Количество жидкости протекающей через сосуд в единицу времени
ЛЕКЦИЯ 7 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи.
2. Уравнение Бернулли.
3. Следствия уравнения Бернулли.
4. Принцип работы инжектора, ингалятора.
5. Основные понятия и формулы.
6. Задачи.
7.1. Линии тока и трубка тока. Условие неразрывности струи
Течение жидкости изображается линиями тока –
линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением
вектора скорости частиц. Течение жидкости называется установившимся, стационарным, если
скорости частиц в каждой точке потока со временем не изменяются (при
этом условии линии тока совпадают с траекториями частиц жидкости).
При стационарном течении линии тока остаются неизменными. Часть потока жидкости, ограниченная линиями тока, образует трубку тока. Частицы
жидкости не выходят за пределы трубки тока, поэтому через любое ее
сечение проходит одно и то же количество жидкости. Объем Q жидкости,
протекающей за единицу времени через любое сечение S, перпендикулярное
оси трубки тока, определяется формулой
где v – скорость движения частиц жидкости в данном сечении.
Для
идеальной жидкости, не подверженной действию сил трения, скорости
движения частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения
трубы одинаковы. Эта общая скорость и входит в уравнение (7.1).
На частицы реальной жидкости действуют силы трения со стороны стенок трубы и со стороны соседних частиц. Поэтому скорость
частиц
жидкости в поперечном сечении трубы различна: она максимальна в центре
трубы и уменьшается до нуля у ее стенок. В этом случае в формуле (7.1) v – это средняя скорость течения жидкости в данном сечении.
Условие неразрывности струи: при
стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки
тока каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные
произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.
Уравнение (7.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:
Если
жидкость движется по трубе переменного сечения, то скорость ее движения
обратно пропорциональна площади сечения трубок (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Движение жидкости в трубе с разными сечениями. Длина стрелок изображает среднюю скорость течения жидкости
Площадь сечения пропорциональна квадрату диаметра трубки (S = πd2/4), поэтому если диаметр трубки в сечении С вдвое меньше,
чем в сечении А, то площадь поперечного сечения С в четыре раза меньше,
чем площадь сечения А. Следовательно, и скорость потока в сечении С
будет в четыре раза больше, чем в сечении А.
Уравнение неразрывности струи при протекании крови в сосудах
Кровеносная
система человека – это сложная замкнутая система эластичных трубок
разного диаметра. В нее входят: аорта, артерии, артериолы, капилляры,
венулы, вены. Из сердца кровь поступает в аорту, а оттуда распределяется
по главным артериям, затем по
более мелким и в конце
концов расходится по миллионам мелких капилляров. По венам кровь
возвращается в сердце. (Один цикл движения крови длится в среднем 20 с.
За сутки сердце перегоняет по всем сосудам до 10 000 л крови!) Скорость
кровотока в разных сосудах различна. Ориентировочные значения этой
скорости представлены в табл. 7.1.
Таблица 7.1. Скорость и давление крови в различных сосудах
На
первый взгляд кажется, что приведенные значения противоречат уравнению
неразрывности – в тонких капиллярах скорость кровотока примерно в 1000
меньше, чем в артериях. Однако это несоответствие кажущееся. Дело в том,
что в табл. 7.1 приведен диаметр одного сосуда. Эта величина
действительно уменьшается по мере разветвления. Однако суммарная площадь
разветвления возрастает. Так, суммарная площадь всех капилляров (около
2000 см2) в сотни раз превышает площадь аорты – этим и
объясняется такая малая скорость крови в капиллярах. Малая скорость
кровотока в капиллярах необходима для обеспечения эффективного обмена
между кровью и тканями.
7.2. Уравнение Бернулли
Для
идеальной жидкости (сила трения полностью отсутствует) справедливо
уравнение, которое было получено швейцарским математиком и физиком
Даниилом Бернулли (1700-1782). Рассмотрим тонкую трубку тока и выделим в
ней два произвольных сечения (рис. 7.2).
Рис. 7.2. Параметры сечений в трубке тока
В общем случае эти сечения находятся на различных высотах (h1 и h2), а их площади различны (S1 и S2). Вследствие уравнения неразрывности различны будут и скорости течения жидкости в этих сечениях (v1и v2). Обозначим давления жидкости в этих сечениях Р1 и Р2 соответственно.
Используя закон сохранения механической энергии, можно доказать, что для этих сечений выполняется следующее соотношение:
Давление Р называют статическим. Это
давление, которое оказывают друг на друга соседние слои жидкости. Его
можно измерить манометром, который движется вместе с жидкостью. Величину
ρv2/2 называют динамическим давлением. Оно обусловлено движением жидкости. Гидростатическое давление ρgh – это давление, создаваемое весом вертикального столба жидкости высотой h.
Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:
При
стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме
статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во
всех поперечных сечениях трубки тока.
7.3. Следствия уравнения Бернулли
Горизонтальная трубка тока переменного сечения
При этом h1 = h2 и уравнение (7.3.) принимает вид
Отсюда
следует, что статическое давление идеальной жидкости при течении по
горизонтальной трубке возрастает там, где скорость ее уменьшается, и
наоборот. Это можно продемонстрировать с помощью манометрических трубок,
уровень поднятия жидкости в которых пропорционален статическому
давлению (рис. 7.3). Видно, что в широком сечении (а), где скорость
течения меньше, статическое давление больше, чем в узком сечении (б).
Наклонная трубка тока постоянного сечения
В такой трубке скорость жидкости везде одинакова (v = const), и уравнение (7.3) принимает вид
Следовательно,
скорость истечения струи равна скорости тела при свободном падении с
высоты h. Соотношение (7.9) – это формула Торричелли.
Рис. 7.3. Горизонтальная трубка переменного сечения
Рис. 7.4. Наклонная труба постоянного сечения
Рис. 7.5. Линия тока при истечении жидкости из небольшого отверстия широкого сосуда
Измерение скорости жидкости
Установим
в разных местах горизонтальной цилиндрической трубы (струи жидкости)
одного сечения две трубки: 1) манометрическую трубку, плоскость
отверстия которой расположена параллельно движению жидкости; 2) трубку,
изогнутую под прямым углом навстречу движению жидкости (трубку Пито)
(рис. 7.6).
В движущемся потоке жидкость в трубках
поднимается на разную высоту. Давление под манометрической трубкой равно
статическому давлению Р. Оно уравновешивается давлением атмосферы Ра и давлением столба жидкости h2:
Имея систему двух таких трубок, вычисляют скорость потока жидкости по формуле (7.10).
Рис. 7.6. Измерение скорости жидкости
7.4. Принцип работы инжектора, ингалятора
В
медицине широкое применение находят приборы, действие которых основано
на использовании законов гидродинамики. Рассмотрим два таких прибора.
Инжектор
Этот
прибор используют для дозированной подачи пациенту газообразного
препарата. Например, закиси азота или кислорода. Препарат из баллона
поступает в смесительную камеру через узкое сопло (рис. 7.7).
При
этом скорость движения препарата возрастает, а его давление, в
соответствии с уравнением Бернулли, падает. В смесительной камере
возникает разрежение, и в нее засасывается атмосферный воздух.
Всасывание происходит через одно из отверстий поворотного диска.
Отверстия имеют различные диаметры. Выбирая соответствующее отверстие,
регулируют состав смеси, подаваемой пациенту.
Рис. 7.7. Подача кислорода при кислородной терапии
Ингалятор
Этот прибор используют для введения в область носоглотки лекарственных средств в распыленном виде (рис. 7.8).
Рис. 7.8. Схема ингалятора
Он состоит из двух трубок, расположенных под прямым углом.
Горизонтально
расположенная трубка (1) имеет на конце сужение. Чуть ниже этого конца
располагается верхний конец вертикальной трубки (2), нижний конец
которой опущен в сосуд с жидким препаратом. В горизонтальную трубку
подается пар (3). При прохождении суженного конца скорость пара
возрастает, а давление падает. В область пониженного давления
засасывается препарат, который распыляется струей пара. В результате
образуется смесь пара, воздуха и капелек препарата, которая через
патрубок (4) поступает к пациенту.
7.5. Основные понятия и формулы
Продолжение таблицы
7.6. Задачи
2. Кровь
течет по горизонтальному участку артерии, имеющему сужение. Где
давление крови на стенки сосуда будет больше – на суженном или широком
участке? Динамическим или статическим давлением обусловлено
фонтанирование крови при надрезе артерии?
Решение
Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено разностью между статическим давлением в артерии и давлением атмосферы.
При
прохождении места сужения скорость кровотока возрастает (7.2), а
статическое давление, которое и воздействует на стенки сосуда,
уменьшается (7.5). Отметим, что вклад динамического давления в полное
давление ничтожен. Действительно, принимая v = 0,5 м/с, ρ = 103 кг/м3, найдем:
Ответ: давление
на стенки незначительно уменьшается на участке сужения артерии.
Фонтанирование крови при надрезе артерии обусловлено статическим
давлением.
3. Скорость потока крови в капиллярах равна примерно v1= 30 мм/мин, а скорость потока крови в аорте v2= 45 см/с. Определить, во сколько раз площадь сечения всех капилляров больше сечения аорты.
4. Лекарственный раствор вводят в мышцу животного с помощью шприца, внутренний диаметр которого d1 = 10 мм, а диаметр иглы d2 = 0,5 мм. Определить скорость истечения раствора из иглы, если скорость перемещения поршня шприца равна v1 = 2,3 см/с.
7. Наблюдая под микроскопом эритроциты в капилляре, можно измерить скорость течения крови: v1= 0,5 мм/с. Средняя скорость тока крови в аорте составляет v2=
40 см/с. На основании этих данных определить, во сколько раз суммарная
площадь поперечных сечений функционирующих капилляров больше площади
сечения аорты.
Решение
Условие
неразрывности струи было получено для трубки тока переменного сечения.
Очевидно, что оно применимо и к разветвлению труб. В задаче такое
разветвление начинается с аорты (площадь поперечного сечения S2) и заканчивается капиллярами (общая площадь сечения S1). Исходя из этого запишем уравнение неразрывности струи (7.2): S1/S2 = v2/v1= 800.
Ответ: 800.
8. При
всасывании человек может понизить давление в легких на 80 мм рт.ст.
ниже атмосферного. Определить, на какую высоту ему удастся втянуть воду
по трубочке.
10. Во время бури или смерча с домов иногда срывает крыши. Используя уравнение Бернулли, объяснить, почему это происходит. Решение
Давление в потоке ветра уменьшается. Поэтому давление на чердаке превышает внешнее давление на величину ΔΡ = pv2/2. При этом на кровлю действует направленная наружу сила F = Spv2/2. При скорости v = 35 м/с (ураган), ρ = 1,3 кг/м3 и S = 100 м2 величина силы составляет F = 61 000 Н (6 т), что существенно превышает вес кровли.
Источник
Расход – это объем жидкости протекающий в единицу времени через поперечное сечение трубопровода. Измерение расхода жидкости является одной из задач при производственных испытаниях оборудования.
В этой статье мы собрали для Вас все современные методы определения расхода жидкости, а так же приборы для измерения расхода: трубчатые расходомеры, расходомерные шайбы, крыльчатые расходомеры, ультразвуковые и вихревые расходомеры.
Методы измерения расхода жидкости
Наиболее простые и вместе с тем точные методы измерения расхода жидкости являются объемный и массовый (весовой).
В соответствии с методами измерения, единицами расхода жидкости являются:
для объемного способа: м3/с, м3/ч
для массового способа: кг/c, кг/ч, г/с и т.д.
При объемном способе измерения протекающая в исследуемом потоке(например, в трубе) жидкость поступает в особый, тщательно протарированный сосуд (так называемый мерник), время наполнения которого точно фиксируется по секундомеру.
Если известен объем мерника – V и измеренное время его наполнения – T, то объемный расход будет
Q = V / T.
При весовом способе взвешиванием находят вес Gv = mv*g (где g – ускорение свободного падения) всей жидкости, поступившей в мерник за время T. Затем определяют её массу
mv = Gv /g
и массовый расход
m = mv / T
и по ней, зная плотность жидкости (ρ), вычисляют объемный расход
Q = m / ρ
Но объемный и весовой методы измерения расхода жидкости пригодны только при сравнительно небольших значениях расхода жидкости, так как в противном случае размеры мерников получаются довольно громоздкими и, как следствие, замеры очень затруднительными.
Кроме того, этими способами невозможно измерить расход в произвольном сечении, например, длинного трубопровода или канала без нарушения их целостности. Поэтому, за исключением случаев измерения сравнительно небольших расходов жидкостей в коротких трубах и каналах, объемный и весовой способы, как правило, не применяются, а на практике пользуются специальными приборами, которые предварительно тарируются объемным или весовым способом.
Приборы для измерения расхода жидкости
Трубчатые расходомеры
Одним из таких приборов является трубчатый расходомер или расходомер Вентури. Большим достоинством этого расходомера является простота конструкции и отсутствие в нем каких-либо движущихся частей.
Трубчатые расходомеры могут быть горизонтальными и вертикальными. Рассмотрим, к примеру, горизонтальный вариант.
Расходомер состоит из двух цилиндрических труб А и В диаметра d1, соединенных при помощи двух конических участков (патрубков) С и D с цилиндрической вставкой E меньшего диаметра d2. В сечениях 1-1 и 2-2 расходомера присоединены пьезометрические трубки a и b, разность уровней жидкости h в которых показывает разность давлений в этих сечениях.
Расход жидкости в этом случае определяется по тарировочным кривым, полученным опытным путем и дающим для данного расходомера прямую зависимость между показаниями манометра и измеряемыми расходами жидкости. Пример такой кривой на картинке рядом
Расходомерная шайба
Другим широко распространенным прибором для измерения расхода является расходомерная шайба (или диафрагма), обычно выполняемая в виде плоского кольца с круглым отверстием в центре, устанавливаемого между фланцами трубопровода
Края отверстия чаще всего имеют острые входные кромки под углом 45° или закругляются по форме втекающей в отверстие струи жидкости (сопло). Два пьезометра a и b (или дифференциальный манометр) служат для измерения перепада давления до и после диафрагмы.В основе метода положен принцип неразрывности Бернулли.
Расход в этом случае определяется по замеренной разности уровней в трубках. Трубки подсоединяют к датчикам, замеряющим перепад давления. Датчик перепада давления преобразует перепад в электрический сигнал, который отправляется на компьютер.
Крыльчатый расходомер
Расходы могут быть вычислены также в результате измерения скоростей течения жидкости и живых течений потока.
Одним из широко распространенных приборов, применяемых для этой цели является гидрометрическая вертушка. Современный турбинный расходомер устанавливают только на горизонтальном участке трубопровода. Лопасти крыльчатки колеса турбины изготавливают из не магнитного материала.
Вертушка состоит из крыльчатки А, представляющей собой колесо с винтовыми лопастями, насаженное на горизонтальный вал С. Когда она установлена в потоке, крыльчатка под действием протекающей жидкости вращается, причем число её оборотов прямо пропорционально скорости течения. Число импульсов за один оборот крыльчатки равно числу лопастей, а значит частота импульсов пропорциональна расходу.
При вращении лопасти поочередно пересекают магнитное поле, которое наводит электродвижущую силу в катушке в виде импульса. От вертушки вверх выводятся провода В, подающему сигнал к специальному счетчику, автоматически записывающему число оборотов и время.
Приборы для измерения расхода жидкости в этом случае называют турбинными расходомерами
Ультразвуковой метод измерения расхода
Ультразвуковой расходомер работает по принципу использования разницы по времени прохождения ультразвукового сигнала в направлении потока и против него.
Расходомер формирует электрический импульс, поступающий на пьезоэлемент П1, который излучает электромеханические колебания в движущуюся среду. Эти колебания воспринимаются через некоторое время пьезоэлементом П2, преобразуются им в электрический импульс, попадающий в электронное устройство и снова направляемый им на пьезоэлемент П1 и т.д.
Такой контур П1-П2 характеризуется частотой f1 повторений импульсов, прямо пропорциональной расстоянию между пьезоэлементами и обратно пропорциональной разности между скоростью распространения звука в контролируемой среде и скоростью самой среды.
Аналогично электронное устройство подает импульсы в обратном направлении, т.е. от пьезоэлемента П2 к пьезоэлементу П1. Контур П2-П1 характеризуется своей частотой f2 повторений импульсов, прямо пропорциональной расстоянию между пьезоэлементами и обратно пропорциональной сумме скоростей распространения звука в среде и самой среды.
Следующим шагом является определение разности Δf указанных частот, которая пропорциональна расходу среды. Приборы для измерения расхода жидкости называются ультразвуковые расходомеры.
Вихревой метод измерения расхода
В основу работы вихревых расходомеров положена зависимость между расходом и частотой возникновения вихрей за твердым телом (например, металлическим прямоугольным стержнем), которое расположено в потоке жидкости или газа.
Принцип действия преобразователя основан на ультразвуковом детектировании вихрей, образующихся в потоке жидкости, при обтекании жидкостью специальной призмы, расположенной поперек потока.
В зависимости от конструкции датчика чувствительные тепловые элементы устанавливаются непосредственно в теле датчика или вихревой дорожке.
Если в тело образующее вихри, установить магнит, то он может служить датчиком. Реакция, возникающая при срыве вихрей, заставляет помещённый в поток цилиндр колебаться с частотой вихреобразования.
Достоинством вихревых расходомеров является, обеспечение низкой зависимости качества измерений от физико-химических свойств жидкости, состояния трубопровода, распределения скоростей по сечению потока и от точности монтажа первичных преобразователей на трубопроводе. Приборы для измерения расхода жидкости называются вихревые расходомеры.
Видео о измерении расхода
При проведении измерения расхода, в некоторых случая используется понятие количества вещества – это количество жидкости или другой среды, проходящей через поперечное сечение трубопровода в течении определенного промежутка времени(за час, месяц, рабочую смену и т.д.)
Приборы для измерения количества вещества по аналогии с измерением расхода монтируются на – на трубопроводе, с выводом вторичного прибора к оператору.
Вместе со статьей “Измерение расхода жидкости: приборы и методы” читают:
Источник