Как найти объем сосуда конуса
Понятие объёма
Можно провести аналогию понятия объема сосуда с понятием площади. Напомним, что понятие площади применимо к плоскости. Любой многоугольник имеет свою площадь.
В качестве единицы измерения площади принято брать квадрат со стороной, равной единице. В случае объёма за единицу измерения берут куб с ребром, равным единице. Этот куб называют кубическим сантиметром (метром, миллиметром и т. д.) и обозначают $1 см^3$ (соответственно, $1 м^3, 1 мм^3$ и т.п.).
Другую аналогию между площадью и объёмом можно провести в самой процедуре их измерения. Объём выражается положительным числом, показывающим количество единиц измерения объёмов и частей, которые укладываются в данном теле. Число единиц объёма тела зависит от выбранной единицы измерения, то есть меняется в зависимости от того, выбраны $cм^3, м^3$ и т.п. Единицу измерения традиционно указывают после числа.
Приведём простейший пример. $V=3 мм^3$ – эта запись означает, что объём некоторого сосуда равен 3-м, если в качестве единицы измерения взят кубический миллиметр.
Основные свойства объёмов:
- У равных сосудов равные объёмы.
- В случае, когда сосуд состоит из нескольких сосудов, то его объём равен сумме всех этих сосудов.
Эти свойства аналогичны свойствам длин отрезков и площадей многоугольников.
Часто требуется найти объём параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса и шара. Параллельно с формулами объёма дадим ключевые определения. Чтобы рассмотреть такую фигуру как параллелепипед, необходимо дать два важных определения:
- Многогранник – это тело, ограниченное несколькими многоугольниками (гранями). Стороны граней называют рёбрами, а концы рёбер – вершинами.
- Призма – это многогранник, который составлен из двух параллельных многоугольников (оснований призмы), вершины которых соединены параллельными и равными друг другу отрезками (боковыми ребрами призмы), образующими параллелограммы (боковые грани призмы).
Нахождение объёма параллелепипеда
Параллелепипед – это многогранник, составленный из 6-ти прямоугольников. Или это четырёхугольная призма, в которой основания – параллелограммы. Форму параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы из нашей повседневной жизни.
В случае, когда у параллелепипеда боковые ребра перпендикулярны к плоскостям оснований, а боковые грани и основания – прямоугольники, то этот параллелепипед называют прямоугольным (прямым).
Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда необходимы его измерения. Измерения параллелепипеда – это длины трёх рёбер с общей вершиной. В речи мы называем измерениями “длину”, “ширину” и “высоту” (например, при измерении комнаты).
Определение 1
Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: $V=abc$.
Если площадь основания $S=ac$, а высота $h=b$, то формула объёма может быть следующей: $V=Sh$.
Нахождение объёма пирамиды
Пирамида – это многогранник, образованный из $n$-угольника (в качестве основания) и треугольников (в качестве боковых граней), построенных путем соединения одной точки (вершины пирамиды) отрезками (боковыми рёбрами) с вершинами многоугольника.
Рисунок 1. Пирамида. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 2
Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. В данном случае высота представляет собой перпендикулярный к плоскости основания отрезок, который соединяет вершину пирамиды с плоскостью её основания.
$V=frac{Sh}{3}$.
Нахождение объёма цилиндра
Цилиндр – некоторое тело (или сосуд), полученное в результате вращения некоторого прямоугольника вокруг своей оси (одной из сторон прямоугольника).
Рисунок 2. Цилиндр. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 3
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту: $V=Sh$.
Нахождение объёма конуса
Конус – это некоторое тело (сосуд), полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.
Рисунок 3. Конус. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 4
Объём конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту: $V=frac{Sh}{3}$.
Нахождение объёма шара
Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на равном расстоянии (радиусе) от данной точки (центра).
Рисунок 4. Сфера. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Шар – это некоторое тело (сосуд), которое ограничено сферой. Другой вариант определения: шар – это тело (сосуд), полученное в результате вращения полукруга вокруг диаметра этого полукруга.
Рисунок 5. Шар. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Определение 5
Объём шара: $V=frac{4}{3}pi R^3$, где $R$ – радиус шара.
Таким образом, мы перечислили все основные формулы объёма основных фигур в стереометрии.
Источник
Цель: закрепление изученного
материала и применение его к решению задач.
План урока.
- Дополнительная информация о конусе
(электронное сообщение). 3 мин. - Интеллектуальная разминка. 5 мин.
- Повторение основных сведений о конусе. 5 мин.
- Графический диктант. 7 мин.
- Решение задач по теме. 10 мин.
- Проверочная самостоятельная работа. 10 мин.
- Подведение итогов урока. 3 мин.
- Домашнее задание (подготовка к ЕГЭ.) 2мин.
Ход урока
1. Дополнительная информация о конусе. Материал
заимствован из газеты “Математика”, №42, 2002г.
Электронное сообщение в виде презентации.
А) В геологии существует понятие “конус
выноса”. Это форма рельефа, образованная
скоплением обломочных пород (гальки, гравия,
песка), вынесенными горными реками на предгорную
равнину или в более плоскую широкую долину.
Б) В биологии есть понятие “ конус нарастания”.
Это верхушка побега и корня растений, состоящая
из клеток образовательной ткани.
В) “ Конусами” называется семейство морских
моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина
коническая (2-16см), ярко окрашенная. Конусов свыше
500 видов. Живут в тропиках и субтропиках, являются
хищниками, имеют ядовитую железу. Укус конусов
очень болезнен. Известны смертельные случаи.
Раковины используются как украшения, сувениры.
Г) По статистике на Земле ежегодно гибнет от
разряда молний 6 человек на 1000000 жителей (чаще в
южных странах). Этого бы не случилось, если бы
везде были громоотводы, так как образуется конус
безопасности. Чем выше громоотвод, тем больше
объем такого конуса. Некоторые люди пытаются
спрятаться от разрядов под деревом, но дерево не
проводник, на нем заряды накапливаются, и дерево
может быть источником напряжения.
Д) В физике встречается понятие “ телесный
угол”. Это конусообразный угол, вырезанный в
шаре. Единица измерений телесного угла – 1
стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол,
квадрат радиуса которого равен площади части
сферы, которую он вырезает. Если в этот угол
поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то
получим световой поток в 1 люмен. Свет от
киноаппарата, прожектора распространяется в
виде конуса.
2. Интеллектуальная разминка.
а) Ознакомление учащихся с планом урока.
б) Каждой паре учащихся раздаются кроссворды (рисунок
1, рисунок 2). Необходимо угадать принцип
составления кроссвордов и зашифрованные слова.
Слова означают геометрические термины,
относящиеся к стереометрии.
Кроссворд-фантом
Рисунок 1
Кроссворд
Рисунок 2
3. Повторение основных сведений о конусе.
Заполнение опорных листочков. (Заранее
раздается каждому ученику листочек – заготовка.
По желанию, ученики могут сами себе изготовить
опорные листочки).
| Цилиндр | Конус | Усеченный конус |
l – | l – | r – |
4. Графический диктант.
Ответьте на вопросы. Если вы согласны с ответом
или утверждением, то поставьте “__”, иначе “ ”. Первому, правильно
выполнившему все задания, оценка ставиться в
журнал. Все остальные сдают листочки с ответами
на проверку.
- Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите
образующую. Ответ: 5 м. - Образующая конуса L наклонена к плоскости
основания под углом в 300. Найдите высоту.
Ответ: 2L. - Развертка конуса состоит из треугольника и
круга. - В прямоугольном треугольнике АВС, (рисунок 3), В = 600, ВС = 1. Найдите
длину катета АС, используя теорему Пифагора.
Рисунок 3
Ответ: .
Рисунок 4
Ответ: 8.
- Высота конуса равна 6, радиус основания равен 8.
Найдите боковую поверхность. Ответ: 80. - Радиус оснований усеченного конуса 3м и 6 м,
высота 4 м. Найдите образующую. Ответ 5 м.
Ключ: __ __ __ __.
5. Решение задач по теме “Объем конуса”.
Задача 1. Куча щебня имеет коническую
форму, радиус основания которой 2 м и образующая
3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень,
уложенный в кучу?
1 м3 щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.
Решение.
Дано: конус, (рисунок 5)
ОА = 2м,
АР = 3,5м,
1м3 = 3т,
1 воз = 0,5 т.
Рисунок 5
Найти: количество возов.
Решение: V =
Найдем высоту:
h =м м, тогда
V = = 12 м3,
12м3 • 3 т = 36 т в одной куче щебня,
36 : 0,5 = 72 воза потребуется.
Ответ: 72 воза.
Задача 2. Жидкость, налитая в
конический сосуд, имеющий 0,18 м высоты и 0,24 м в
диаметре основания, переливается в
цилиндрический сосуд, диаметр основания
которого 0,10 м. Как высоко будет уровень жидкости
в сосуде?
Решение:
Рисунок 6
r = 0,24 : 2 = 0,12 м, радиус основания конуса,
V конуса = м3,
Составим уравнение:
Ответ: 0,35м.
Задача 3. Равносторонний треугольник
вращается вокруг своей стороны а. Найдите объем
тела вращения.
Решение:
Рисунок 7
Рассмотрим два конуса с радиусами оснований ОС
и высотами ВО и АО.
ВО = АО = 0,5 а,
ОС= ,
V =
Ответ:
6. Проверочная самостоятельная работа.
Вариант 1.
1. Основание треугольника b , высота его h. Найти
объем тела, полученного при вращении его вокруг
основания.
2. Дан прямой круговой конус, (рисунок 8), r = 6 cм, ВСО = 450. Найдите объем
конуса.
Рисунок 8
Вариант 2.
1. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4
вращается около гипотенузы. Определите объем
полученного тела.
2. Дан прямой круговой конус, (рисунок 9), АВС равносторонний, ВО = 10. Найдите объем
конуса.
Рисунок 9
7. Подведение итогов урока.
Проверка самостоятельной работы.
Вариант 1.
Задача 1.
Решение:
Рисунок 10
V=V1+ V2.
V=
Ответ:
Задача 2.
Решение:
Рисунок 11
Найдем h = BO .
ВОС равнобедренный; ВО =
ОС = 6см.
Итак,
Ответ: 72
Вариант 2.
Задача 1.
Решение: 1 случай (рисунок 12)
Рисунок 12
2 случай (рисунок 13)
Рисунок 13
Ответ: 16 или 12 .
Задача 2.
Решение:
Рисунок 14
Найдем радиус основания конуса. С = 600,
В = 300,
Пусть ОС = а, тогда ВС = 2а. По теореме
Пифагора:
Ответ: .
8. Домашнее задание (подготовка к ЕГЭ).
Задача. Объем конуса равен 1 см3.
Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту
увеличили в 3 раза. Найдите объем получившегося
конуса. Ответ дайте в см3.
Ответы:
Кроссворд-фантом .
Кроссворд.
Литература:
- Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. Геометрия.
Учебник для 10 – 11 классов. - Математика. Учебно – методическое приложение к
газете “Первое сентября”, №42, 2002 г. Стр 30. - Н. Рыбкин. Сборник задач по геометрии, ч. II.
Стереометрия, Издательство. “Просвещение”.
Москва, 1965г. - Дидактический материал по геометрии для 11
класса. Разрезные карточки/ Сост. Г.И. Ковалева. –
Волгоград: Учитель, 2004. – 176с. - Гин А.А. Приемы педагогической техники: Свобода
выбора. Открытость. Деятельность. Обратная
связь.: Пособие для учителей, – 2 – е изд. Доп.,
перераб. – Луганск: СПД Резников В.С., 2006, 100с.
Приложение.
Источник