Изотермического расширения газа в сосудах установится давление

Изопроцессы

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: изопроцессы — изотермический, изохорный, изобарный процессы.

На протяжении этого листка мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными. Иными словами, мы считаем, что:

• , то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;

• , то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация — распад молекул на атомы).

Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.

Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением, объёмом и температурой. Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева — Клапейрона).

Термодинамический процесс (или просто процесс) — это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров — давления, объёма и температуры.

Особый интерес представляют изопроцессы — термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.

1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: .
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: .
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: .

Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.

Изотермический процесс

Пусть идеальный газ совершает изотермический процесс при температуре . В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.

Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны , а во втором — . Эти значения связаны уравнением Менделеева-Клапейрона:

Как мы сказали с самого начала,масса и молярная масса предполагаются неизменными.

Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части:

Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным:

Данное утверждение называется законом Бойля — Мариотта.

Записав закон Бойля — Мариотта в виде

можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.

Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки — давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.

Графики изотермического процесса

Вообще, графики термодинамических процессов принято изображать в следующих системах координат:

• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат ;
• -диаграмма: ось абсцисс , ось ординат .

График изотермического процесса называется изотермой.

Изотерма на -диаграмме — это график обратно пропорциональной зависимости .

Такой график является гиперболой (вспомните алгебру — график функции ). Изотерма-гипербола изображена на рис. 1 .

Рис. 1. Изотерма на -диаграмме

Каждая изотерма отвечает определённому фиксированному значению температуры. Оказывается, что чем выше температура, тем выше лежит соответствующая изотерма на —диаграмме.

В самом деле, рассмотрим два изотермических процесса, совершаемых одним и тем же газом (рис. 2 ). Первый процесс идёт при температуре , второй — при температуре .

Рис. 2. Чем выше температура, тем выше изотерма

Фиксируем некоторое значение объёма . На первой изотерме ему отвечает давление , на второй — p_1′ alt=’p_2 > p_1′/> . Но при фиксированном объёме давление тем больше, чем выше температура (молекулы начинают сильнее бить по стенкам). Значит, T_1′ alt=’T_2 > T_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изотерма выглядит очень просто: это прямая, перпендикулярная оси (рис. 3 ):

Рис. 3. Изотермы на и -диаграммах

Изобарный процесс

Напомним ещё раз, что изобарный процесс — это процесс, проходящий при постоянном давлении. В ходе изобарного процесса меняются лишь объём газа и его температура.

Типичный пример изобарного процесса: газ находится под массивным поршнем, который может свободно перемещаться. Если масса поршня и поперечное сечение поршня , то давление газа всё время постоянно и равно

где — атмосферное давление.

Пусть идеальный газ совершает изобарный процесс при давлении . Снова рассмотрим два произвольных состояния газа; на этот раз значения макроскопических параметров будут равны и .

Выпишем уравнения состояния:

Поделив их друг на друга, получим:

В принципе, уже и этого могло бы быть достаточно, но мы пойдём немного дальше. Перепишем полученное соотношение так, чтобы в одной части фигурировали только параметры первого состояния, а в другой части — только параметры второго состояния (иными словами, «разнесём индексы» по разным частям):

А отсюда теперь — ввиду произвольности выбора состояний! — получаем закон Гей-Люссака:

Иными словами, при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре:

Почему объём растёт с ростом температуры? При повышении температуры молекулы начинают бить сильнее и приподнимают поршень. При этом концентрация молекул падает, удары становятся реже, так что в итоге давление сохраняет прежнее значение.

Графики изобарного процесса

График изобарного процесса называется изобарой. На -диаграмме изобара является прямой линией (рис. 4 ):

Рис. 4. Изобара на -диаграмме

Пунктирный участок графика означает, что в случае реального газа при достаточно низких температурах модель идеального газа (а вместе с ней и закон Гей-Люссака) перестаёт работать. В самом деле, при снижении температуры частицы газа двигаются всё медленнее, и силы межмолекулярного взаимодействия оказывают всё более существенное влияние на их движение (аналогия: медленный мяч легче поймать, чем быстрый). Ну а при совсем уж низких температурах газы и вовсе превращаются в жидкости.

Разберёмся теперь, как меняется положение изобары при изменении давления. Оказывается, что чем больше давление, тем ниже идёт изобара на —диаграмме.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две изобары с давлениями и (рис. 5 ):

Рис. 5. Чем ниже изобара, тем больше давление

Зафиксируем некоторое значение температуры . Мы видим, что . Но при фиксированной температуре объём тем меньше, чем больше давление (закон Бойля — Мариотта!).

Стало быть, p_1′ alt=’p_2 > p_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изобара является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 6 ):

Рис. 6. Изобары на и -диаграммах

Изохорный процесс

Изохорный процесс, напомним, — это процесс, проходящий при постоянном объёме. При изохорном процессе меняются только давление газа и его температура.

Изохорный процесс представить себе очень просто: это процесс, идущий в жёстком сосуде фиксированного объёма (или в цилиндре под поршнем, когда поршень закреплён).

Пусть идеальный газ совершает изохорный процесс в сосуде объёмом . Опять-таки рассмотрим два произвольных состояния газа с параметрами и . Имеем:

Делим эти уравнения друг на друга:

Как и при выводе закона Гей-Люссака, «разносим» индексы в разные части:

Ввиду произвольности выбора состояний мы приходим к закону Шарля:

Иными словами, при постоянном объёме газа его давление прямо пропорционально температуре:

Увеличение давления газа фиксированного объёма при его нагревании — вещь совершенно очевидная с физической точки зрения. Вы сами легко это объясните.

Графики изохорного процесса

График изохорного процесса называется изохорой. На -диаграмме изохора является прямой линией (рис. 7 ):

Рис. 7. Изохора на -диаграмме

Смысл пунктирного участка тот же: неадекватность модели идеального газа при низких температурах.

Далее, чем больше объём, тем ниже идёт изохора на —диаграмме (рис. 8 ):

Рис. 8. Чем ниже изохора, тем больше объём

Доказательство аналогично предыдущему. Фиксируем температуру и видим, что . Но при фиксированной температуре давление тем меньше, чем больше объём (снова закон Бойля — Мариотта). Стало быть, V_1′ alt=’V_2 > V_1′/> .

В оставшихся двух системах координат изохора является прямой линией, перпендикулярной оси (рис. 9 ):

Рис. 9. Изохоры на и -диаграммах

Законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля называются также газовыми законами.

Мы вывели газовые законы из уравнения Менделеева — Клапейрона. Но исторически всё было наоборот: газовые законы были установлены экспериментально, и намного раньше. Уравнение состояния появилось впоследствии как их обобщение.

Источник

Как изменяется давление газа при изотермическом расширении

Одним из основных термодинамических процессов, совершающихся в большинстве тепловых машин, является процесс расширения газа с совершением работы. Легко определить работу, совершаемую при изобарном расширении газа.

Если при изобарном расширении газа от объема V1 до объема V2 происходит перемещение поршня в цилиндре на расстояние l (рис. 7.3), то работа A’, совершенная газом, равна

, (7.27)

где p — давление газа,

— изменение его объема.

3

Как видно из рисунка 7.4, при изображении изобарного процесса расширения газа в координатных осях p , V площадь фигуры, ограниченной графиком процесса, координатами V1 и V2, осью абсцисс, пропорциональна работе газа A’.

Работа при произвольном процессе расширения газа. Произвольный процесс расширения газа от объема V1 до объема V2 можно представить как совокупность чередующихся изобарных и изохорных процессов.

При изохорных процессах работа равна нулю, так как поршень в цилиндре не перемещается. Работа при изобарных процессах пропорциональна площади фигуры на диаграмме p, V под соответствующим участком изобары (рис. 7.5).

Следовательно, работа при произвольном процессе расширения газа прямо пропорциональна площади фигуры под соответствующим участком графика процесса на диаграмме p, V.

Работа при изотермическом расширении газа. Сравнивая площади фигур под участками изотермы и изобары (рис. 7.6), можно сделать вывод, что расширение газа от объема V1 до объема V2 при одинаковом начальном значении давления газа сопровождается в случае изобарного расширения совершением большей работы.

Сейчас для нас важно свойство натуральных логарифмов, выраженное соотношением (14). Мы можем заменить очень маленькое число х натуральным логарифмом от (1+х) и наоборот. Такая подстановка оказывается очень полезной в выражении (7), которое мы для удобства выпишем здесь еще раз:

Вспомним, что

есть очень малое приращение V. Поэтому члены — очень малые числа, и мы можем заменить их логарифмами, согласно (14). Таким образом,

Последний шаг требует некоторого пояснения. Мы получили, что отношение dV/V, которое представляет собой просто очень малое относительное изменение V, равно d(ln V), т. е. очень малому изменению или дифференциалу натурального логарифма V. Подумав, можно понять, что это следует из последнего равенства в (15), которое дает разность натурального логарифма от (V + dV) и натурального логарифма от V% т. е. изменение величины натурального логарифма V при переходе от V к V+dV. Мы обозначили это малое изменение как дифференциал

. Подставив вместо каждого из членов dV/V в (7), получим

Таким образом, работу, выполненную идеальным газом, расширяющимся при постоянной температуре, легко подсчитать, взяв натуральный логарифм отношения конечного объема к начальному и умножив его на nRT, где n — число молей газа, R — газовая постоянная и Т — абсолютная температура.

Основной результат этого длинного и несколько запутанного упражнения можно записать в виде

Рис. 4.5. Один из способов осуществления работы с помощью процесса изотермического расширения.

Тот же результат должен быть справедлив для любой другой переменной, например p или Т:

Интегралы такого типа будут встречаться нам в дальнейшем. Полезно запомнить следующее соотношение, где х означает любую переменную:

Закончим это обсуждение вычислением величины работы при изотермическом расширении. Пусть имеется цилиндр с поршнем, погруженный в сосуд с кипящей водой, так что поддерживается температура 373 К. В цилиндре находится 1 моль газа. В начальный момент сила давления газа, приложенная к поршню и направленная вверх, достаточна, чтобы поддерживать на данном уровне поршень и стоящий на нем открытый сосуд с водой (рис. 4.5). По мере испарения воды из сосуда направленная вниз сила тяжести, действующая на поршень и сосуд, будет уменьшаться, и поршень начнет подниматься. Примем, что он поднимается до тех пор, пока объем газа в цилиндре не станет вдвое больше первоначального. Согласно (16), имеем

Заметим, что ответ не зависит от того, каковы фактические значения начального и конечного объемов, а зависит только от их отношения. Та же самая работа будет произведена, если увеличить массу поршня и сосуда настолько, чтобы начальный и конечный объемы уменьшились вдвое при прежнем количестве газа. Давление тогда возросло бы вдвое. Если удвоить начальный объем газа при неизменном его количестве, то при данной температуре он совершит одну и ту же работу независимо от давления. Заметим, что эти утверждения справедливы только для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния pV = nRT. Для других уравнений состояния вычисление

основано на тех же принципах, но немного более сложно.

Интересно сравнить величину работы при изотермическом расширении с величиной работы расширения газа при постоянном давлении. Процесс расширения при постоянном давлении можно осуществить, например, если вынуть цилиндр из сосуда с кипящей водой и поставить его на плитку. По мере нагревания газа он будет расширяться. Если сосуд с водой, стоящий на поршне, накрыть крышкой, то масса будет оставаться постоянной, а поршень будет медленно подниматься, по мере того как объем газа будет увеличиваться при постоянном давлении. Из выражения (4) получаем выражение для работы, совершаемой при удвоении объема:

В процессе расширения при постоянном давлении газ совершает почти в 1,5 раза больше работы, чем в процессе при постоянной температуре. Дополнительная работа идет на поднятие воды, которая при изотермическом расширении испарялась.

В сосуде под поршнем находится 3 моля гелия. Что произойдет с давлением газа на стенки сосуда, температурой и объемом газа при его изотермическом расширении?

К каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго и внесите в строку ответов выбранные цифры под соответствующими буквами.

Б) Температура газа

Изотермическим называется процесс при постоянной температуре. Следовательно, температура газа останется неизменной (Б — 3). Поскольку газ расширяется в сосуде, его объем увеличивается (В — 1). Гелий является инертным газом, поэтому его можно считать идеальным. При изотермическом процессе, согласно закону Бойля-Мариотта, величина

остается постоянной. Таким образом, заключаем, что при изотермическом расширении гелия в сосуде его давление уменьшается (А — 2).

Источник