Какую силу давления испытывает боковая стенка сосуда длиной 2 м

Московский государственный университет печати

Физика. Часть 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика

Курс лекций

Статика – раздел механики, изучающий условия, при которых тело покоится при наличии внешних воздействий. Статика, как наука, возникла в глубокой древности и развивалась под влиянием практических нужд человечества, связанных со строительством различных сооружений, мостов, кораблей.

Тело находится в равновесии в некоторой системе отсчета, если в этой системе отсчета оно покоится.

Например, книжная полка, висящая на стене в комнате, находится в равновесии относительно инерциальной системы отсчета, связанной с комнатой. Стул, стоящий на вращающейся сцене театра, находится в равновесии относительно неинерциальной системы отсчета, связанной со сценой.

Статика – частный случай динамики, когда все скорости равны нулю. Поэтому все условия, при которых наступает равновесие тела, могут быть получены из законов динамики, т.е. законов Ньютона.

Определим понятие равнодействующей силы . Сила характеризуется точкой приложения к телу, направлением в пространстве и численным значением, что дает основание считать силу векторной величиной. В математике мы имеем дело со свободными векторами, их можно переносить в пространстве параллельно. Но результат действия физической силы зависит от точки ее приложения. Операция нахождения равнодействующей силы называется сложением сил.

Точку приложения силы можно переносить по линии ее действия в любую точку твердого тела и две силы

»/> и »/> , приложенные в одной точке тела и направленные под углом друг к другу, оказывают на тело такое же воздействие, как и одна сила F , найденная как их векторная сумма F = »/> + »/>, по правилу параллелограмма, и приложенная в той же точке ( рис. 20 ).

Не всякую систему сил можно привести к равнодействующей. Пара сил является наиболее простым примером системы сил, не имеющей равнодействующей ( рис. 19

).

Парой сил называются две равные по модулю и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, рис. 19

.

Равновесие материальной точки.

Условием равновесия материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета будет равенство нулю суммы всех сил, действующих на материальную точку:

»/>

Поскольку все силы приложены в одной точке, то их можно сложить с использованием правила параллелограмма. Получим равнодействующую

»/>. Тогда условием равновесия материальной точки

будет равенство нулю равнодействующей силы:

»/> = 0.

Векторное равенство (4.1) можно записать в проекциях на любую ось в пространстве, например,

»/>

т.е. при равновесии материальной точки сумма проекций на соответствующую ось всех сил равна нулю.

Условие (4.1) является необходимым, но недостаточным условием равновесия. При этом условии, как следует из второго закона Ньютона, точка может не только покоиться, но и двигаться прямолинейно и равномерно.

Равновесие тела с закрепленной осью вращения в плоском случае.

Пусть твердое тело может только поворачиваться вокруг неподвижной фиксированной оси О. На рис. 21

ось О перпендикулярна плоскости рисунка.

Рассмотрим плоский случай , т.е. случай, когда все силы, действующие на тело, лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Количественной величиной, отвечающей за равновесие тела и характеризующей способность отдельной силы вращать тело, является не сама сила, а величина, равная произведению модуля силы на расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

На рис. 21

»/> – плечо силы »/>, »/> – плечо силы »/>, »/> – плечо силы »/>.

Момент силы – произведение модуля силы на плечо

»/>.

Момент силы, вращающий тело против часовой стрелки , считают положительным , а момент, вращающий тело по часовой стрелке , – отрицательным .

На рис. 21

»/>

Твердое тело с закрепленной осью вращения находится в равновесии в некоторой инерциальной системе отсчета, если алгебраическая сумма моментов относительно этой оси всех действующих на тело внешних сил равна нулю:

»/>.

Сформулированное условие равновесия является необходимым, но недостаточным. Действительно, при равенстве нулю суммы моментов действующих на тело сил, тело может не только покоиться, но и равномерно вращаться.

В наиболее общем случае условие равновесия твердого тела :

1) векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю

»/>

2) алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, рана нулю

»/>

Одной из особенностей вращательного движения тела вокруг неподвижной оси является зависимость вращения не непосредственно от величины приложенной силы, а от момента этой силы относительно оси вращения. И даже при очень малом значении модуля силы момент силы может иметь большую величину, если плечо силы достаточно велико. Эта особенность лежит основе работы рычага – одного из древнейших орудий труда человека. Схематически любой рычаг можно представить как тонкий стержень, который может вращаться вокруг неподвижной оси, перпендикулярной стержню и проходящей не через его центр.

Точка О стержня, через которую проходит ось вращения, делит стержень на неравные отрезки длиной

»/> и »/>. Стержень расположен горизонтально, и к концам стержня приложены две силы »/> и »/>. Если стержень достаточно легкий, то действием силы тяжести можно пренебречь.

Из условия равновесия стержня:

»/>

Моменты сил

»/> и »/> относительно оси вращения входят в уравнение с разными знаками в соответствии с правилом винта: в одном случае сила стремится повернуть стержень по часовой стрелке, а в другом – против. Получаем условие равновесия в виде:

»/>

Из него следует, что как бы ни была велика, например, сила

»/> ее всегда можно уравновесить малой силой »/>, если выбрать плечо »/> достаточно большим по сравнению с »/>.

Отличительной особенностью жидкостей и газов является их текучесть, что проявляется в способности принимать форму сосудов. В жидкости нет сил, препятствующих сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоев жидкости относительно других. Этим объясняется текучесть и то, что одни слои жидкости могут действовать на неподвижные относительно них другие слои только перпендикулярно поверхности соприкосновения слоев, а также перпендикулярность действия сил давления со стороны жидкости на стенки и дно сосуда. Характеристикой такого взаимодействия служит давление.

Давление – физическая величина, равная отношению силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности:

Давление – величина скалярная по определению. Величина давления в данной точке жидкости (или газа) не зависит от ориентировки плоской поверхности, что следует из свойства текучести жидкости.

Пусть жидкость (или газ) заключена в замкнутый сосуд, рис. 23

.

Закон Паскаля: Давление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на ее границе, например, поршнем, передается без изменения во все точки жидкости.

Давление, которое появляется в жидкости из-за поля тяжести, называется гидростатическим . В жидкости на глубине H , считая от поверхности жидкости, гидростатическое давление Р равно:

»/>

»/> – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Закон сообщающихся сосудов: если в открытые сообщающиеся сосуды налита одна и та же жидкость, ее уровень во всех сосудах одинаков.

Полное давление в жидкости складывается из давления на поверхности жидкости (обычно это атмосферное давление) и гидростатического.

Атмосферное давление обусловлено весом воздушного столба. Действует на все тела, находящиеся вблизи поверхности Земли. Нормальное атмосферное давление равно 101 кПа ( 760 мм рт.ст). Атмосферное давление уменьшается с увеличением высоты.

На поверхность твердого тела, опущенного в жидкость (или газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения и на нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю. Появляется так называемая выталкивающая сила, называемая силой Архимеда .

Выталкивающая сила – это сумма всех сил, действующих на поверхность погруженного в жидкость тела, со стороны жидкости ( рис. 24

).

Закон Архимеда: выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена

»/>

»/> – плотность жидкости, V – объем погруженной части тела (равный объему вытесненной жидкости).

Тело плавает, если сила Архимеда уравновешивает силу тяжести.

»/>

В механике жидкости и газы рассматриваются как некоторые непрерывные (сплошные) среды, характерными особенностями которых являются их текучесть, отсутствие собственной формы. Это, естественно, сказывается и на их поведении.

Части жидкости или газа, двигаясь друг относительно друга, испытывают силы трения и давления. Если действием трения (его часто называют внутренним) можно пренебречь, то жидкость или газ называют идеальным . На любой участок такой жидкости или газа могут действовать только силы нормальные их поверхностям.

Введем понятие линии тока как кривой, касательная к которой в каждой точке указывает направление скорости частиц жидкости в этой точке. (Ясно, что так определенная линия тока есть просто траектория частицы жидкости.). Трубкой тока называется область пространства, ограниченная линиями тока.

Уравнение Бернулли устанавливает связь между скоростью жидкости в каком либо месте, давлением жидкости в этом месте и высотой этого места в случае стационарного потока , т.е. такого потока, в котором за любые равные промежутки времени через любое сечение трубки тока протекает одинаковое количество жидкости.

Для вывода этого уравнения рассмотрим жидкость, движущуюся по трубе переменного сечения ( рис. 25, а

). Жидкость втекает со скоростью »/> через сечение »/> находящееся на высоте »/> над уровнем земли, давление в этом месте равно »/>. Через сечение площадью »/>, находящееся на высоте »/>, жидкость вытекает из трубы со скоростью »/>, давление на выходе равно »/>. За бесконечно малый промежуток времени »/> через левое сечение втекает масса жидкости »/>, за это же время через правое сечение вытечет такая же масса жидкости »/>.

Таким образом, мы получаем для идеальной жидкости на основании закона сохранения вещества простое соотношение между скоростью течения жидкости и площадью сечения (уравнение неразрывности):

»/>

При перемещении массы жидкости

»/> по трубе силы внешнего давления совершают работу. Сила давления, действующая на левое сечение, равна »/> и она перемещает жидкость на расстояние »/>. Аналогично для правого сечения: сила »/> совершает работу против силы давления »/> и перемещает жидкость на расстояние »/>. Полная работа сил давления при таком перемещении равна

»/>

Эта работа затрачена на увеличение кинетической энергии массы жидкости

»/>, скорость которой изменилась от »/> до »/> и на изменение ее потенциальной энергии в поле силы тяжести при переходе с уровня »/> на »/>. В соответствии с законом изменения энергии

»/>

Разделим обе части равенства на объем

»/> и учтем, что плотность жидкости равна »/>, а из уравнения неразрывности струи »/>. В результате получим уравнение:

»/>

Перенесем все слагаемые, характеризующие жидкость в первом сечении, в левую часть, тогда

»/>

Таким образом, для стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие

»/>

Уравнение (4.2) называется уравнением Бернулли в честь швейцарского математика и механика, оно позволяет находить неизвестные параметры в любом месте течения, если определены начальные параметры v, P, h .

В левой части этого уравнения фигурируют следующие физические величины: Р – давление в выбранном сечении,

»/> – кинетическая энергия единицы объема жидкости около этого сечения, »/> – потенциальная энергия единицы объема жидкости около сечения, v – скорость жидкости относительно стенок сосуда.

Так как все слагаемые уравнения (4.2) имеют размерность давления, то уравнение Бернулли часто формулируют иначе. Давление Р называют статическим напором , величину

»/> называют гидравлическим напором, а величину »/> – скоростным или динамическим напором . Следовательно, полный напор в движущейся жидкости, складывающийся из статического, гидравлического и динамического напоров, остается постоянным.

Рассмотрим следствия, предсказываемые этим уравнением, и сравним их с экспериментом.

1. Если жидкость неподвижна , то из (4.2) должно получиться обычное соотношение между глубиной и давлением:

»/>

2. Если

»/> – давление наверху в жидкости (атмосферное давление), a ( »/>) – глубина h , отсчитываемая от поверхности жидкости, то получается формула – давление в жидкости на глубине h :

»/>

3. Если отбросить член, соответствующий потенциальной энергии, то получается соотношение между давлением и скоростью вдоль линий тока для жидкости, текущей горизонтально . Где скорость велика, там мало давление:

»/>

Когда жидкость вытекает из отверстия вблизи дна сосуда, линии тока сходятся, как показано на рис. 25, б

. Площадь поперечного сечения выходящей струи меньше, чем площадь отверстия. Воспользуемся уравнением Бернулли для определения скорости струи при выходе из отверстия (верхний уровень жидкости находится на высоте h относительно отверстия):

»/>

Оба давления равны атмосферному

»/>. Верхний уровень жидкости перемещается очень медленно по сравнению со скоростью струи »/>. Если предположить, что скорость »/> приблизительно равна нулю, то уравнение получится в виде:

»/>

откуда скорость вытекания жидкости

»/>

Работами Бернулли были заложены основы науки о движении жидкостей, которая сейчас представляет собой самостоятельную науку гидродинамику.

1. Сравните, используя уравнение Бернулли, скорость течения жидкости и давление, если жидкость течет по горизонтальному каналу.

2. Что такое идеальная жидкость?

3. Как определяется давление идеальной жидкости?

4. Как определить давление в жидкости на глубине h ?

5. В чем заключается закон Паскаля?

6. Сформулируйте закон Архимеда.

7. В чем заключается физический смысл потока вектора скорости идеальной жидкости?

8. На основании каких физических понятий и законов можно получить уравнение Бернулли?

9. Какую силу давления испытывает боковая стенка сосуда длиной 2 м, если угол ее наклона составляет 30°, а высота столба воды в сосуде 10 м? (

»/> Па)

10. В прямоугольном бассейне со сторонами 10 и 5 м глубина воды составляет 1,5 м. Какова сила давления воды на дно и на каждую стенку?

© Центр дистанционного образования МГУП

Источник

Источник