Как с помощью цилиндрического сосуда
Сегодня я заварил себе чай и задумался
Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.
Идея эксперимента
Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.
Физическая модель
Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.
Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.
Качественный расчет формы поверхности
Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:
К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.
Таким образом, у нас получится следующее выражение:
, где , а та самая сила определится как , где площадью эффективного сечения обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости .
Получаем силу
Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле , а сам объем будет равен (элементарный объем в цилиндрических координатах).
В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:
После небольших сокращений и преобразований получаем:
Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:
Детальный расчет формы поверхности
Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина . Давайте её определим для полного понимания физики процесса.
Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ツ), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.
До вращения:
, где – это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).
Во время вращения:
Данные объемы равны, поэтому:
Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная:
И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:
или преобразовав
Некоторые заметки
Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.
Графическое представление результатов расчета
Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.
Радиус цилиндрической поверхности:
Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения:
Ускорение свободного падения:
Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности:
(Все значения этих величин заданы в системе Си)
Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.
Для 2D отображения сечения:
Для 3D отображения поверхности:
В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения . Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
При циклической частоте
Выводы
Видно, что если циклическая частота превысит значение , то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.
upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:
1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.
2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.
3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.
Источник
Уравнение поверхности уровня (в частности, свободной поверхности жидкости) во вращающихся вместе с сосудом цилиндрических координатах (г, г) имеет вид [c.79]
В дальнейшем рассмотрим два случая первый случай – сосуд призматический второй случай – сосуд цилиндрический с горизонтальной осью. [c.108]
Форма сосуда цилиндрическая, )=100 мм Н-2 м, =0,2 м, hi- м. [c.52]
Рассмотрим, в частности, случай, когда сосуд цилиндрический, радиуса а, и вращение происходит вокруг оси сосуда. [c.278]
Автор. Да. На первом этапе работы было проведено такое сопоставление. Результаты испытаний образцов и сосудов цилиндрической формы оказались близкими. [c.70]
Уравнение поверхности уровня во вращающихся вместе с сосудом цилиндрических координатах (г, z) имеет вид [c.103]
Какие технологические приемы применяют при изготовлении сосудов цилиндрической формы [c.386]
Для измерения плотности электролита применяют прибор, называемый ареометром. Ареометр состоит из стеклянного сосуда цилиндрической или грушевидной формы, на верхнюю часть которого плотно надет резиновый шар, на нижнюю – резиновая трубка, внутри сосуда помещен маленький ареометр. Для замера плотности электролита в аккумулятор опускают резиновую трубку, предварительно сжав резиновый шар. При разжимании шара в стеклянный сосуд всасывается электролит в количестве, достаточном для того, чтобы в нем мог свободно плавать ареометр. [c.41]
Пример 1. Определить частоту колебаний жидкости в сообщающихся сосудах неправильной формы (рис, 352, а). Собственную частоту колебаний в сообщающихся сосудах цилиндрической формы и постоянного сечения (рис. 352, б) определить очень просто. При отклонении уровней жидкости от равновесия на величину X на жидкость действует сила тяжести неуравновешенной части 2 р5 , эта возвращающая сила и приводит в движение всю массу жидкости р51, где [c.430]
Функция /, определяемая соотношением (6.3), где Т постоянно, р задается формулой (6.14), а V – формулой (6.8), должна, конечно, удовлетворять граничным условиям. Это налагает дальнейшие ограничения при реальных граничных условиях единственным возможным решением будет поступательное движение с постоянной скоростью, а вращение газа как твердого тела допустимо, только если газ находится в сосуде цилиндрической формы бесконечной длины с осью, параллельной вектору со ). [c.76]
Термосифонный фильтр (рис. 156) представляет собой металлический сосуд цилиндрической формы, внутри которого имеются перфорированный диск и сетка для засыпки на них сорбента. Крышка и дно [c.807]
| Рис. 1. Керамическая аппаратура открытого типа а – сосуд цилиндрической формы б – котел в – чаша г-сосуд конический д-ванна |
Сосуды цилиндрические и конические применяют для хранения агрессивных жидкостей. Их изготовляют различных размеров (ГОСТ 735-41) цилиндрические емкостью от 5 до 1000 л, а конические -от 10 до 1000 л. По отдельным заказам изготовляют также сосуды емкостью 1500 и 2000 л. [c.11]
Задача 1-83. Сосуд цилиндрической формы заполнен нефтью с удельным весом ун = 7,848 н/м = [c.65]
Задача 1-83. Сосуд цилиндрической формы заполнен нефтью с удельным весом ун=7 848 н/ж =800 кГ/м . Верхняя часть сосуда имеет диаметр =0,40 м и высоту / 1=0,60 м, а нижняя >= 1 м и высоту / 2=0,30 м (рис, 1-68). [c.62]
Красконагнетательные бачки служат для подачи краски в пистолет-распылитель и представляют собой сосуд цилиндрической формы с днищем и массивной крыщкой (рис. 81). На крышке смонтированы редуктор, манометр, при помощи которого определяют давление [c.227]
Наиболее часто применяются деревянные сосуды цилиндрической формы из-за простоты их изготовления и сборки. Корпус резервуара изготавливают из клепки, форма поперечного сечения которой определяется диаметром сосуда. Толщина клепки, как правило, берется больше 60 л(л(,чтобы обеспечить жесткость стенок при стягивании обручей. В целях достижения герметичности обручи на деревянных чанах располагают на расстоянии 200- 500 мм друг от друга. Особо ответственным в деревянном сосуде [c.83]
Для накопления большого количества жидкого чугуна вагранки снабжаются копильником 16 такая конструкция вагранок в настоящее время наиболее распространена. В этих вагранках жидкий чугун непрерывно перетекает с лещади через переходную летку 15 в копильник, который представляет собой сосуд цилиндрической формы, выложенный шамотным [c.229]
Часто вагранки делают с копильниками. Вагранка с копильником показана на фиг. 236. Копильник 1 представляет собой сосуд цилиндрической формы, выложенный из шамотного кирпича, с набивной лещадью. Он имеет желоб для выпуска чугуна 2 и желоб для выпуска шлака. Заправка копильника производится через дверку 4, в которой устроено смотровое очко. Для заправки лещади и розжига вагранка имеет рабочее окно 5. Показанная на фиг. 236 вагранка имеет два ряда фурм. Двухрядное и трехрядное расположение фурм способствует более равномерному распределению дутья в вагранке и улучшает процесс плавки. Фурмы нижнего ряда [c.224]
Сопряжение оболочек вращения составных 9-19, 24-26 Сосуды цилиндрические – Расчет прн скачкообразно меняющейся толщине 25 [c.462]
Глушитель снижает шум при выпуске отработавших газов из двигателя. Он представляет собой сосуд цилиндрической или овальной формы из жароупорной стали. Внутри сосуда имеется труба с большим количеством отверстий и несколько поперечных перегородок. Действие глушителя основано на расширении газов, когда они выходят из внутренней трубы в корпус глушителя, изменяют направление, проходя между перегородками, и тормозятся на выходе. [c.95]
Н о в о с а д Я., Установившийся поток сыпучих материалОй в сосудах цилиндрической формы. Материалы Всесоюзной межвузовской научной конференции по процессам в дисперсных сквозных потоках, ОТИЛ, Одесса, 1967. [c.411]
Вычисляем объем металла, необходимого для изготовления сосудов – цилиндрического = St = ndt + 25д )t, 5д = Indh, [c.227]
На рисунке 12 изображена схема одной из конструкций диф4>у-зионной камеры. Камера представляет собой герметически замкнутый сосуд цилиндрической формы. Этот сосуд может быть заполнен любым газом, употребляемым в камерах Вильсона. Боковая цилиндрическая стенка изготовляется из стекла. Вверху со стенками соединяется металлическое кольцо с желобком, заполняемым метиловым или этиловым спиртом, который служит источником пара. Выше кольца размещено верхнее плоское стекло, закрывающее [c.49]
По типу датчиков вихретоковые дефектоскопы разделяют на приборы с накладной системой, когда катушка располагается непосредственно на объекте (для плоских изделий при выявлении преимущественно поверхностных дефектов) (рис.6.40, а) и проходной катушкой, когда объект контроля (или сама катушка) входит в объект (для труб, сосудов, цилиндрических деталей) (рис. 6.40, б). При этом вихревые токи возбуждаются переменным магнитным полем Ф . Информацию о свойствах изделия даттак пол ает через маг нитный поток Фд, создагшый вихревыми токами с плотностью 5. Векторы напряженности возбуждающего поля Hq и поля вихревых токов направлены нгшстречу друг другу. ЭДС в обмотке датчика пропорциональна разности потоков Фп-Ф . [c.199]
В частном случае, когда Q = 0 и Q = onst кости под уровень при пере-(сосуд цилиндрический), зависимость (10-90) упрощается и получает вид [c.399]
Высокотемпературные испытания производятся в камере, которая представляет собой замкнутый герметичный сосуд цилиндрической формы с необходимым конструктивным оборудованием, обеспечивающим проведение испытаний (рис. 52). Камера состоит из цилиндрической обечайки 4 с плоскими боковыми стенками и двух крышек – передней (дверцы) и задней. В боковые стенки камеры 11 вварены фланцы 13. Один фланец используется для крепления корпуса механизма измерения деформации, другой – для механизма измерения диаметра образца. В верхней части камеры по вертикальной оси вварен фланец 5 для крепления сильфона. Задняя стенка 34 замыкает обечайку и крепится сварным вакуумоплотным швом. В нижнюю часть [c.124]
Применение энергии взрыва при изготовлении крупногабаритных сосудов цилиндрической формы является более проблематичным. Прежде всего из-за необходимости вести технологический процесс в штамповой o Ha TKej которая для процессов раздачи слоев сосудов [c.52]
Камера представляет собой замкнутый металлический сосуд цилиндрической формы со штуцерами и отверстиями для развальцовки труб, а также с отверстиями для лючковых затворов. Лючко-вые затворы применяются преимущественно в камерах котлов малой и средней мощности. [c.188]
Кузов полуприцепа – металлический сосуд цилиндрической формы (цистерна), на сосуде установлены предохранительная и контрольно-измерительная аппаратура, узел заправочный, закрытый защитным кожухом, наполнение сосуда производится электронасосом через трубопроводы наполнительной и паровой фазы наполнение баллонов газобаллонных автомобилей производится через сливной трубопровод (трубопровод заправки баллонов) и линию отвода паровой фазы сосуд состоит из цилиндрической обечайки и двух эллиптических днищ внутри сосуда размещены три волнорезных перегородки для гашения гидравлических ударов сжиженного газа во время движения, трубка максимального налива и индикатор уровня, на сосуде размещен люк-лаз. [c.235]
Сосуд Мариотта представляет собой плотно закрытый сосуд, в крышке которого укреплена трубка, сообщающая сосуд с атмосферой. В стенке сосуда имеется отверстие d=10 мм. Определить время опорожнения сосуда от верхнего до нижнего обреза трубки. Объемом жидкости в трубке и сопротивлением при истечении пренебречь. Форма сосуда цилиндрическая, Е>=100мм, Ь =0,2м, h2=t м, Н=2 м, е=1. [c.134]
Одновременно с исследованиями, проводившимися во Фран ции и Германии, опыты обеззараживания воды ультрафиолетовыми лучами ставились и в России. Опыты русских исследователей [32, 34], проводившиеся на аппаратах оригинальных конструкций, носили более практический характер и преследовали цель использовать метод обеззараживания воды ультрафиолетовыми лучами на водопроводных станциях. Одним из первых отечественных аппаратов для обеззараживания воды ультрафиолетовыми лучами был аппарат системы О. Шейдта (1910 г.). Он состоял (рис. 11) из металлического сосуда цилиндрической формы объемом 8 л. Внутри цилиндра были впаяны горизонтально два усеченных конуса вершинами навстречу друг другу с промежутком в 12,5 см. Между конусами оставалось два прямоугольных отверстия 8,5×65 си, служившие для прохода воды. По центральной оси между конусами разме- [c.29]
Стандартный баллон (рис. 203) для кислорода емкостью 40 дм при давлении 15 Мн1м (150 ат) содержит 6 ж кислорода и представляет собой стальной сосуд цилиндрической формы. Вентиль баллона имеет боковой штуцер для присоединения редуктора. На горловину плотно насажено кольцо с наружной резьбой для навинчивания предохранительного колпака. [c.484]
Зарядка аккумулятора осуществляется за счет поступления пара в водяной объем. При этом вода нагревается, увеличиваются испарение воды и давление пара в паровом пространстве аккуму-лято ра. При увеличении расхода пара потребителями давление в аккумуляторе понижается, увеличивая испарение воды (разрядка аккумулятора). Паровые аккумуляторы выполняются в виде горизонтальных сосудов цилиндрической формы, заполненных на 90-95% водой. При проектировании аккумуляторов соотношение между длиной и диаметром должно быть равным // =4- -5. Тепловые потери изолированных аккумуляторов даже при установке на открытом воздухе незначительны и не превышают 120- 180 Вт/м . [c.57]
В производственной практике известен случай, когда прямоугольный бак, предназначенный для серной кислоты, неоднократно перефутеровывался диабазовой плиткой в 2 слоя, однако срок службы футеровки не превышал 4 месяцев. Только лишь после замены прямоугольной коробки на сосуд цилиндрической формы с диабазовой футеровкой в 2 слоя срок службы аппарата увеличился до 3 лет (без каких-либо ремонтов). [c.37]
Рассмотрим, насколько понизится свободная поверхносгь при относительном равновесии сравнительно с абсолютным равновесием при неподвижном сосуде. Пусть при неподвижном сосуде аЬ будет поверхностью жидкости (фиг. 390). Назовем расстояние ОА через S. Положим, что сосуд цилиндрический и радиус основания этого цилиндра есть а. Количестдо жидкости, занимающее объем при [c.638]
Проверку плотности электролита прои-зводят при помощи сифонного ареометра (рис. 40), состоящего из стеклянного сосуда цилиндрической или грушевидной формы. На верхнюю часть сосуда плотно насаживают резиновую грушу, а на нижнюю – резиновую трубку. [c.92]
Воздухонагреватель (рис. 25) представляет собой сосуд цилиндрической формы, заканчивающийся куполом. Высота его может достигать 45,2 м, а диаметр 9,5 м. Кожух воздухонагревателя сварной из листового железа толщиной 14-16 мм. Внутреннее пространство выложено огнеупорным кирпичом и разделено огнеупорной стеной на две части – камеру горения и насадки. Верхние ряды камеры горения и насадки выкладываются из высокоглиноземистого кирпича, остальная часть футеровки – из рядового шамотного кирпича. Для уменьше- [c.124]
Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести (1981) — [ c.197 ]
Источник