Как найти массу водорода в сосуде

5.5. Смесь идеальных газов

5.5.2. Смесь идеальных газов (идеальный газ) в сообщающихся баллонах

Если идеальные газы находятся в сообщающихся баллонах, разделенных краном, то при открытии крана газы в баллонах смешиваются между собой и каждый из них заполняет объем обоих баллонов.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана некоторые параметры становятся одинаковыми:

• давление газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

p = const;

• газ (или смесь газов) после открытия крана занимает весь предоставленный ему объем, т.е. объем обоих сосудов:

V = V 1 + V 2,

где V 1 – объем первого баллона; V 2 – объем второго баллона;

• температура газа (или смеси газов) после открытия крана уравнивается:

T = const.

• плотность газа ρ и его концентрация n в обоих баллонах становятся одинаковыми:

ρ = const, n = const,

Если баллоны имеют одинаковый объем, то массы газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

m ′ 1 = m ′ 2 = m ′ = m 1 + m 2 2 ,

где m ′ 1 – масса газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; m ′ 2 – масса газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; m′ – масса газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; m 1 – масса газа в первом баллоне до открытия крана; m 2 – масса газа во втором баллоне до открытия крана.

Масса газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение массы газа в первом баллоне

Δ m 1 = | m ′ 1 − m 1 | = | m 1 + m 2 2 − m 1 | = | m 2 − m 1 | 2 ;

• изменение массы газа во втором баллоне

Δ m 2 = | m ′ 2 − m 2 | = | m 1 + m 2 2 − m 2 | = | m 1 − m 2 | 2 .

Изменения массы газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

Δ m 1 = Δ m 2 = Δ m = | m 2 − m 1 | 2 ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большей массой газа – столько же газа пришло в баллон с меньшей массой.

Если баллоны имеют одинаковый объем, то количества газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана становятся одинаковыми:

ν ′ 1 = ν ′ 2 = ν ′ = ν 1 + ν 2 2 ,

где ν ′ 1 – количество газа (или смеси газов) в первом баллоне после открытия крана; ν ′ 2 – количество газа (или смеси газов) во втором баллоне после открытия крана; ν′ – количество газа (или смеси газов) в каждом баллоне после открытия крана; ν1 – количество газа в первом баллоне до открытия крана; ν2 – количество газа во втором баллоне до открытия крана.

Количество газа, перешедшего из одного сосуда в другой в результате открытия крана, определяется следующими выражениями:

• изменение количества газа в первом баллоне

Δ ν 1 = | ν ′ 1 − ν 1 | = | ν 1 + ν 2 2 − ν 1 | = | ν 2 − ν 1 | 2 ;

• изменение количества газа во втором баллоне

Δ ν 2 = | ν ′ 2 − ν 2 | = | ν 1 + ν 2 2 − ν 2 | = | ν 1 − ν 2 | 2 .

Изменения количества газа (или смеси газов) в обоих баллонах одинаковы:

Δ ν 1 = Δ ν 2 = Δ ν = | ν 2 − ν 1 | 2 ,

т.е. сколько газа ушло из баллона с большим количеством газа – столько же газа пришло в баллон с меньшим количеством.

Для идеального газа (или двух разных газов), находящегося в сообщающихся баллонах, при открытии крана давление становится одинаковым:

p = const

и определяется по закону Дальтона (для смеси газов) –

p = p 1 + p 2,

где p 1, p 2 – парциальные давления компонентов смеси.

Парциальные давления компонентов смеси могут быть рассчитаны следующим образом:

• с помощью уравнения Менделеева – Клапейрона; тогда давление определяется формулой

p = ( ν 1 + ν 2 ) R T V 1 + V 2 ,

где ν1 – количество вещества первого компонента смеси; ν2 – количество вещества второго компонента смеси; R – универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура смеси; V 1 – объем первого баллона; V 2 – объем второго баллона;

• с помощью основного уравнения молекулярно-кинетической теории; тогда давление определяется формулой

p = ( N 1 + N 2 ) k T V 1 + V 2 ,

где N 1 – количество молекул первого компонента смеси; N 2 – количество молекул второго компонента смеси; k – постоянная Больцмана, k = 1,38 ⋅ 10−23 Дж/К.

Пример 26. Определить среднюю молярную массу смеси газов, состоящей из 3,0 кг водорода, 1,0 кг гелия и 8,0 кг кислорода. Молярные массы водорода, гелия и кислорода равны 2,0, 4,0 и 32 г/моль соответственно.

Решение. Средняя молярная масса смеси определяется формулой

⟨ M ⟩ = m ν ,

где m – масса смеси; ν – количество вещества в смеси.

Массу смеси найдем как сумму масс –

m = m 1 + m 2 + m 3,

где m 1 – масса водорода; m 2 – масса гелия; m 3 – масса кислорода.

Аналогично найдем количество вещества –

ν = ν1 + ν2 + ν3,

где ν1 – количество водорода в смеси, ν1 = m 1/M 1; M 1 – молярная масса водорода; ν2 – количество гелия в смеси, ν2 = m 2/M 2; M 2 – молярная масса гелия; ν3 – количество кислорода в смеси, ν3 = m 3/M 3; M 3 – молярная масса кислорода.

Подстановка выражений для массы и количества вещества в исходную формулу дает

⟨ M ⟩ = m 1 + m 2 + m 3 ν 1 + ν 2 + ν 3 = m 1 + m 2 + m 3 m 1 M 1 + m 2 M 2 + m 3 M 3 .

Произведем вычисление:

⟨ M ⟩ = 3,0 + 1,0 + 8,0 3,0 2,0 ⋅ 10 − 3 + 1,0 4,0 ⋅ 10 − 3 + 8,0 32 ⋅ 10 − 3 =

= 6,0 ⋅ 10 − 3 кг/моль = 6,0 г/моль .

Пример 27. Плотность смеси газов, состоящей из гелия и водорода, при давлении 3,50 МПа и температуре 300 К, равна 4,50 кг/м3. Определить массу гелия в 4,00 м3 смеси. Молярные массы водорода и гелия равны 0,002 и 0,004 кг/моль соответственно.

Решение. Чтобы найти массу гелия m 2 в указанном объеме, необходимо определить плотность гелия в смеси:

m 2 = ρ2V,

где ρ2 – плотность гелия; V – объем смеси газов.

Плотность смеси определяется как сумма плотностей водорода и гелия:

ρ = ρ1 + ρ2,

где ρ1 – плотность водорода.

Однако записанная формула содержит две неизвестные величины – плотности водорода и гелия. Для определения указанных величин требуется еще одно уравнение, в которое входят плотности водорода и гелия.

Запишем закон Дальтона для давления смеси газов:

p = p 1 + p 2,

где p 1 – давление водорода; p 2 – давление гелия.

Для определения давлений газов запишем уравнение состояния в следующей форме:

• для водорода

p 1 = ρ 1 R T M 1 ,

• для гелия

p 2 = ρ 2 R T M 2 ,

где R – универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура смеси; M 1 – молярная масса водорода; M 2 – молярная масса гелия.

Подстановка выражений для давлений водорода и гелия в закон Дальтона дает

p = ρ 1 R T M 1 + ρ 2 R T M 2 .

Получено еще одно уравнение с двумя неизвестными величинами – плотностью водорода и плотностью гелия.

Формулы для расчета плотности и давления смеси образуют систему уравнений:

ρ = ρ 1 + ρ 2 , p = ρ 1 R T M 1 + ρ 2 R T M 2 , }

которую требуется решить относительно плотности гелия.

Для этого выразим плотности водорода из первого и второго уравнений

ρ 1 = ρ − ρ 2 , ρ 1 = M 1 R T ( p − ρ 2 R T M 2 ) }

и приравняем их правые части:

ρ − ρ 2 = M 1 R T ( p − ρ 2 R T M 2 ) .

Преобразование дает:

ρ 2 = M 2 M 2 − M 1 ( ρ − p M 1 R T ) .

Подставим полученное выражение в формулу для вычисления массы гелия

m 2 = M 2 V M 2 − M 1 ( ρ − p M 1 R T )

и произведем расчет:

m 2 = 0,004 ⋅ 4,00 0,004 − 0,002 ( 4,50 − 3,50 ⋅ 10 6 0,002 8,31 ⋅ 300 ) ≈ 13,6 кг.

Масса гелия в указанном объеме смеси составляет 13,6 кг.

Источник