Как разделить сосуд пополам

Предмет математики настолько
серьезен, что нельзя упускать случая, 
сделать его немного занимательным.

Блез Паскаль 
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его
применять.

Рене Декарт

Математика – самый короткий путь к
самостоятельному мышлению.

В. Каверин

Введение

В этой работе приведены материалы одного
занятия математического кружка, проводимого для
учащихся 5-6 классов в Центре образования №1454 г.
Москвы.

Цель проведения кружка:  создание
условий для развития творческой, познавательной
активности учащихся при изучении математики,
развитие и сохранение устойчивого и
долговременного интереса к предмету.

Задачи:

• развивать познавательные интересы  ребенка
  (восприятие, мышление, внимание, воображение,
  память и др.);
• формировать у учащихся устойчивый интерес к
  предмету и познавательную активность;
• формировать навыки самостоятельной работы и
  потребности в исследовательской деятельности;
• развивать коммуникативные качества учащихся.

Увлечение математикой часто начинается с
размышлений над какой-то новой, интересной,
нестандартной задачей. Она может встретиться и
на школьном уроке, и на занятии математического
кружка, в журнале или книге, ее можно услышать от
друга или от родителей. Задачи на логику
развивают сообразительность, интеллект и
упорство в достижении цели. Очень часто одна
решенная логическая задача  пробуждает у
ребенка устойчивый и долговременный интерес к
изучению математики,  желание искать и решать
новые логические, нестандартные задачи и задачи
повышенной трудности. А это, во многом, и есть
главная цель учителя.
Логические задачи – это хороший способ развития
умственных способностей.

Задачи на переливания

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы,  в одной из них оказался
ровно один литр воды?
2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?
3. Как, имея 5-литровое ведро и 9-литровую банку,
набрать из реки ровно три литра воды?
4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых 3-литровой банки и
5-литрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду на землю нельзя).
5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.
6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л
краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на
8 л? Какое наименьшее число переливаний
необходимо при этом сделать?
7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые кастрюли емкостью четыре литра и
пять литров. Отлейте по 2 л молока в каждую
кастрюлю.

Решения задач

1. Имеются двухлитровая и пятилитровая банки.
Как сделать так, чтобы,  в одной из них оказался
ровно один литр воды?

Решение.

Отразим результаты каждого шага переливания в
таблице.

2. Для марш-броска солдату необходимо иметь 4
литра воды. Больше он взять не может. На базе, где
имеется источник воды, есть только 5-литровые
фляги и 3-литровые банки. Как с помощью одной
фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

Решение.

3. Как, имея пятилитровое ведро и девятилитровую
банку, набрать из реки ровно три литра воды?

Решение.

Заполняем 9-литровую банку и выливаем из нее 5 л
в 5-литровое ведро. в 9-литровом ведре остается 
4 литра. выливаем воду из 5-литрового в реку и
наливаем в него 4 литра из 9-литрового. В
9-литровое  набираем воду из реки,  выливаем
оттуда 1 литр в 5-литровое, заполняя его доверху.
Теперь в 9-литровом ведре осталось 8 л. Выливаем
воду из 5-литрового опять в реку и из
9-литрового переливаем воду в 5-литровое. В
9-литровом теперь 3 литра. Если вода в ведре не
нужна, то ее можно вылить.

4. Из полного восьмилитрового ведра отлейте 4 л с
помощью пустых трехлитровой банки и
пятилитрового бидона. (Пользоваться другими
емкостями и выливать воду не землю нельзя).

Решение.

5. Отлейте из цистерны 13 л молока, пользуясь
бидонами емкостью 17 л и 5 л.

Решение.

6. Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12
л краски и хочет отлить из этого количества
половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л.
У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой
– вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л
краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число
переливаний необходимо при этом сделать?

Решение.

7. Имеются два полных десятилитровых бидона
молока и пустые  четырехлитровая и
пятилитровая кастрюли. Отлейте по 2 л молока в
каждую кастрюлю.

Решение.

Дополнительные задачи и задачи для
самостоятельного решения

1. Для разведения картофельного пюре быстрого
приготовления “Зеленый великан” требуется 1
л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров,
налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2. В походе приготовили ведро компота. Как, имея
банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот
порциями по 300 г?

3. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?

4. Взгляни на берег – там ты увидишь  две
банки. В одну из них помещается ровно два литра
воды, а в другую – три. Как налить в двухлитровую
банку точно один литр? Укажи два способа.

5. В два достаточно больших бидона как-то
разлили  3 л воды. Из первого переливают 
половину имеющейся в нем воды во второй, затем из
второго переливают половину имеющейся  в 
нем  воды  в первый,  затем  из первого
переливают половину имеющейся в  нем воды во
второй и т.д. Докажите, что независимо от того,
сколько воды было сначала в каждом из сосудов,
после  100 переливаний в них будет 2 л и  1 л с
точностью до миллилитра.

6. Две группы альпинистов готовятся к
восхождению. Для приготовления еды они
используют примусы, которые заправляют бензином.
В альплагере имеется 10-литровая канистра
бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров.
Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в
каждом?

7. Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и
решил разделить его пополам, чтобы съесть
половину до Нового Года, а другую половину –
после Нового года. Весь мед находится в ведре,
которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые
банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он
разделить мед так, как задумал?

8. Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась
морозной и снежной, и Белоснежка не знает точно,
сколько гномов решатся отправиться в далекое
путешествие в гости, однако знает, что их будет не
более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12
чашек, она наполнена водой, и две пустых – на 9
чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого
количества гостей, если угощать каждого одной
чашкой напитка?

9. Нефтяники пробурили скважину нефти.
Необходимо доставить в лабораторию на
экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется
9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих
сосудов набрать 6 литров?

10. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком.
Требуется перелить из этого бидона 5 л в
семилитровый бидон, используя при этом ещё один
бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать?

11. Можно ли отмерить 8 л воды, находясь у реки и
имея два ведра: одно вместимостью 15 л, другое
вместимостью 16 л?

12. Есть три бидона емкостью 14, 9 и 5 литров. В
большом бидоне 14 л молока, остальные пусты. Как с
помощью этих бидонов разделить молоко пополам?

13. Имеется три сосуда без делений объемами 6 л, 7
л, 8 л, кран с водой, раковина и 6 л сиропа в самом
маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний
получить 12 л смеси воды с сиропом, так чтобы в
каждом сосуде воды и сиропа было поровну?