Как рассчитать давление в жидкости в сосуде формула
Формула давления жидкости отличается от формулы, с помощью которой можно рассчитать давление твердого тела. Потому, что давление жидкости не зависит от площади поверхности, на которую жидкость давит.
Закон Паскаля
Французский физик, Блез Паскаль, в 1653 году сформулировал закон: «Давление, которое мы оказываем на жидкость (или газ), она без изменения передаст в любую точку и во всех направлениях».
Мы немного упростим формулировку:
Жидкость (или газ) передает давление, оказанное на нее, одинаково и без изменений во все стороны.
Это значит, что на одной и той же глубине жидкость будет одинаково давить и на дно, и на стенки сосуда.
Рис. 1. Чем глубже, тем больше давление жидкости, но в любой точке жидкость передает это давление одинаково во все стороны
На рисунке 1 изображен сосуд, наполненный жидкостью. Высоту столбика жидкости – то есть, глубину, отсчитываем от поверхности жидкости.
Видно, что на разных глубинах давление отличается.
[ large begin{cases} h_{1} < h_{2} < h_{3} \ P_{1} < P_{2} < P_{3} end{cases} ]
Чем глубже, тем больше давление жидкости. Но в любой точке оно одинаково передается во все стороны.
Формула давления жидкости
Формула, по которой можно посчитать давление жидкости:
[ large boxed{ P = rho_{text{ж}} cdot g cdot h }]
( P left(text{Па}right) ) – давление жидкости;
( displaystyle rho_{text{ж}} left(frac{text{кг}}{text{м}^3} right) ) – плотность жидкости;
( displaystyle g left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения;
Для большинства школьных задач можно принимать ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) );
( h left(text{м}right) ) – высота столбика жидкости.
В формулу для давления жидкости не входит площадь S поверхности, на которую эта жидкость давит.
Поэтому, давление жидкости не зависит от площади. А давление твердого тела рассчитывают по другой формуле.
В некоторых задачах указывают объем используемой жидкости. И иногда просят рассчитать силу давления. Чтобы получить правильный ответ для таких задач, нужно уметь переводить площади и объемы в единицы системы СИ.
Сообщающиеся сосуды
Сообщающиеся сосуды – это емкости, расположенные на плоской горизонтальной поверхности, у дна они соединяются трубками.
Если в один из сосудов начать наливать жидкость, то она будет распределяться по всем сосудам, так, что ее уровень будет одинаковым во всех сосудах (рис. 2).
Рис. 2. В сообщающихся сосудах уровень жидкости будет одинаковым
Неважно, какую форму имеет сосуд. Давление жидкости во всех сосудах будет одинаковым. Поэтому одинаковой будет высота h столбика жидкости во всех сосудах.
U-образное колено
U-образное колено – это два сообщающихся сосуда, диаметры сосудов одинаковые.
Жидкости, которые заливают в колено, не должны смешиваться (рис. 3). Например, можно залить в оду трубку воду, а в другую – масло.
Рис. 3. Два сообщающихся сосуда одинакового диаметра образуют U-образное колено
Запишем формулы для расчета давления в левом (P_{1}) и правом (P_{2}) частях колена.
[ large boxed{begin{cases} P_{1} = rho_{1} cdot g cdot h_{1} \ P_{2} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases}} ]
Чем больше разница плотностей двух жидкостей, тем больше отличаются высоты их столбиков.
При решении задач общую нижнюю часть колена не учитываем. На рисунке 3 она отделена от верхней части горизонтальной линией.
Давление столбиков, оставшихся в верхней части, будет одинаковым.
( P_{1} ) – давление жидкости в левой части колена;
( P_{2} ) – давление жидкости в правой части колена.
[ large begin{cases} P_{1} = P_{2} \ rho_{1} cdot g cdot h_{1} = rho_{2} cdot g cdot h_{2} end{cases} ]
Обе части последнего уравнения разделим на ускорение свободно падения. Тогда получим соотношение для высот столбиков жидкости и их плотностей:
[ large boxed{ rho_{1} cdot h_{1} = rho_{2} cdot h_{2} }]
Высоты столбиков можно измерить линейкой. Зная плотность одной из жидкостей, можно найти плотность второй жидкости.
Примечание: Давление жидкостей часто измеряют в миллиметрах ртутного столба или метрах водяного столба. Переходите по ссылке, чтобы узнать, как связаны эти единицы измерения и как давление переводить в систему СИ.
Гидравлический пресс
Молекулы жидкости плотно упакованы, они прилегают друг к другу. Поэтому жидкости не сжимаемы! Это свойство жидкостей используют в гидравлическом прессе.
Гидравлический пресс – это два сообщающихся сосуда. Их называют цилиндрами. Диаметры цилиндров отличаются. Внутри каждого цилиндра вверх и вниз может свободно перемещаться поршень (рис. 4). Поршень плотно прилегает к стенкам цилиндра, чтобы жидкость из цилиндра не просачивалась наружу.
Рис. 4. Гидравлический пресс – это два сообщающихся сосуда различных диаметров, по сосудам могут без трения перемещаться поршни
Перемещаясь, поршень из цилиндра вытесняет жидкость в соседний цилиндр. Объем жидкости, вытесненной из одного цилиндра, совпадает с объемом, перешедшим в другой цилиндр, так как жидкость не проливается наружу.
[ large Delta V_{1} = Delta V_{2} ]
( Delta V_{1} left(text{м}^{3}right) ) – объем жидкости, вытесненной из первого цилиндра;
( Delta V_{2} left(text{м}^{3}right) ) – объем жидкости, перешедшей во второй цилиндр.
Из геометрии известно, объем цилиндрической фигуры можно найти по формуле:
[ large boxed{ Delta V = Delta h cdot S }]
( Delta h left(text{м}right) ) – высота столбика вытесненной жидкости;
( S left(text{м}^{2}right) ) – площадь поршня (или основания цилиндра);
Так как объемы вытесненной и перешедшей в другой цилиндр жидкостей равны, можем записать
[ large Delta h_{1} cdot S_{1} = Delta h_{2} cdot S_{2} ]
То есть, высоты столбиков отличаются во столько же раз, во сколько отличаются площади поршней.
Площадь поверхности поршня и его диаметр связаны соотношением:
[ large boxed{ S_{text{круга}} = pi cdot frac{d^{2}}{4} }]
( S left(text{м}^{2}right) ) – площадь поршня;
( d left(text{м}right) ) – диаметр поршня;
Давления в цилиндрах будут равны.
[ large P_{text{общ.лев}} = P_{text{общ.прав}} ]
Поршни в цилиндрах не двигаются – т. е. находятся в равновесии. Запишем условия равновесия для поршней:
[ large boxed{ frac{F_{1}}{S_{1}} + rho_{1} cdot g cdot h_{1} = frac{F_{2}}{S_{2}} + rho_{2} cdot g cdot h_{2} } ]
Здесь дробью вида (displaystylelarge frac{F}{S}) обозначено давление твердого тела (ссылка) – поршня.
Назовем цилиндр большого диаметра большим цилиндром, а цилиндр малого диаметра – малым. Сформулируем принцип действия гидравлического пресса:
С помощью малой силы в малом цилиндре мы можем создавать большую силу в большом цилиндре.
Источник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 21 июня 2020; проверки требуют 7 правок.
Гидростатическое давление – давление столба жидкости над условным уровнем.
Благодаря полной удобоподвижности своих частиц капельные и газообразные жидкости, находясь в покое, передают давление одинаково во все стороны; давление это действует на всякую часть плоскости, ограничивающей жидкость, с силой Р, пропорциональной величине w этой поверхности, и направленной по нормали к ней. Отношение P/w, то есть давление р на поверхность, равную единице, называется гидростатическим давлением[1].
Простое уравнение P = pw может действительно служить для точного вычисления давления на данную поверхность сосуда, газов и капельных жидкостей, находящихся при таких условиях, что часть давления, зависящая от собственного веса жидкостей, ничтожно мала по сравнению с давлением, передаваемым им извне. Сюда относятся почти все случаи давлений газов и расчеты давлений воды в гидравлических прессах и аккумуляторах[1].
Вычисление[править | править код]
В каждой жидкости существует давление, обусловленное её собственным весом ; так как , то ; учтём, что и получим формулу .
Плотность жидкости зависит от температуры. Для очень точных вычислений плотность следует рассчитывать по специальной формуле. Давление на данной глубине одинаково во всех направлениях. Суммарное давление, обусловленное весом столба жидкости и давлением поршня, называют гидростатическим давлением[2].
Для бытовых расчетов можно принять, что с ростом глубины на каждые 10 метров пресной воды, давление увеличивается на 0,1 МПа (1 атмосфера).
История открытия[править | править код]
Это основное свойство жидкостей было открыто и проверено на опыте Блезом Паскалем в 1653 г., хотя несколько ранее оно было уже известно Стевину[источник не указан 1272 дня].
Единица измерения[править | править код]
Единицей измерения давления в международной системе единиц является Паскаль. На практике гидростатическое давление часто измеряют в атмосферах, принимая за 1 атмосферу давление в 76 см ртутного столба, при температуре 0 °C при нормальном ускорении свободного падения 9,80665 м/с².
На основании гидростатического парадокса можно гидростатическое давление измерять также высотой столба ртути или воды, способного производить то же давление на единицу поверхности.
Свойства[править | править код]
Гидростатический парадокс[править | править код]
Гидростатическое давление на тело не зависит от направления.
Вычисление немного усложняется, когда надо узнать давление, производимое на не горизонтальную часть стенки сосуда вследствие тяжести налитой на него жидкости. Здесь причиной давления становится вес столбов жидкости, имеющих основанием каждую бесконечно малую частицу рассматриваемой поверхности, а высотой вертикальное расстояние от каждой такой частицы до свободной поверхности жидкости. Расстояния эти будут постоянны только для горизонтальных частей стенок и для бесконечно узких горизонтальных полосок, взятых на боковых стенках; к ним одним можно прилагать непосредственно формулу гидростатического давления. Для боковых же стенок надо суммировать, по правилам интегрального исчисления, давления на все горизонтальные элементы их поверхности; в результате получается общее правило: давление тяжелой жидкости на всякую плоскую стенку равняется весу столба этой жидкости, имеющему основанием площадь этой стенки, а высотой вертикальное расстояние её центра тяжести от свободной поверхности жидкости. Поэтому давление на дно сосуда будет зависеть только от величины поверхности этого дна, от высоты уровня жидкости в него налитой и от её плотности, от формы же сосуда оно зависеть не будет. Это положение известно под именем «гидростатического парадокса» и было разъяснено ещё Паскалем.
Действительно, оно кажется на первый взгляд неверным, потому что в сосудах с равными доньями, наполненными до равной высоты одной и той же жидкостью, вес её будет очень различный, если формы различны. Но вычисление и опыт (сделанный в первый раз Паскалем) показывают, что в сосуде, расширяющемся кверху, вес излишка жидкости поддерживается боковыми стенками и передается весам через их посредство, не действуя на дно, а в сосуде, суживающемся кверху, гидростатическое давление на боковые стенки действует снизу вверх и облегчает весы ровно на столько, сколько весило бы недостающее количество жидкости.
Закон Паскаля[править | править код]
Чем глубже, тем выше давление. (левая часть графика)
Гидростатическое давление жидкости с постоянной плотностью в однородном поле тяжести ( = несжимаемая жидкость) подчиняется закону Паскаля:
где:
– плотность [для пресной воды: ρ ≈ 1000 кг/м³] – ускорение свободного падения [для Европы: g ≈ 9,81 м/с²] – высота (здесь: жидкости) [м] – [Па]
⇒ = гидростатическое давление (p) зависит от высоты (h) жидкости.[4]
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- В. В. Лермантов. Гидростатическое давление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). – СПб., 1893. – Т. VIIIa. – С. 655-656.
Источник
Что такое давление жидкости
Наука гидростатика исследует ситуации, когда движение в жидкости отсутствует или скорость пренебрежимо мала, и позволяет понять некоторые свойства такой важной гидродинамической величины, как давление.
Теорема
Давление – физическая величина, описывающая силу, которая действует перпендикулярно поверхности на единицу ее площади. Для ее обозначения используется символ р или Р.
На опору под действием силы тяжести давят и твердые, и сыпучие вещества, но их воздействие отличается от гидростатического давления. Воздействие твердого тела определяется его весом, жидкости – ее глубиной. В газе и жидкости давящее воздействие на поверхности создается за счет хаотических столкновений молекул и связано с другими параметрами состояния вещества – например, температурой Т и плотностью (rho.)
Для жидкости, учитывая ее малую сжимаемость, вместо уравнения Клапейрона, учитывающего температуру и молярную массу газа, обычно используют условие несжимаемости, которое существенно упрощает уравнения гидроаэромеханики:
(rho = const.)
Сила гидростатического давления р на дно сосуда не зависит от его формы и изменяется пропорционально уровню налитой в сосуд жидкости и ее плотности в соответствии с основной гидростатической формулой:
(р = р_{0} + rhos gs h.)
(rho) здесь – плотность вещества, (р_{0}) – атмосферное давление, g – ускорение свободного падения, h – глубина погружения.
История открытия
Гидростатика как наука была достаточно хорошо известна еще в античные времена, поскольку она тесно связана с практической деятельностью людей. Для строительства лодок и кораблей, колодцев и различных гидравлических аппаратов, например, поршневых насосов, необходимо было понимать, как вода взаимодействует с твердыми материальными предметами.
Различие между давлением твердого тела и воды очень эффектно пояснил на опыте Блез Паскаль: всего лишь стакан воды, вылитый в высокую тонкую трубку, соединенную с наполненной водой закрытой бочкой, создал такое избыточное давление, что вода через щели брызнула наружу.
Определение
В 1653 году Паскаль сформулировал свой закон: давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку одинаково.
Позже был сконструирован прибор, демонстрирующий действие закона Паскаля. Он называется шар Паскаля и представляет собой заполняемый водой шар с маленькими отверстиями, соединенный с цилиндрической рукояткой, внутри которой движется поршень. Внешнее давление, производимое поршнем, передается во все точки воды одинаково, и она выплескивается в виде одинаковых струек. Поэтому струйки, вытекающие из отверстий, расположенных в горизонтальной плоскости, оставляют на полу следы равной длины.
Факторы, влияющие на показатель
На давление жидкости могут влиять:
- ее плотность;
- атмосферное давление;
- температура;
- глубина сосуда;
- площадь дна сосуда.
Давление на дно и стенку сосуда
Закон Паскаля утверждает, что давление в любом месте покоящейся жидкости или газа по всем направлениям одинаково, причем оно одинаково передается по всему объему вещества. Таким образом, разницы между давлением на дно и на стенку нет.
Расчет давления жидкости на дно и стенки сосуда
Чтобы найти давление на дно сосуда, нужно взять приведенное выше основное уравнение гидростатики и подставить туда глубину, плотность и атмосферное давление.
В случае стенок непосредственно прилагать эту формулу можно только к бесконечно малым горизонтальным полоскам на боковых стенках сосуда. Чтобы рассчитать давление на стенки, нужно суммировать давление на все горизонтальные элементы их поверхности, используя правила интегрального исчисления. Паскаль, проведя эти расчеты, доказал, что от формы сосуда давление жидкости не зависит.
Единицы измерения
В международной системе единиц давление измеряется в Паскалях. Один Паскаль равен силе в один ньютон, производящей равномерное давление на единицу поверхности в один метр. Но на практике часто используют такую единицу измерения, как атмосфера, равную 76 см ртутного столба при нулевой температуре по Цельсию.
Определение
Атмосфера – внесистемная единица измерения, которая примерно означает давление атмосферы Земли на уровне Мирового океана.
Формулы расчета
Для описания процессов в гидравлических прессах или любых других системах, в которых давление собственно жидкостей ничтожно мало по сравнению с передаваемым им извне, используется формула закона Паскаля:
(р = frac{F}{S}.)
F – сила, с которой происходит воздействие на поверхности сосуда, S – площадь этой поверхности.
В учебных задачах обычно опускают такой параметр, как атмосферное давление, и используют для расчетов формулу:
(р = rhos gs h.)
Можно вывести эту формулу для сосудов, имеющих форму прямой призмы или цилиндра, из закона Паскаля.
(m = rhos V = rhos Ss h)
Вес (Р = g s m = gs rhos Ss h.)
Вес столба, давящего на дно сосуда, равен силе, и тогда:
(р = frac{Р}{S} = gs rhos Ss frac{h}{S} = gs rhos h.)
Применение на практике
Для гидравлических механизмов, например, прессов, можно рассчитать пропорциональный изменению площади выигрыш в силе, зная, во сколько раз увеличивается площадь большего поршня по сравнению с меньшим.
Соотношение между полезной и затраченной работой описывается понятием КПД, коэффициент полезного действия, и рассчитывается по формуле:
(frac{F_{2}h_{2}}{F_{1}h_{1}})
Также закон Паскаля описывает работу жидкостных манометров, приборов для измерения давления, отличного от атмосферного. Давление в одном колене манометра вызывает повышение жидкости в другом колене – это явление называется избыточным столбом. По его высоте, соотнося ее с нанесенной шкалой, пользователь прибора узнает точную цифру в миллиметрах ртутного столба.
Гидростатический парадокс
Согласно гидростатическому парадоксу, давление жидкости на любую плоскую стенку равняется весу столба этой жидкости, давящему на основание, площадь которого равна площади этой стенки. Поэтому от формы емкости давление не зависит. Если емкость расширяется к горлышку, то вес содержимого распределяется по наклонным стенкам и передается вниз через стенки, не давя на дно, а если емкость к горлышку сужается, то содержимое давит на стенки снизу вверх, что уменьшает его воздействие на дно.
Источник
Поскольку на жидкость действует сила тяжести, жидкое вещество обладает весом. Вес – это сила, с которой оно давит на опору, т. е. на дно сосуда, в который налито. Закон Паскаля говорит: давление на жидкость передается в любую ее точку, не меняя своей силы. Как же рассчитать давление жидкости на дно и стенки сосуда? Будем разбираться в статье, используя наглядные примеры.
Опыт
Представим, что у нас есть цилиндрический сосуд, в который налита жидкость. Обозначим высоту слоя жидкости h, площадь дна сосуда – S, а плотность жидкости – ρ. Искомое давление – это P. Его вычисляют путем деления силы, действующей под углом 90° к поверхности, на площадь этой поверхности. В нашем случае поверхность – это дно емкости. P = F/S.
Сила давления жидкости на дно сосуда – это вес. Он равен силе давления. Наша жидкость неподвижна, поэтому вес равен силе тяжести (Fтяж ), действующей на жидкость, а значит, и силе давления (F=Fтяж). Fтяж находят так: умножают массу жидкости (m) на ускорение свободного падения (g). Масса может быть найдена, если известно, какова плотность жидкости и каков ее объем в сосуде. m = ρ×V. Сосуд имеет цилиндрическую форму, поэтому его объем мы будем находить, умножив площадь основания цилиндра на высоту слоя жидкости (V = S×h).
Расчет давления жидкости на дно сосуда
Вот величины, которые мы можем вычислить: V = S×h; m = ρ×V; F = m×g. Подставим их в первую формулу и получим такое выражение: P = ρ×S×h×g/S. Сократим площадь S, стоящую в числителе и знаменателе. Она исчезнет из формулы, а это значит, что давление на дно не зависит от площади сосуда. Кроме того, оно не зависит и от формы емкости.
Давление, которое жидкость создает на дно сосуда, называется гидростатическим. “Гидро” – это “вода”, а статическое – это потому, что жидкость неподвижна. По формуле, полученной после всех преобразований (P = ρ×h×g), определите давление жидкости на дно сосуда. Из выражения видно, что чем более плотная жидкость, тем больше ее давление на дно сосуда. Разберем подробнее, что собой представляет величина h.
Давление в толще жидкости
Допустим, мы нарастили сосуд снизу еще на некоторую величину, добавили дополнительное пространство для жидкости. Если мы поместим в емкость рыбку, давление на нее будет одинаковым в сосуде из предыдущего опыта и во втором, увеличенном? Изменится ли давление от того, что под рыбкой еще есть вода? Нет, потому что сверху находится определенный слой жидкости, на нее действует сила тяжести, значит, вода обладает весом. А то, что снизу, не имеет никакого значения. Следовательно, мы можем найти давление в самой толще жидкости, и h – это будет глубина. Она необязательно является расстоянием до дна, дно может быть и ниже.
Представим, что мы развернули рыбку на 90°, оставив ее на той же глубине. Изменится ли от этого давление на нее? Нет, потому что на глубине оно одинаково во всех направлениях. Если мы приблизим рыбку прямо к стенке сосуда, изменится ли давление на нее, если она будет оставаться на той же глубине? Нет. Во всех случаях давление на глубине h будет вычисляться по той же формуле. Значит, эта формула позволяет найти давление жидкости на дно и стенки сосуда на глубине h, т. е. в толще жидкости. Чем глубже, тем оно больше.
Давление в наклонном сосуде
Представим, что у нас есть трубка длиной около 1 м. Мы налили в нее жидкость так, что она заполнена целиком. Возьмем точно такую же трубку, наполненную до краев, и разместим ее под наклоном. Сосуды одинаковы и заполнены одной и той же жидкостью. Следовательно, масса и вес жидкости и в первой, и во второй трубке равны. Будет ли одинаковым давление в точках, расположенных на дне этих емкостей? На первый взгляд кажется, что давление P1 равно P2, поскольку масса жидкостей одинакова. Предположим, что это так, и проведем эксперимент, чтобы проверить.
Соединим нижние части этих трубок маленькой трубочкой. Если наше предположение о том, что P1 = P2, верное, то перетечет ли куда-то жидкость? Нет, потому что на ее частицы будут действовать силы противоположного направления, которые будут компенсировать друг друга.
Давайте приделаем к наклонный трубке сверху воронку. А на вертикальной трубке проделаем отверстие, в него вставим трубочку, которая загибается вниз. Давление на уровне отверстия больше, чем на самом верху. Значит, жидкость будет перетекать по тоненькой трубочке и наполнять воронку. Масса жидкости в наклонной трубке будет увеличиваться, жидкость потечет из левой трубки в правую, затем будет подниматься и циркулировать по кругу.
А теперь установим над воронкой турбину, которую соединим с электрическим генератором. Тогда эта система самостоятельно, без какого-либо вмешательства будет вырабатывать электроэнергию. Она будет работать без остановки. Казалось бы, это и есть «вечный двигатель». Однако еще в XIX веке Французская академия наук отказалась принимать любые подобные проекты. Закон сохранения энергии говорит о том, что создать «вечный двигатель» невозможно. Значит, наше предположение о том, что P1 = P2, неверное. На самом деле P1< P2. Как же тогда рассчитать давление жидкости на дно и стенки сосуда в трубке, которая расположена под наклоном?
Высота столба жидкости и давление
Чтобы это выяснить, проведем следующий мысленный эксперимент. Возьмем сосуд, наполненный жидкостью. Поместим в него две трубки из металлической сетки. Одну расположим вертикально, а другую – наклонно, таким образом, что ее нижний конец будет находиться на той же глубине, что и дно первой трубки. Поскольку емкости находятся на одинаковой глубине h, то давление жидкости на дно и стенки сосуда будет тоже одинаковым.
Теперь заделаем все отверстия в трубках. Из-за того, что они стали сплошными, давление в их нижних частях изменится? Нет. Хотя давление и одинаково, а сосуды равны по размеру, масса жидкости в вертикальной трубке меньше. Глубина, на которой находится нижняя часть трубки, называется высотой столба жидкости. Дадим определение данному понятию: это отсчитываемое по вертикали расстояние от свободной поверхности до данной точки жидкости. В нашем примере высота столба жидкости одинакова, поэтому и давление одинаково. В предыдущем опыте высота столба жидкости в правой трубке больше, чем в левой. Поэтому давление P1 меньше, чем P2.
Источник