Как найти объем детали в сосуде с жидкостью
В
заданиях ЕГЭ по математике встречаются задачи, в которых речь идёт о
погружении детали в жидкость или о переливании жидкости из одного сосуда
в другой.
Вопросы
в условии связаны с нахождением объёма погружаемого в жидкость тела или
с нахождением какого-либо параметра сосуда. Форма сосуда может быть
различной: цилиндр, призма.
Что необходимо понимать?
Если
жидкость залита в цилиндрический сосуд, то она принимает форму
цилиндра. Если она залита в имеющий форму призмы, то соответственно
принимает форму призмы. Это означает, что формулы для объёмов цилиндра и
призмы работают и для объёмов жидкостей помещённых в такие сосуды.
Формула объёма (цилиндра и призмы):
Если
жидкость перливается в аналогичный сосуд с меньшим основанием, уровень
(высота) жидкости увеличивается; если в сосуд с большим основанием, то
уровень жидкости уменьшается.
Рекомендации!
В
задачах на погружение детали в жидкость следует найти объём полученный
после её погружения, далее найти разность объёмов до и после (если
данные в условии это позволяют). Можно такие задачи решать и другим
способом, используя закон Архимеда. Примеры рассмотрены ниже.
В
задачах, где идёт речь о переливании жидкости в другой сосуд (с
уменьшенной или увеличенной площадью основания) помните о том, что сам
объём жидкости остаётся неизменным. Вы можете выразить его через площадь
основания и высоту (S1 и H1) одного сосуда и площадь основания и высоту (S2 и H2) другого сосуда, далее полученные выражения приравнять.
При
дальнейших преобразованиях получите отношение соответствующих величин –
либо площадей оснований, их рёбер, либо высот. Пример такой задачи
рассмотрен ниже в статье.
В цилиндрический сосуд налили 5000 см3
воды. Уровень жидкости оказался равным 40 см. В воду полностью
погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 15 см.
Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
Мы знаем, что объём цилиндра равна произведению площади основания на высоту:
В
жидкость погружаем деталь. Её уровень поднимается. Для того, чтобы
вычислить объём детали необходимо из полученного объёма (полученного
после погружения детали) вычесть объём жидкости, который был изначально.
Высота это есть уровень жидкости.
Итак, из имеющихся данных можем найти площадь основания:
Основание
цилиндра у нас величина неизменная, но изменилась высота жидкости (при
погружении детали) на 15 сантиметров, то есть она стала
40 +15 = 55 см.
Найдём полученный объём:
Теперь можем вычислить объём детали: 6875 – 5000 = 1875 см3
Можно решать подобные задачи более рациональным способом.
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 15/45 исходного объема:
Ответ: 1875
Решить самостоятельно:
Посмотреть решение
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2500 см3 воды
и полностью в нее погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде
поднялся с отметки 20 см до отметки 24 см. Чему равен объем детали?
Ответ выразите в см3.
Принцип решения тот же самый, что и в предыдущей задаче.
Мы знаем, что объём призмы равен произведению площади основания на высоту:
В
жидкость погружаем деталь. Её уровень поднимается. Для того, чтобы
вычислить объём детали необходимо из полученного объёма (полученного
после погружения детали) вычесть объём жидкости, который был изначально.
Из имеющихся данных можем найти площадь основания призмы:
Основание призмы не изменилось, но изменилась высота жидкости (при погружении детали) она стала 24см.
Найдём полученный объём:
Теперь можем вычислить объём детали: 3000 – 2500 = 500 см3
Второй способ:
По закону Архимеда объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 4/20 исходного объема:
Ответ: 500
Решить самостоятельно:
Посмотреть решение
В
сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду.
Уровень воды достигает 250 см. На какой высоте будет находиться уровень
воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона
основания в 5 раз больше, чем у первого? Ответ выразите в см.
В
подобных задачах с переливаниями жидкости следует помнить, что объём её
остаётся прежним (он не изменен – куда бы её не перелили).
Объем
жидкости в данном случае это объём правильной треугольной призмы (в
её основании лежит правильный треугольник). Он равен произведению
площади основания призмы на высоту:
Суть
дальнейших действий сводится к тому, что мы можем выразить объёмы
жидкостей в двух призмах: первой и второй (основание которой в 4 раза
больше), а затем приравнять полученные выражения, в итоге после
преобразований получим отношение двух высот.
Естественно, что высота жидкости уменьшится, если увеличить площадь основания.
Обозначим исходную высоту жидкости Н1, полученную после переливания Н2.
Найдём площадь основания призмы, обозначив его сторону как а. Площадь правильного треугольника равна:
Таким образом, объём залитой жидкости в первую призму равен:
Площадь основания второй призмы равна:
Объём залитой жидкости во вторую призму равен:
Найдём отношение высот:
Таким образом, при том же объёме жидкости её высота уменьшится в 25 раз и будет равна 10.
Или можно сказать так:
При увеличении стороны основания а в 5 раз уровень воды уменьшится в 25 раз.
Ответ: 10
Решить самостоятельно:
Посмотреть решение
В
цилиндрический сосуд, в котором находится 14 литров воды, опущена
деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,1 раза. Чему
равен объем детали? Ответ выразите в литрах.
Объём цилиндра равна произведению площади его основания на высоту:
Жидкость в сосуде имеет цилиндрическую объёмную форму.
Уровень
жидкости поднялся в 1,1 раза – означает, что высота цилиндра
увеличилась в 1,1 раза. Исходя из формулы объёма цилиндра понятно, что
при увеличении высоты в 1,1 раза влечёт за собой увеличение объёма также
в 1,1 раза (так как зависимость величин прямопропорциональная).
Это означает, что после погружения детали объём будет равен 14∙1,1 = 15,4 литра.
Таким образом, объём детали будет равен: 15,4 – 14 = 1.4 литра.
Ответ: 1,4
Решить самостоятельно:
Посмотреть решение
Если ход решения сразу не увидели, ставьте вопрос – что можно найти исходя из условия?
Например,
если дан начальный объём и высота жидкости (в сосуде формы призмы или
цилиндра), то мы можем найти площадь основания. Затем, зная площадь
основания и высоту жидкости после погружения детали мы можем найти
полученный объём.
Далее
найти разницу между объёмами не составит труда (это относится к первым
двум задачам). В последней задаче для решения требуется немного
логики.
Источник
Что такое вместимость сосуда
Вместимость сосуда — это объем его внутренней полости, определяемый по его геометрическим параметрам. Единица измерения объема в СИ — кубический метр, но в случае жидкости чаще используют литр.
Особенности расчета объема жидкости в сосуде
Жидкость по своим свойствам занимает промежуточное место между двумя другими агрегатными состояниями вещества — твердым и газообразным. Жидкости присущи некоторые свойства и твердого тела, и газа. Силы взаимного притяжения молекул в жидкостях достаточно велики, чтобы удерживать молекулы вместе, так что, в отличие от газов, жидкости имеют постоянный собственный объем.
В то же время эти силы недостаточны, чтобы держать молекулы в жесткой упорядоченной структуре, и потому у жидкостей нет постоянной формы: они принимают форму сосуда, в котором находятся.
Жидкость в сосуде оказывает постоянное давление на его стенки, поэтому на производстве, где необходимо регулярно измерять текущий объем жидкости в сосуде, часто используют гидростатические датчики давления.
За счет маленького диаметра их мембран итоговая погрешность измерения близится к нулю. Поэтому, зная давление в конкретный момент времени, можно вычислять уровень жидкости, т. е. высоту гидростатического столба. В формулу для расчета входят только плотность жидкости и ее давление:
(h = frac{p}{rho times g}.)
(p) здесь — давление в паскалях, (rho) — плотность, (g) — ускорение свободного падения, константа.
Зная габариты сосуда, несложно рассчитать объем жидкости в нем. Это необходимо, например, в пивоварении и виноделии, где обычно используются цилиндрические емкости с конусным дном, близкие по параметрам к идеальным геометрическим телам.
При решении логических учебных задач на переливание жидкости из одного сосуда в другой может пригодиться понимание взаимосвязи объема жидкости и параметров сосуда. А для задач по физике часто требуется рассчитать объем, который занимает жидкость в сосуде, через ее массу. На практике это действительно один из самых удобных способов, не требующий ни специальных датчиков, ни сложных расчетов.
Задача
Найти объем керосина, зная массу одного и того же сосуда с ним, и без него. Масса пустого сосуда 440 грамм, полного — 600 грамм.
Решение:
Плотность керосина можно узнать из справочной таблицы — 800 (frac{кг}{м^{3}}.)
Вычислим массу керосина в сосуде: 600 – 440 = 160.
Подставим известные данные в формулу:
(V = frac{m}{rho} = frac{0,16}{800} = 0,0002 м^{3} = 200 см^{3}.)
Ответ: 200 (см^{3}.)
Как определить вместимость сосудов разных форм
Вычисление объема параллелепипеда
Параллелепипед — это призма, объемная шестигранная фигура, в основании которой находится параллелограмм.
(V = S_{осн} times H. )
Прямоугольный параллелепипед — это призма, у которой все грани являются прямоугольниками. Прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами, — это куб.
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, достаточно найти произведение трех его измерений:
(V = AB times AD times AA_{1} = abc.)
Объем куба равен кубу его стороны:
(V = a^{3}.)
Нахождение объема пирамиды
Пирамида — это многогранник, состоящий из основания — плоского многоугольника, вершины — точки, лежащей не в плоскости основания, и отрезков, которые соединяют вершину с углами основания. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
(V = frac{1}{3} times S_{осн} times h.)
Чтобы определить объем усеченной пирамиды, надо знать площадь обоих оснований — (S_{1}) и (S_{2}).
(V = frac{1}{3} times h times (S_{1} + S_{2} + sqrt{S_{1} times S_{2}}). )
Как найти объем цилиндра
Цилиндр — это тело, состоящее из двух кругов, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.
(R) — радиус основания цилиндра, (h) — его высота, равная образующей оси.
(V = S_{осн} times h = pi times R^{2} times h.)
Если нужно найти объем усеченного цилиндра, то понадобится не только R — радиус основания, но и наибольшая и наименьшая образующие. Они обозначаются буквой l — (l_{1}) и (l_{2}).
(V = pi times R^{2} times frac{l_{1} + l_{2}}{2}.)
Как высчитать объем конуса
Конус — это тело, состоящее из круга, точки, лежащей не в плоскости этого круга, и отрезков, которые соединяют вершину с точками основания.
(V = frac{1}{3} times S_{осн} times h = frac{1}{3} times pi times R^{2} times h.)
Чтобы найти объем усеченного конуса, понадобятся (R_{1}) и (R_{2}) — радиусы оснований, а также высота (h).
(V = frac{pi times h}{3} times (R_1^2 + R_2^2 + R_1 times R_2).)
Нахождение объема шара
Шар — это тело, состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше заданного радиуса от центральной точки.
(R) — радиус полукруга, равный радиусу шара.
(V = frac{4pi times R^{3}}{3}.)
Источник