Как найти число молекул водорода в сосуде
Тема. Решение задач по теме «Скорости газовых молекул. Распределение молекул по скоростям »
Цели
На примерах решения задач познакомить учащихся с основными типами задач и методами их решения.
Ход занятия
Вспомните основные свойства модели идеального газа. Повторите понятие размера молекул и длины свободного пробега. Выведите формулу для длины свободного пробега. Покажите, что длина свободного пробега зависит от давления, под которым находится газ. Подсчитайте число молекул, находящихся в единице объема при нормальных условиях. Обсудите насколько велико это число.
Качественные вопросы
1. Какие гипотезы положены в основу вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории газа?
2. Как правильно сформулировать вопрос о распределении молекул по скоростям?
3. Какой физический смысл имеет функция распределения молекул по скоростям?
4. Чему равна ограниченная кривой распределения молекул по скоростям площадь?
5. Как изменяются с температурой положение максимума кривой функции распределения молекул по скоростям и его высота?
Примеры решения задач
Задача 1. Найти среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при нормальных условиях. Эффективный диаметр молекул принять равным м.
Решение
Средняя длина свободного пробега определяется формулой , где r – радиус молекулы. Так как d = 2r, то , где – число молекул в единице объема, Р – давление и Т – температура. Подставляя значение в формулу для длины свободного пробега, получим
м.
Ответ: м.
Задача 2. Найти среднюю длину свободного пробега атомов гелия в условиях, когда плотность гелия ρ = 2,1·10-2 кг/м3, а эффективный диаметр атома гелия d = 1,9·10-2 м.
Решение
Для определения средней длины свободного пробега необходимо знать концентрацию молекул n при данных условиях. Найдем n0. Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что
.
Следовательно,
.
И для средней длины свободного пробега l получаем расчетную формулу
м.
Ответ: м.
Задача 3. Какое предельное число молекул азота может находиться в сферическом сосуде диаметром D = 1 см, чтобы молекулы не сталкивались друг с другом? Диаметр молекул азота d = 3,1·10-10 м.
Решение
Для того чтобы столкновений молекул друг с другом не было, необходимо чтобы средняя длина свободного пробега λ была не меньше диаметра сосуда D, то есть λ ≥ D. Известно, что
,
где d – эффективный диаметр молекул азота, n – число молекул в единице объема, то есть концентрация молекул. Зная d, можно найти допустимую концентрацию молекул.
.
Максимальное число молекул в сосуде, объем которого , определится следующим образом
.
Ответ: .
Задача 4. Азот находится под давлением Па при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, скорости которых лежат в интервале скоростей, отличающихся от наиболее вероятной на Δv = 1 м/с.
Решение
Так как интервал скоростей Δv мал, то изменением функции распределения в этом интервале скоростей можно пренебречь, считая ее приближенно постоянной.
.
Подставляем значение наиболее вероятной скорости
;
.
Это и есть решение задачи. Производим вычисления: масса молекулы азота кг, постоянная Больцмана Дж/К. Подставляя численные значения, получим
.
При подсчете необходимо учесть, что определяется относительное число молекул, отличающихся по скорости от наиболее вероятной в обе стороны, то есть интервал равен Δv = 2 м/с.
Ответ: .
Задача 5. Найти температуру газообразного азота, при которой скоростям молекул v1 = 300 м/с и v2 = 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла молекул по скоростям.
Решение
Запишем функцию распределения для указанных скоростей. По условию задачи значения функции должны быть одинаковы.
;
;
;
;
.
Масса молекулы азота кг.
Постоянная Больцмана Дж/К.
К.
Ответ: = 300 К.
Задача 6. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.
Решение
Воспользуемся формулой для определения средней квадратичной скорости
,
где – молярная масса газа. Тогда отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах будет равно
,
где- молярная масса неона, – молярная масса гелия. Подставляя численные значения, получим
Ответ: .
Задача 7. Определить: 1) число молекул в 1 мм3 воды, 2) массу молекулы воды, 3) диаметр молекулы воды, считая условно, что молекулы воды шарообразны и соприкасаются.
Решение
Число молекул, содержащихся в массе вещества равно числу Авогадро , умноженному на число молей (- молярная масса вещества)
,
где r – плотность, V – объем вещества. После подстановки числовых значений получим
.
Массу m1 одной молекулы можно определить, разделив массу одного моля на число Авогадро:
кг.
Считая, что молекулы соприкасаются, объем, занимаемый одной молекулой , где d – диаметр молекулы. Отсюда . Так как , где – объем одного моля, то
м.
Ответ: ; кг; м.
Задача 8. Зная, что диаметр молекулы кислорода d = 3·10-10 м подсчитать, какой длины S получилась бы цепочка из молекул кислорода, находящихся в объеме V = 2 см2 при давлении Р = 1,01·105 Н/м2 и температуре Т = 300 К, если эти молекулы расположить вплотную в один ряд. Сравнить длину этой цепочки со средним расстоянием от Земли до Луны м.
Решение
Число молекул кислорода, содержащихся в единице объема, согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории, равно
,
Число молекул в объеме V будет равно . Следовательно, м.
Тогда .
Ответ: м; раз.
Задача 9. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа vc.к. = 450 м/с. Давление газа р = 7 · 104 Н/м2. Найти плотность газа ρ при этих условиях.
Решение
Из уравнения Клайперона-Менделеева следует: . Учитывая, что , получаем .
Ответ: .
Задания для самостоятельной работы
1. В опыте Штерна источник атомов серебра создает пучок, который падает на внутреннюю поверхность неподвижного цилиндра радиуса R = 30 см и образует на ней пятно. Цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью ω = 100 рад/с. Определить скорость атомов серебра, если пятно отклонилось на угол φ = 0,314 рад от первоначального положения.
Ответ: м/с.
2. Сколько молекул газа содержится в баллоне емкостью V = 60 л при температуре Т = 300 К и давлении P= 5·103 Н/м2?
Ответ: .
3. Определить температуру газа, для которой средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на Δv = 400 м/с. Масса молекулы водорода т = 3,35·10-27 кг.
Ответ: = 380 К.
4. Вычислить среднее расстояние между центрами молекул идеального газа при нормальных условиях.
Ответ: м.
5. В помещении площадью S = 100 м2 и высотой h = 4 м разлито V1 = 1 л ацетона (СН3)2СО. Сколько молекул ацетона содержится в 1 м3 воздуха, если весь ацетон испарился? Плотность r ацетона 792 кг/м3.
Ответ:
6. Найти число столкновений z, которые произойдут за 1 с в 1 см3 кислорода при нормальных условиях. Эффективный радиус молекулы кислорода принять равным
1,5·10-10 м.
Ответ: .
7. Найти среднюю длину свободного пробега молекул азота при давлении P = 133 Па и температуре t = 27°C.
Ответ: м.
8. Доказать, что средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости молекул газа пропорциональны , где P – давление газа; ρ – плотность газа.
Ответ: .
9. Два одинаковых сосуда, содержащие одинаковое число молекул кислорода, соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна , во втором – . Какой будет эта скорость, если открыть кран, соединяющий сосуды (теплообмен с окружающей средой отсутствует)?
Ответ: .
Рекомендуемая литература
1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т.3. Строение и свойства вещества – Москва – Санкт-Петербург. Физматлит. Невский диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2001. С. 170-194.
2. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А., Цвецинская Т.С. Задачник по физике – Москва. Физматлит, 2005.
3. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. Москва-Ростов-на-Дону, Издательский центр «Март», 2004. С. 215-219.
Источник