Масса газа в сосуде под давлением
Random converter |
Калькулятор закона состояния идеального газа (давление-объем-температура-количество)Калькулятор закона состояния идеального газа определяет одну из четырех величин, входящих в уравнение состояния (давление, объем, температура или количество), если известны три другие величины. Пример: Рассчитать давление в паскалях в 70-литровом баке работающего на метане автомобиля, если в нем хранится 800 молей метана при 30 °С. Еще несколько примеров решения задач о состоянии идеального газа под приводится калькулятором. Выберите неизвестную величину для решения уравнения состояния идеального газа: PVTn Абсолютное давление P Объем V Температура T ИЛИ Поделиться ссылкой на этот калькулятор, включая входные параметры Для расчета выберите неизвестную величину и введите три известные величины из четырех имеющихся в уравнении состояния газа (давление, объем, температура, количество). Четвертая величина будет рассчитана после нажатия на кнопку Рассчитать. Количество можно ввести в молях или указать молярную массу и массу газа. Для определения молярной массы любого газа можно использовать калькулятор молярной массы. Если нужно определить молярную массу смеси газов, например, сухого воздуха, нужно определить молярные массы каждого газа и умножить их на процентное содержание по массе каждого газа в воздухе. Примеры решения задач по уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева – Клапейрона)Задача 1: Плотность воздуха при нормальных условиях (температура 0 °С и атмосферное абсолютное давление 100 кПа) составляет 1,28 кг/м³. Определить среднюю молярную массу воздуха. Решение: Поскольку плотность воздуха задана, это означает, что в калькулятор можно ввести массу одного кубического метра воздуха, равную 1,28 кг. Введите в калькулятор данные:
Задача 2: Молярная масса газа кислорода (O₂) M = 32 г/моль. Определить абсолютную температуру 128 г. кислорода, находящегося в 10-литровом сосуде под давлением P = 3 МПа. Решение: Нажмите кнопку Reset и введите в калькулятор данные задачи:
Задача 3: В сосуде высокого давления находится газ под давлением P = 0.5 МПа при температуре T = 15 °С. Объем газа V = 5 л. Рассчитать объем этой массы газа при нормальных условиях (P = 100 кПа, T = 0 °С). Решение: Нажмите кнопку Reset и введите в калькулятор данные задачи:
Задача 4: Рассчитать давление в паскалях в 70-литровом баке работающего на метане автомобиля, если в нем хранится 12,8 кг метана (молярная масса 16 г/моль) при 30 °С. Определения и формулыИдеальный газИдеальный газ – теоретическая модель, в которой газ представляется в виде множества свободно движущихся частиц бесконечно малого размера, которые взаимодействуют друг с другом абсолютно упруго, то есть при столкновении двух частиц их кинетическая энергия не изменяется и не превращается ни в какую другую форму энергию, например, в потенциальную энергию или в тепло. Считается, что суммарный размер частиц настолько мал, что занимаемый ими объем в сосуде пренебрежимо мал. Эта теоретическая модель полезна, так как она упрощает многие расчеты, а также в связи с тем, что идеальный газ подчиняется законам классической механики. Идеальный газ можно представить себе в виде множества абсолютно твердых сфер, которые только сталкиваются друг с другом и больше никак не взаимодействуют. В обычных условиях, например, при стандартных условиях (при температуре 273,15 К и давлении в 1 стандартную атмосферу) большинство реальных газов ведут себя как идеальный газ. В общем случае, газ ведет себя как идеальный при низком давлении и высокой температуре, когда расстояния между молекулами газа относительно велики. В этих условиях потенциальная энергия вследствие действия межмолекулярных сил намного меньше кинетической энергии частиц. Размер молекул также незначителен по сравнению с расстоянием между ними. Идеальная модель не работает при низких температурах и высоких давлениях, а также для тяжелых газов. При понижении температуры и повышении давления реальный газ может стать жидкостью или даже перейти в твердое состояние, то есть может произойти фазовый переход. В то же время, модель идеального газа не допускает жидкого или твердого состояния. Закон идеального газаИдеальный газ, как и любой другой газ, можно охарактеризовать четырьмя переменными и одной константой, а именно:
Эти четыре переменные и одна константа объединены в приведенном ниже уравнении, которое называется уравнением состояния идеального газа: Это уравнение также известно под названием закона идеального газа и уравнения Менделеева – Клапейрона или уравнения Клапейрона, так как уравнение было впервые выведено в 1834 г. французским инженером Эмилем Клапейроном (1799-1864). О вкладе Д. И. Менделеева – чуть ниже. В этом уравнении:
Приведенное выше уравнение показывает, что при нулевой абсолютной температуре получается нулевой объем. Однако это не означает, что объем реального газа действительно исчезает. При очень низких температурах все газы становятся жидкостями и уравнение идеального газа к ним неприменимо. Универсальная газовая постоянная соответствует работе, выполненной при расширении одного моля идеального газа при нагревании на 1 К при постоянном давлении. Размерность постоянной – работа на количество вещества на температуру. Постоянная в точности равна 8,31446261815324 Дж⋅К⁻¹⋅моль⁻¹. Универсальная газовая постоянная также определяется как произведение числа Авогадро NA и постоянной Больцмана k: Входящая в уравнение состояния идеального газа универсальная газовая постоянная была предложена и введена в уравнение Дмитрием Менделеевым в 1877 г. Поэтому уравнение состояния идеального газа в литературе на русском языке и ее переводах на другие языки, называется уравнением Менделеева – Клапейрона. Количество газа в молях часто бывает удобно заменить массой газа. Количество газа в молях n, его масса m в граммах и молярная масса M в граммах на моль связаны формулой: Заменяя в уравнении состояния идеального газа n на m/M, имеем: Для определения молярной массы элемента, его относительная атомная масса умножается на коэффициент молярной массы в кг/моль Например, молярная масса кислорода в единицах системы СИ Если ввести в уравнение состояния идеального газа плотность ρ = m/V, мы получим: Теперь введем понятие удельной газовой постоянной, которая представляет собой отношение универсальной газовой постоянной R к молярной массе M: Например, удельная газовая постоянная сухого воздуха приблизительно равна 287 Дж·кг⁻¹·К⁻¹. Подставив удельную газовую постоянную в уравнение состояния идеального газа, получим: Закон идеального газа объединяет четыре более простых эмпирических газовых закона, открытых в XVII-XIX вв. несколькими учеными, которые аккуратно измеряли свойства газа. Простые газовые законы можно также вывести из уравнения состояния идеального газа (PV=nRT). Поскольку в этом уравнении R является постоянной величиной, можно записать Поскольку PV/NT – постоянная величина, можно записать это иначе: Здесь индексы 1 и 2 показывают начальное и конечное состояние газа в системе. Мы будем использовать это уравнение ниже при описании четырех газовых законов. Отметим, что исторически именно эмпирические законы поведения газа, описанные ниже, привели к открытию обобщенного закона состояния идеального газа. Эти законы были открыты несколькими учеными, которые проводили эксперименты, изменяя только две переменные состояния газа и оставляя две другие переменные постоянными. Закон Бойля – Мариотта (T=const, n=const)Роберт Бойль Изменим предыдущее уравнение с учетом, что количество газа в молях n и его температура Т остаются неизменными: или Эдм Мариотт Это закон Бойля – Мариотта, описывающий зависимость объема V фиксированного количества газа в молях n от давления P при постоянной температуре T. Давление фиксированной массы газа при неизменной температуре обратно пропорционально его объему. Закон был сформулирован англо-ирландским химиком и физиком Робертом Бойлем в 1662 г. В России и континентальной Европе это закон называют законом Бойля – Мариотта с учетом вклада в открытие закона французского физика и священника Эдма Мариотта. Закон Авогадро (T=const, P=const)Амедео Авогадро Если температура и давление остаются неизменными, можно записать Это закон Авогадро, указывающий, что при неизменных температуре и давлении равные объемы любых газов содержат одинаковое количество молекул. Это уравнение показывает, что, если количество газа увеличивается, объем газа пропорционально растет. Иными словами, количество атомов или молекул газа не зависит от их размеров или от молярной массы газа. Закон назван в честь итальянского ученого Амедео Авогадро, который опубликовал гипотезу об отношениях объема газа и его количества в молях в 1811 году. Число Авогадро также носит его имя. Закон Гей-Люссака (P=const, n=const)Жак Шарль При постоянном давлении объем фиксированного количества газа в молях пропорционален абсолютной температуре системы с газом. В англоязычной литературе этот закон называется законом объемов и законом Шарля. Закон описывает как расширяется любой газ при увеличении его абсолютной температуры. Закон был сформулирован в неопубликованной работе французским ученым Жаком Шарлем в 80-х гг. XVIII в. Его соотечественник Жозеф Луи Гей-Люссак опубликовал этот закон в 1803 г. и указал, что приоритет открытия принадлежит Жаку Шарлю. Поэтому этот закон в литературе не на английском языке часто называют законом Гей-Люссака. В русскоязычной литературе закон носит имя Гей-Люссака. Итальянцы называют этот закон первым законом Гей-Люссака (ит. prima legge di Gay-Lussac). Закон Шарля (или второй закон Гей-Люссака) (V=const, n=const)Жозеф Луи Гей-Люссак Закон Шарля (называемый также вторым законом Гей-Люссака) гласит, что давление фиксированного количества газа в молях при его неизменном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре газа: Закон был сформулирован Гей-Люссаком в 1802 г. В литературе на других языках этот закон также называют законом Амонтона по имени французского ученого Гийома Амонтона, который на сто лет раньше обнаружил количественную зависимость объема газа от его температуры. Иногда закон называют вторым законом Гей-Люссака и законом Шарля, так как сам Гей-Люссак считал, что закон открыт Шарлем. Закон зависимости давления от температуры был также независимо открыт английским физиком Джоном Дальтоном в 1801 г. Итальянцы называют этот закон вторым законом Вольта-Гей-Люссака (ит. seconda legge di Volta – Gay-Lussac), потому что итальянец Алессандро Вольта независимо проводил исследования газов и получил аналогичные результаты. При нагревании воздуха в оболочке воздушного шара его плотность уменьшается и становится меньше плотности окружающего воздуха; в результате шар приобретает положительную плавучесть |
Источник
5.4. Практическое применение уравнения состояния идеального газа
5.4.3. Уравнение состояния для газа, находящегося в сосуде под поршнем
Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, необходимо учитывать следующее:
- масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:
m = const;
- постоянным остается также количество вещества (газа):
ν = const;
- плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:
ρ ≠ const, n ≠ const.
Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы F → (рис. 5.9).
Рис. 5.9
Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:
p 1 V 1 = ν R T 1 , p 2 V 2 = ν R T 2 , }
где p 1, V 1, T 1 – давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p 2, V 2, T 2 – давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν – количество вещества (газа); R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).
Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:
M g + F A = F 1 , M g + F A + F = F 2 , }
где M – масса поршня; g – модуль ускорения свободного падения; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление; S – площадь сечения поршня; F 1 – модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F 1 = p 1S; p 1 – давление газа в сосуде в начальном состоянии; F – модуль силы, вызывающей сжатие газа; F 2 – модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F 2 = p 2S; p 2 – давление газа в сосуде в конечном состоянии.
Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:
- если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется –
T ≠ const;
- если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –
T = const.
Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:
- если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем – неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) – p = const;
- в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется – p ≠ const.
Масса поршня, закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:
- если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю –
M = 0;
- в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой –
M ≠ const.
Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм2 и массой 1,80 кг находится 360 см3 газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см3. Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.
Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:
- сила тяжести поршня M g → ;
- сила атмосферного давления F → A ;
- сила давления газа F → 1 , действующая со стороны газа (до его сжатия);
- сила давления газа F → 2 , действующая со стороны газа (после его сжатия);
- m g → – вес гирь.
Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:
- до сжатия газа –
F 1 = Mg + F A,
где F 1 – модуль силы давления газа, F 1 = p 1S; p 1 – давление газа до сжатия; S – площадь поршня; Mg – модуль силы тяжести поршня; M – масса поршня; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление; g – модуль ускорения свободного падения;
- после сжатия газа –
F 2 = Mg + F A + mg,
где F 2 – модуль силы давления газа, F 2 = p 2S; p 2 – давление газа после сжатия; mg – вес гирь; m – масса гирь.
Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева – Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:
- до его сжатия –
p 1V 1 = νRT,
где V 1 – первоначальный объем газа под поршнем; ν – количество газа под поршнем; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T – температура газа (не изменяется в ходе процесса);
- после его сжатия –
p 2V 2 = νRT,
где V 2 – объем сжатого поршнем газа.
Равенство
p 1V 1 = p 2V 2
и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:
p 1 S = M g + p A S , p 2 S = M g + p A S + m g , p 1 V 1 = p 2 V 2 , }
которую требуется решить относительно массы гирь m.
Для этого выразим отношение давлений p 2/p 1 из первой пары уравнений:
p 2 p 1 = M g + p A S + m g M g + p A S
и из третьего уравнения:
p 2 p 1 = V 1 V 2 ,
запишем равенство правых частей полученных отношений:
M g + p A S + m g M g + p A S = V 1 V 2 .
Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой
m = ( M + p A S g ) ( V 1 V 2 − 1 ) .
Вычисление дает результат:
m = ( 1,80 + 100 ⋅ 10 3 ⋅ 250 ⋅ 10 − 6 10 ) ( 360 ⋅ 10 − 6 240 ⋅ 10 − 6 − 1 ) = 2,15 кг.
Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.
Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см2 плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?
Решение. На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:
- сила тяжести пластины M g → ;
- сила атмосферного давления F → A ;
- сила давления газа F → 2 , действующая на пластину со стороны нагретого газа.
Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:
F 2 = Mg + F A,
где F 2 – модуль силы давления нагретого газа, F 2 = p 2S; p 2 – давление нагретого газа; S – площадь сечения сосуда; Mg – модуль силы тяжести пластины; M – масса пластины; g – модуль ускорения свободного падения; F A – модуль силы атмосферного давления, F A = p AS; p A – атмосферное давление.
Запишем уравнение Менделеева – Клапейрона следующим образом:
- для газа в сосуде до его нагревания
p 1V = νRT 1,
где p 1 – давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p 1 = p A; V – объем газа в сосуде; ν – количество вещества (газа) в сосуде; R – универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 – температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);
- для газа в сосуде после его нагревания
p 2V = νRT 2,
где p 2 – давление нагретого газа; T 2 – температура нагретого газа.
Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:
p A V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , p 2 S = M g + p A S ; }
систему необходимо решить относительно температуры T 2, до которой следует нагреть газ.
Для этого делением первой пары уравнений
p A V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2
получим выражение для давления нагретого газа:
p 2 = p A T 2 T 1
и подставим его в третье уравнение системы:
p A T 2 S T 1 = M g + p A S .
Преобразуем полученное выражение к виду
T 2 = T 1 ( M g + p A S ) p A S = T 1 ( M g p A S + 1 ) ,
а затем найдем разность
Δ T = T 2 − T 1 = M g T 1 p A S .
Произведем вычисление:
Δ T = 1,2 ⋅ 10 ⋅ 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 36 К = 36 °С.
Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.
Решение. На рисунке показаны силы, действующие на поршень:
- сила тяжести поршня M g → ;
- сила атмосферного давления F → A ;
- сила давления газа F → , действующая на поршень со стороны нагретого газа.
Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением a → :
F → + F → A + M g → = m a → ,
или в проекции на вертикальную ось –
F − F A − Mg = Ma,
где F – модуль силы давления газа под поршнем, F = pS; p – давление газа; S – площадь поршня; Mg – модуль силы тяжести поршня; M – масса поршня; g – модуль ускорения свободного падения; a – модуль ускорения поршня.
Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:
a = F − F A − M g M = ( p − p A ) S M − g .
Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением
l = v 2 2 a ,
где l – пройденный путь; v – модуль скорости поршня.
Выразим отсюда модуль скорости поршня:
v = 2 a l
и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:
v = 2 l ( ( p − p A ) S M − g ) .
Выполним расчет:
v = 2 ⋅ 3,75 ( ( 450 − 100 ) ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4 75,0 − 10 ) ≈ 10 м/с.
После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.
Источник