия не появляется из ниоткуда и не исчезает бесследно, а лишь преобразуется в различные состояния.

Составляющие величины U

Если вспомнить приближения теории молекулярно-кинетической, то можно сказать, что для газа внутренняя энергия определяется исключительно его кинетической составляющей. Никакие взаимодействия между частицами с помощью энергетических полей не существуют. Кинетическая энергия является суммой следующих вкладов:

• поступательных движений частиц;
• их вращения вокруг собственных осей;
• их колебаний около некоторого внутреннего центра симметрии.

В случае одноатомного идеального газа формула для U будет включать только поступательную составляющую кинетического движения атомов, поскольку иные степени свободы у них отсутствуют.

Получение формулы

Пусть имеется система с идеальным газом, который занимает определенный сосуд. С помощью трубки присоединим этот сосуд к другому пустому, тогда газ практически мгновенно займет весь предоставленный ему объем. Поскольку процесс протекает быстро, то можно говорить, что обмен теплом с окружающей средой равен нулю (Q (1−2)=0). При этом система не совершает никакой механической работы (A (1−2)=0).

Это означает, что ее энергия U также остается неизменной: U (1−2) = 0. Так как переход является изотермическим, можно смело утверждать, что величина U — это исключительно функция температуры, а не давления или объема. Постоянство U подтверждается законом Бойля-Мариотта: P*V = n*R*T = const.

Чтобы получить формулу энергии газа, нужно выбрать произвольный процесс, который сопровождается изменением температуры, и разложить его на два перехода: изотермический (1−1′) и изохорный (1′-2). После первого из них величина U останется постоянной, после второго она изменится на следующую величину: U (1′-2) = n*Cv*(T2-T1).

Здесь T2, T1 — конечная и начальная абсолютные температуры системы, соответственно, Cv — теплоемкость при постоянном объеме. Так как U (1−1′) = 0 (изотермический переход), то можно записать следующее выражение: ΔU = n*Cv* ΔT.

Записанная формула позволяет производить расчет изменения ΔU для любых типов идеального газа. Для них будет различаться лишь само значение Cv:

• для одноатомного Cv = 3/2*R;
• для двухатомного Cv = 5/2*R;
• для трехатомного и более Cv = 3*R.

Теплоемкость при постоянном давлении

Любой неизотермический переход между двумя газовыми состояниями можно представить не только с использованием изохоры, но и через изобару. В этом случае первый закон термодинамики запишется в следующем виде: Q = A + ΔU. При изобарном переходе газ совершает механическую работу, которая вычисляется так: A = P* ΔV = n*R* ΔT.

Согласно определению при охлаждении на 1 К системы, состоящей из 1 моля частиц газа без изменения давления, выделяется энергия Cp (теплоемкость при постоянной величине P). Тогда получается для изобарного перехода следующая формула: Q = n*Cp* ΔT.

Подставляя все выражения для A, Q и ΔU в формулу первого постулата термодинамики, можно получить следующее равенство: n*Cp* ΔT = n*R* ΔT + n*Cv* ΔT =>Cp = R + Cv.

Эта формула связывает две разные теплоемкости друг с другом, что позволяет использовать любую из них для расчета изменения внутренней энергии ΔU.

Таким образом, модель идеального газа является универсальным теоретическим инструментом для исследования изменения макроскопических термодинамических величин давления, температуры и объема. С ее помощью легко получить и использовать формулу для расчета изменения внутренней энергии газовой системы, которая зависит исключительно от температуры и определяется только кинетическим вкладом составляющих молекул.

Числом степеней свободы механической системы называют количество независимых величин, с помощью которых может быть задано положение системы.

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой сумму только кинетической энергии всех молекул, а потенциальной энергией взаимодействия можно пренебречь:

U=∑Ek0=NEk0=mNAM·ikT2=i2·mMRT=i2νRT=i2pV

i — степень свободы. i = 3 для одноатомного (или идеального) газа, i = 5 для двухатомного газа, i = 6 для трехатомного газа и больше.

Изменение внутренней энергии идеального газа в изопроцессах

Пример №1. На рисунке показан график циклического процесса, проведенного с идеальным газом. На каком из участков внутренняя энергия газа уменьшалась?

Внутренняя энергия газа меняется только при изменении температуры. Так как она прямо пропорциональная температуре, то уменьшается она тогда, когда уменьшается и температура. Температура падает на участке 3.

Работа идеального газа

Если газ, находящийся под поршнем, нагреть, то, расширяясь, он поднимет поршень, т.е. совершит механическую работу.

Механическая работа вычисляется по формуле:

A=Fscosα

Перемещение равно разности высот поршня в конечном и начальном положении:

s=h2−h1

Также известно, что сила равна произведению давления на площадь, на которое это давление оказывается. Учтем, что направление силы и перемещения совпадают. Поэтому косинус будет равен единице. Отсюда работа идеального газа равна произведению давления на площадь поршня:

Работа идеального газа

F=pS

p — давление газа, S — площадь поршня

Работа, необходимая для поднятия поршня — полезная работа. Она всегда меньше затраченной работы, которая определяется изменением внутренней энергии идеального газа при изобарном расширении:

A‘=p(V2−V1)=pΔV>0

Внимание! Знак работы определяется только знаком косинуса угла между направлением силы, действующей на поршень, и перемещением этого поршня.

Работа идеального газа при изобарном сжатии:

A‘=p(V2−V1)=pΔV<0

Работа идеального газа при нагревании газа:

A‘=νRΔT=νR(T2−T1)=mMνRΔT

Внимание! В изохорном процессе работа, совершаемая газом, равна нулю, так как работа газа определяется изменением его объема. Если изменения нет, работы тоже нет.

Геометрический смысл работы в термодинамике

В термодинамике для нахождения работы можно вычислить площадь фигуры под графиком в осях (p, V).

Примеры графических задач

Пример №2. На pV-диаграмме показаны два процесса, проведенные с одним и тем же количеством газообразного неона. Определите отношение работ A2 к A1 в этих процессах.

Неон — идеальный газ. Поэтому мы можем применять формулы, применяемые для нахождения работы идеального газа. Работа равна площади фигуры под графиком. С учетом того, что в обоих случаях изобарное расширение, получим:

A2=p(V2−V1)=4p(5V−3V)=4p2V=8pV

A1=p(V2−V1)=p(5V−V)=4pV

Видно, что работа, совершенная во втором процессе, вдвое больше работы, совершенной газом в первом процессе.

Алиса Никитина | ???? Скачать PDF |