Колебания жидкости в u образном сосуде

В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо, с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями.

Жидкость занимает часть

сосуда U-образной формы, представляющего собой изогнутую трубку

радиуса rо. Масса жидкости М0, ее плотность рo0. Стенки

сосуда идеально гладкие, поверхностным натяжением пренебрегается,

атмосферное давление Ро и ускорение свободного падения g постоянны.

В состоянии равновесия жидкость, очевидно, покоится, ее высота в обоих коленах сосуда одинакова. Если ее вывести из равновесия, то

начнется движение, характер которого установим с помощью ЗСЭ.

Потенциальную энергию системы вычислим через работу, которую необходимо совершить, чтобы переместить ее из состояния равновесия в положение, изображенное на рисунке.

где Р – вес той части жидкости в левом колене, уровень которой

превышает величину h2. Работа сил атмосферного давления равна нулю,

так как для разных колен соответствующие перемещения направлены

в разные стороны.

Неизвестные величины h1(t) и h2(t) связаны соотношением h1(t) + h2(t) = const > 0, выражающим постоянство полной длины столба жидкости в сосуде с постоянным сечением. Подставляя последнее равенство в выражение для Еп получаем после интегрирования

При вычислении кинетической энергии учтем постоянство сечения

трубки и несжимаемость жидкости. Это означает, что столб жидкости

движется как целое, и ее скорость v(t) одинакова во всех сечениях.

Примем за v(t) величину dh2(t)/dt и тогда

а из ЗСЭ следует

Так как dE/dt = 0, то, продифференцировав это выражение, получаем

что, с учетом такого же соотношения для величины h1(t), дает

уравнение

где h = (h2 – h1)/2 – отклонение уровня жидкости от положения

равновесия.

Т.е. в данной системе будут происходить незатухающие гармонические колебания.

48. Электрический колебательный контур.

Это устройство представляет собой конденсатор, соединенный проводами с катушкой индуктивности. В момент t = 0 цепь замыкается, и заряд с обкладок

конденсатора начинает распространяться по цепи.

Сопротивление проводов будем считать равным нулю, емкость конденсатора равна С, индуктивность катушки L. Для изменяющейся со временем величины q(t), где q(t) – заряд на обкладках

конденсатора, необходимо получить соответствующее уравнение.

Ток i(t) и напряжение u(t) также являются функциями времени.

По физическому смыслу величины С в любой момент времени имеем равенство u(t) = q(t)С (емкость равна величине заряда, который необходимо поместить на обкладки конденсатора для увеличения разности потенциалов между ними на единицу).

Так как электрическое сопротивление в цепи отсутствует, то падения напряжения на проводах нет, и разность потенциалов u(t), существующая на конденсаторе, подается непосредственно на катушку. При переменном токе в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции, равная

Колебания жидкости в u образном сосуде = -Ldi/dt. L- Коэффициент пропорциональности между изменением силы тока и ЭДС

Закон Ома для цепи в отсутствие сопротивления выглядит следующим

образом: u(t) = – Колебания жидкости в u образном сосуде (t), или q(t)/C = – (t) = Ldi/dt.

Так как по определению i = -dq/dt (i- скорость изменения заряда

Э проходящего через сечение проводника), то из последнего соотношения

получаем уравнение Колебания жидкости в u образном сосуде

Т.е. в системе «емкость-индуктивность» колебания происходят также, как и в системе «шарик-пружина».

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Колебания жидкости в u образном сосуде

Рис.4.8. Колебания жидкости в трубке

В состоянии равновесия верхний уровень воды расположен на высоте l. Воду вывели из положения равновесия и она совершает колебания, переливаясь из одного колена трубки в другое. Для определения частоты (или периода) этих колебаний воспользуемся законом сохранения энергии. В качестве координаты, характеризующей положение воды, выберем величину x − отклонение уровня воды в одном колене от положения равновесия. Если площадь поперечного сечения трубки S постоянна по ее длине, то скорость течения жидкости будет одинакова и равна производной от введенной координаты Колебания жидкости в u образном сосуде . Следовательно, кинетическая энергия движущейся жидкости равна

Колебания жидкости в u образном сосуде

где Колебания жидкости в u образном сосуде − плотность воды,− ее объем (пренебрегая частью жидкости, находящейся в нижней части трубки, которую будем считать малой). Потенциальная энергия тела в поле тяжести земли равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты центра масс, поэтому в рассматриваемом случае

Колебания жидкости в u образном сосуде ,

где первое слагаемое – это потенциальная энергия жидкости в левом части трубки, второе − в правой. Если пренебречь неизбежными потерями механической энергии из-за сил вязкого трения, то сумма кинетической и потенциальной энергии жидкости постоянна, поэтому

Колебания жидкости в u образном сосуде

Из этого уравнения следует, что движение жидкости подчиняется уравнению гармонических колебаний

Колебания жидкости в u образном сосуде

с круговой частотой Колебания жидкости в u образном сосуде и периодом. Описать движение жидкости на основании уравнений динамики в данном случае сложнее.

Свободные колебания в контуре

Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис.4.9: сначала ключ замыкают в положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

Колебания жидкости в u образном сосуде

Рис.4.9. Колебательный контур

Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае напряжение на конденсаторе равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора

Колебания жидкости в u образном сосуде ,

где Колебания жидкости в u образном сосуде – напряжение на конденсаторе,– ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем определение силы тока

Колебания жидкости в u образном сосуде .

Закон Кирхгофа примет вид

Колебания жидкости в u образном сосуде .

Разделим обе части этого уравнения на L

Колебания жидкости в u образном сосуде .

Колебания жидкости в u образном сосуде -циклическая частота собственных колебаний контура.

По своей форме это уравнение совпадает с уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе. На рис. такая аналогия показана для колебаний пружинного маятника. В этом случае аналогами являются: заряд конденсатора Колебания жидкости в u образном сосуде − смещение и сила тока − скорость движения маятника .

Колебания жидкости в u образном сосуде

Рис. 4.10. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Рассмотрим процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к положению равновесия с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг положения равновесия, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог − маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

Плазменные колебания.

В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.

Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтральности.

Выделим в плазме плоский слой площадью Колебания жидкости в u образном сосуде и толщинойи предположим, что заряды одного знака вышли на одну из плоскостей, ограничивающих слой, т.е. произошло разделение зарядов (например, за счет тепловых флуктуаций Такое самопроизвольное разделение зарядов возможно, если потенциальная энергия заряженной частицы и ее кинетическая энергия теплового движения равны, т.е. Колебания жидкости в u образном сосуде

Рис.4.11. Схема плазменных колебаний

Плоский слой можно рассматривать как конденсатор, напряжение на котором Колебания жидкости в u образном сосуде , заряд равен заряду электронов, ушедших вследствие тепловой флуктуации на одну из плоскостей рассматриваемого слоя из объема слоя, т.е. Колебания жидкости в u образном сосуде , а емкость.

В электрическом поле при разделении зарядов на них будет действовать сила Колебания жидкости в u образном сосуде . Смещение зарядов из положения равновесия на расстояниеприведет к возникновению электрического поля напряженностью

Колебания жидкости в u образном сосуде .

где е – заряд, n – плотность заряда.

По второму закону Ньютона Колебания жидкости в u образном сосуде (знак «-» обусловлен тем, что сила, действующая на электрон, направлена в сторону, противоположную направлению смещения от положения равновесия, а электрон в процессе движения «проскакивает» положение равновесия – возникают колебания). Отсюда Колебания жидкости в u образном сосуде . Это уравнение описывает описываетколебательные движения заряженных частиц в плазме с собственной круговой частотой :

Читайте также: Что если лопнул сосуд

Колебания жидкости в u образном сосуде

называемой плазменной или ленгмюровской частотой. Отметим, что ленгмюровская частота зависит от массы заряженных частиц.

Величина Колебания жидкости в u образном сосуде -характерное время, за которое плазма может отреагировать на внешнее воздействие. (Например, при резком включении внешнего поля распространение поля в плазме установится за время порядка Колебания жидкости в u образном сосуде ).

Контрольные вопросы

1. Какое движение называют колебательным? Что понимают под колебанием тела?

2. Какие колебания называют свободными? Приведите примеры.

3. Какие колебания называют вынужденными? Приведите примеры.

4. Объясните опыт, устанавливающий связь между вращательным и колебательным движениями.

5. Какие колебания называют гармоническими? Запишите уравнение гармонического колебания?

6. Что понимают под амплитудой колебания?

7. Что понимают под периодом колебаний? Запишите формулу для нахождения периода.

8. Что понимают под частотой колебаний? Запишите формулы линейной и циклической частоты колебаний. В каких единицах они измеряются.

9. Запишите формулу связи между циклической и линейной частотой.

10. Что понимают под фазой гармонического колебания? (начальной фазой?)

Что такое маятник? (математический маятник?)

Сделав рисунок, иллюстрирующий процесс колебаний математического маятника, докажите, что они являются гармоническими.

Напишите уравнение свободных колебаний математического маятника.

Запишите формулы периода свободных колебаний математического маятника и циклической частоты.

Какой маятник называют пружинным маятником?

Проиллюстрируйте процесс свободных колебаний пружинного маятника, объясните этот процесс.

Запишите формулы для периода свободных колебаний и циклической частоты пружинного маятника. Объясните процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере пружинного или математического маятника.

Как определяется полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела в моменты его прохождения точки равновесия и крайних точек движения?

Почему в реальных условиях свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими?

Как определяется период колебаний жидкости в сообщающихся сосудах.

Выведите формулу для свободных колебаний горизонтального пружинного маятника

Выведите формулу для свободных колебаний вертикального пружинного маятника

Выведите формулу для свободных колебаний математического маятника

Выведите формулу для свободных колебаний физического маятника

Выведите формулу для свободных колебаний математического маятника с пружиной

Выведите формулу для свободных колебаний жидкости в трубке.

Выведите формулу для свободных колебаний электрического колебательного контура

Выведите формулу для свободных колебаний в плазме.

https://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Недостатком U-образного тягомера является то, что вследствие колебания жидкости в трубке бывает трудно сделать правильный отсчет показаний сразу по двум уровням. [c.151]

Заметим, что для П-образной трубки (Ф = 90 ) Т = 2я VU g), т. е. период колебаний столба жидкости равен периоду колебаний маятника, длина которого равна половине длины столба жидкости. [c.358]

Задача 1293 (рис. 699). U-образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов. Трубка содержит две несжимаемых и несмешивающихся жидкости с плотностями р, и р. . Определить период собственных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, после того как она была выведена из этого положения, если длина части трубки, занимаемой жидкостью плотности Pi, равна /,, а длина части, занимаемой жидкостью плотности р. , равна 1 . Трением пренебречь. [c.462]

Для выяснения верхнего предела частот колебания давления, измеряемого U-образной трубкой, применим к жидкости, колеблющейся в изогнутой трубке (рис. XVI. 17), ранее полученное уравнение Бернулли для нестационарного движения (V.10). Пусть в трубке постоянного сечения столб жидкости отклонится от положения равновесия на величину х. Величина ускорения, входящего в уравнение (V.10) [c.491]

Мы видим, что при резонансе резонатор довольно интенсивно отбирает энергию от возбудителя. Если у резонатора трение незначительно, то отобранная энергия идет на увеличение интенсивности его колебания через некоторое время запасенная им энергия вновь вернется к возбудителю. Если же резонатор обладает значительным трением, то отобранная им от возбудителя энергия рассеивается и вновь к возбудителю практически не возвращается колебания возбудителя резко затухают. Это явление используется на практике для гашения нежелательных колебаний системы. Так, для устранения боковой качки корабля на нем устанавливают сильно демпфированный резонатор, выполненный в виде водяного столба в U-образной трубке, скрепленной с корпусом корабля. На рисунке 11.27 показана модель такой системы доска, имеющая вид поперечного сечения корабля, подвешена в точке А как маятник с доской скреплена U-образная трубка, колена которой связаны воздухопроводом с запирающим краном К. При закрытом кране К столб воды в U-образной трубке колебаться не может. Если при закрытом кране отклонить доску ( корпус корабля ) от положения равновесия и отпустить, то она вместе с U-образной трубкой будет колебаться с достаточно малым затуханием. Но стоит то же проделать при открытом кране, когда становятся возможными колебания жидкости в U-образной трубке, колебания доски (корпуса) быстро затухнут. [c.353]

Колебания столба жидкости в и-образной трубке постоянного сечения [c.655]

Находящийся в и-образной трубке столб жидкости (рис. 29) после некоторого начального возмущения приходит в колебательное движение. Если площадь Р поперечного сечения и-образной трубки постоянна, то собственные колебания этой системы описываются линейным дифференциальным уравнением, которое можно составить для нестационарного движения жидкости ). Однако в рас- [c.35]

Рис. 29. Колебания жидкости в U-образной трубке.

Таким образом, и-образная трубка, наполненная жидкостью, позволяет весьма просто измерять разности давлений воздуха, пока эти разности пе очень велики. В разных видоизменениях она является основной частью многих манометров. Для того чтобы не надо было отсчитывать уровень жидкости в двух сечениях трубки (в сечениях А и С на рис. 11), одно из ее колен часто выполняется в виде широкого сосуда (рис. 12) тогда колебания уровня в этом сосуде получаются столь малыми, что ими можно пренебрегать. Для отметки на трубке нулевой точки необходимо соединить с атмосферой оба отверстия манометра. Для измерения очень небольших разностей давления либо применяются уточненные способы отсчета уровня жидкости в трубке, либо трубка манометра делается наклонной. Более точный отсчет уровня достигается при помощи передвижного микроскопа или проектирования на экран шкалы, плавающей в трубке манометра, в увеличенном масштабе (способ Бетца). [c.31]

Основной элемент Кориолисовского измерителя массового расхода – это С-образная трубка (Рис. 15.28), через которую протекает жидкость. На трубку и жидкость внутри нее действует угловое ускорение от вибраций, создаваемых магнитом, смонтированным на закругленной части трубки, и катушки, укрепленной на конце Т-образной рессоры. Колебания рессоры приводят трубку в колебательный режим. Угловое ускорение при этом постоянно меняет направление. В то же самое время сила Кориолиса действует на жидкость в верхней ветви трубки в одном направлении, а в нижней ветви – в противоположном направлении. Это происходит потому, что направления потока жидкости противоположны в верхней и нижней ветвях. Результирующие силы Кориолиса на жидкость в двух ветвях, таким образом, противоположны по направлению и приводят ветви к смещению. Когда направление угловой скорости меняется, эти силы также меняют направление и ветви смещаются в противоположную сторону. Величина этих смещений пропорциональна массовому расходу жидкости через трубу. Смещения регистрируются при помощи оптических преобразователей. Их выходной сигнал представляет собой импульс, длительность которого пропорциональна расходу жидкости. Кориолисовские расходомеры могут применяться как для жидкостей, так и для газов, выдавая измерение с точностью 0.5%. Они не чувствительны к изменениям температуры и давления. [c.266]

Исключение температурных погрешностей в жидкостных манометрах достигается при использовании схем гидростатических весов. Схема так называемых кольцевых весов изображена на рис. 84. Прибор представляет собой U-образный манометр, свернутый в кольцо и снабженный призматической опорой, позволяюш,ей кольцу совершать колебания относительно центра окружности. К обеим полостям трубки, образованным перегородкой и рабочей жидкостью с помош,ью резиновых или гибких металлических трубок, подводятся давления рхира- Поддействием разности давлений Др =Pi-Рг рабочая жидкость в кольцевой трубке перемещается на некоторый угол, а кольцевая трубка поворачивается на угол ф, так как ее пра. вая сторона оказывается тяжелее левой. Состояние равновесия определяется равенством моментов где Мд – момент относительно оси вращения от силы веса жидкости, переданной на поперечную перегородку через среду, заполняющую полости, а [c.265]

Для изготовления жидкостных и-образных приборов следует применять стеклянные трубки с внутренним диаметром не менее 8-10 мм с тем, чтобы уменьшить погрешность измерения изнза явления капиллярности. Шкалы таких приборов необходимо изготовлять из нержавеющей стали фарфоровых или металлических эмалированных пластинок. Применение бумажных шкал, в частности, выполненных из миллиметровой бумаги, не рекомендуется ввиду быстрого их выхода из, строя. Абсолютная погрешность отсчета по шкале прибора обычно не превышает +2 мм при измерении постоянного и 5 мм-пульсирующего давления или разрежения среды.. Вследствие этого измерять столб рабочей жидкости менее 80- 100 мм не следует. При измерении пульсирующего давления или разрежения для уменьшения амплитуды колебаний целесообраз.но частично сузить сечение соединительной трубки зажимом. [c.151]

Смотреть страницы где упоминается термин Колебания жидкости в U-образной трубке: [c.64] [c.205] Колебания Введение в исследование колебательных систем (1982) — [ c.35 , c.47 ]

Источник