Металлический шарик лежит на дне сосуда с жидкостью

На дне сосуда, заполненного воздухом, находится стальной полый шарик радиусом
r = 2 см и массой m1 = 5×10 ­3 кг. Какое давление нужно создать
в сосуде, чтобы шарик «всплыл»? Процесс изменения состояния газа проходит по изотермическому
закону при температуре t = 20 0С.

 Решение

 1. Подъём шарика станет
возможным, когда сила Архимеда, приложенная к шарику, будет больше силы тяжести,
т.е.

 , (1)

где r
­ плотность воздуха в сосуде, величина которой может быть выражена следующим образом
(см. задачу 2.1.16)

 . (2)

 2. Подставим значение
плотности в уравнение (1)

 . (3)

 3. Решим уравнение (3)
относительно искомого давления р

 . (4)

 1.2.19. Сферический пузырёк воздуха всплывает
в воде с постоянной температурой. На каком расстоянии h от дна его начальный радиус
r станет в два раза больше? Диффузионными эффектами через стенку полости пренебречь.
Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.

 Решение

 1. Всплытие пузырька
в водной среде происходит при постоянстве температуры, поэтому, к содержащемуся
в нём газу можно применить закон Бойля ­ Мариотта pV = const. На поверхности жидкости
на пузырёк будет действовать нормальное атмосферное давление, а на искомой глубине
h давление будет складываться из атмосферного и гидростатического давлений, т.е.
­ p = p0 + rgh.

 2. Запишем уравнение Бойля ­ Мариотта
для заданных условий

 . (1)

 3. Выразим из уравнения (1) величину
h

 . (2)

 1.2.20. Какое давление имеет азот
(N2) массой m = 1 кг в объёме V = 1 м3 при температуре t = 27 0C? Какова должна
стать температура газа, чтобы давление выросло в 10 раз?

 Решение

 
1. Давление газа при заданных условиях можно непосредственно найти из уравнения
Клайперона ­ Менделеева

 . (1)

 2. Из уравнения (1) следует, в частности,
что давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре, поэтому чтобы
увеличить давление азота в 10 раз необходимо довести его температуру до 3000 К.

 
1.2.21. Начальная температура помещения объёмом V = 100 м3 составляла t1 = 0 0C,
затем температуру повысили до t2 = 27 0C. Как при этом изменится масса воздуха
в помещении, если во время процесса нагревания давление было постоянным р0 = 0,1
МПа?

 Решение

 1. В соответствии с уравнением состояния идеального
газа при нагревании объём газа увеличивается, объём же помещения остается постоянным,
поэтому при сообщении помещения с атмосферой, часть нагретого воздуха должна выйти.

 2. Запишем два уравнения состояния воздуха в комнате при условии постоянства
объёма и давления

   (1)

где m1 ­ масса воздуха в холодном помещении,
m2 ­ в натопленном помещении.

 3. Выразим из уравнений (1) массы

 
  (2)

и найдём их разность

 .

 
1.2.22. Сколько молекул воздуха покидает комнату объёмом V = 100 м3 при изменении
температуры от t1 = 0 0C до 27 0С? Атмосферное давление равно p0 = 0,1 МПа

 
Решение

 1. Как следует из решения предыдущей задачи, при указанном нагревании
помещение покидает Dm = 11,8 кг воздуха.
Количество молекул определим, воспользовавшись определением количества вещества
n

 . (1)

 1.2.23. К рычагам точных лабораторных весов
подвешены два одинаковых сосуда. Один из них заполнен сухим воздухом, а второй
­ влажным. Какой сосуд окажется тяжелее?

 Решение

 1. Равные объёмы
при одинаковых температурах и давлениях содержат одинаковое число молекул, таким
образом, во втором сосуде часть молекул воздуха заменена молекулами воды.

 
2. Масса газа в замкнутом объёме в заданной ситуации будет определяться молярной
массой. Сухой воздух, на 78 % состоящий из азота на 21 % из кислорода имеет молярную
массу m1 = 3×10
­ 3 кг/моль, в то время как, молярная масса воды m2
= 18 ×10 ­3 кг/моль, следовательно, сосуд с
сухим воздухом будет весить больше.

 1.2.24. По газопроводу с внутренним
радиусом r = 2 см течёт пропан (C3H8) при давлении 0,5 МПа при температуре t =
17 0С. За время t = 5 мин сквозь поперечное сечение трубы переместилось
m = 5 кг газа. Какова средняя скорость течения газа в трубопроводе?

 Решение

 
1.Запишем уравнение состояния газа, полагая его идеальным

 . (1)

 2. Выразим объём протекающего
за заданное время газа через скорость и площадь поперечного сечения

 . (2)

 3. Подставим значение
объёма из уравнения (2) в уравнение (1)

 .

Движение заряженных частиц в электрическом поле Электрон, обладающий нулевой
начальной скоростью, попадает в однородное электрическое поле напряжённостью Е
= 200 кВ/м. Какое расстояние пролетит, предоставленный самому себе электрон за
время = 1 нс? Какой скорости он достигнет?

Источник

В.Л.БУЛЫНИН,
ЦО № 17 ЦАО, г. Москва

Согласно школьной программе, законы
гидростатики изучаются лишь в 7-м классе,
возвращение к их изучению и закреплению в
дальнейшем не предусмотрено. Тем не менее задачи
на гидростатику относятся к весьма трудным и,
если в старших классах не было решено достаточно
подобных задач, то на вступительных экзаменах в
технические вузы ученик может столкнуться с
очень серьёзными, а то и непреодолимыми
трудностями. Предлагаемая подборка задач имеет
своей целью дать школьнику и преподавателю
физики представление об уровне сложности
материала по этой теме.

Читайте также:  Компьютер и сосуды организма

Задача 1 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Плотность раствора соли с глубиной меняется по
закону = 0 + Ah, где 0 = 1 г/см3, А =
0,01 г/см4. В раствор опущены два шарика,
связанные нитью такой длины, что расстояние
между центрами шариков не может превышать L = 5 см.
Объём каждого шарика V = 1 см3,
массы m1 = 1,2 г и m2 = 1,4 г.
На какой глубине находится каждый шарик?

Решение.

В силу симметрии шариков относительно
горизонтальной плоскости, пороходящей через их
центры, сила Архимеда для каждого шарика равна gV, где – плотность жидкости на
уровне центра шарика. Запишем условие равновесия
для каждого из шариков и сложим уравнения:

где

Объединяя все уравнения, находим:

h2 = h1 + L.

Подставляя числовые данные, получаем:

h1 = 27,5 см; h2 = 32,5 см.

Задача 2 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
В водоёме укреплена вертикальная труба с поршнем
так, что нижний конец её погружён в воду. Поршень,
лежавший вначале на поверхности воды, медленно
поднимают на высоту H = 15 м. Какую
работу пришлось на это затратить, если площадь
поршня 1 дм2, атмосферное давление p0 = 105 Па?
Массой поршня пренебречь.

Решение. Сила, которую надо
прикладывать к поршню, линейно возрастает от 0 до Fmax = pS.
Зависимость этой силы от высоты столба поднятой
воды равна F(h) = ghS, где – плотность воды, h – высота столба
поднятой воды, S – площадь поршня.

Максимально возможная высота столба
воды, поднятой таким способом, h1 = 10 м,
при этом gh1 = p0.
График зависимости F = F(h)
изображён на рисунке. Очевидно, что работа по
подъёму поршня равна площади трапеции под
графиком F(h):

Подставив числовые данные, получаем A = 104 Дж.

Задача 3. Льдина площадью
1 м2 и толщиной 0,4 м плавает в воде.
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы
полностью погрузить льдину в воду? Плотность
льда 900 кг/м3, g = 10 м/с2.

Решение. Пусть в исходном
состоянии h – глубина погружения плавающей
льдины. Запишем условие равновесия и следствия
из него:

где в,
л –
плотности воды и льда соответственно, Vпогр
– объём погружённой части льдины, V – её
полный объём, Н – толщина льдины, h
толщина погружённой части.

При погружении льдины сила нажима
линейно возрастает от нуля до Fmax,
совершая работу

Задача 4. Бетонная однородная
свая массой m лежит на дне водоёма глубиной h,
большей, чем длины сваи l. Привязав трос к
одному концу сваи, её медленно вытаскивают из
воды так, что центр тяжести сваи поднимается на
высоту H от поверхности воды (H > l).
Какая работа совершается при подъёме сваи?
Плотность бетона в n раз больше плотности
воды. Силами сопротивления пренебречь.

Решение

1-й способ. Разобьём работу на три
этапа:

  • Подъём верхнего конца сваи до
    поверхности воды:

– центр тяжести поднимается на высоту

– сила натяжения троса постоянна и
равна mg – FA;

– работа (плотность бетона, по условию, в n
раз больше плотности воды).

  • Подъём сваи на высоту l – такую,
    чтобы нижний конец сваи касался поверхности
    воды:

– сила натяжения троса линейно
возрастает от mg – FA до mg, и
работа этой силы равна

  • Наконец, подъём центра тяжести на
    высоту H над поверхностью воды:

– сила натяжения троса постоянна и
равна mg;

– работа (на высоту центр тяжести уже был поднят на
предыдущем этапе).

  • Общая работа A = A1 + A2 + A3:

2-й способ. Применим закон
сохранения энергии. Работа равна изменению
энергии системы свая–вода. Потенциальная
энергия сваи возросла на mg(H + h).
Потенциальная энергия воды уменьшилась на – вода из верхнего
слоя водоёма опустилась на дно и заняла объём,
прежде занятый сваей. Отсюда:

Задача 5 (МГТУ им. Н.Э.Баумана). В
сосуде находятся три несмешивающиеся жидкости
плотностями (сверху вниз) , 2 и 3. Толщина этих слоёв
Н/3, H и H соответственно. На дне
сосуда лежит стержень из материала плотностью 6, массой m,
длиной H. Какую работу надо совершить,
поднимая стержень за один конец вертикально,
чтобы его верхний торец коснулся поверхности
жидкости плотностью ? Толщиной стержня пренебречь. Трение
отсутствует.

Решение

Пусть V – объём стержня, A1
– работа по подъёму стержня в жидкости
плотностью 3 в
вертикальное положение (подъём центра масс на
высоту H/2):

При перемещении стержня из жидкости
плотностью 3 до
верхнего уровня жидкости плотностью 2 сила линейно изменяется
от При этом
центр тяжести стержня перемещается на высоту H.
Следовательно, работа равна:

Читайте также:  Методы испытания сосуды под давлением

A3 – работа по подъёму части
стержня длиной
внутри жидкости плотностью 2 (при этом нижний конец стержня и
соответственно центр тяжести этой части стержня
поднимается на ):

A4 – работа по перемещению
части стержня длиной из жидкости плотностью 2 в жидкость плотностью :

Полная работа равна:

A = A1 + A2 + A3 + A4
=

где –
масса стержня.

Задача 6. Акселерометр
представляет собой изогнутую под прямым углом
трубку, заполненную маслом. Трубка располагается
в вертикальной плоскости, угол При движении трубки в
горизонтальном направлении с ускорением a
уровни масла в коленах трубки соответственно
равны h1 = 8 см и h2 =
12 см. Найдите величину ускорения a.

Решение

Рассмотрим сосуд с жидкостью
(аквариум), который движется в горизонтальном
направлении с ускорением a. При
таком движении поверхность жидкости составляет
угол с
горизонтальной плоскостью, такой что

Такой же перепад высот имеет и
жидкость в трубке акселерометра, движущегося с
тем же ускорением. Получаем l = h2 + h1,

т.к., по условию,  = 45°.

Задача 7 (НГУ). Вертикальный
цилиндрический сосуд радиусом R, частично
заполненный жидкостью, вращается вместе с
жидкостью вокруг своей оси. 

К боковой стенке сосуда на нити длиной l
привязан воздушный шарик радиусом r; во
время вращения нить образует со стенкой угол . Найдите угловую
скорость вращения сосуда.

Решение

Задача 8 (МГТУ им. Н.Э.Баумана).
Цилиндрический сосуд с жидкостью плотностью вращается с
постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО1.
Внутри сосуда к оси OO1 в точке A
прикреплён тонкий горизонтальный стержень AB,
по которому без трения может скользить муфта в
виде шара радиусом r. Шар связан с концом A
стержня пружиной жёсткостью k, длина которой
в нерастянутом состоянии равна L0.
Определите расстояние до центра шара от оси
вращения, если плотность материала шара в четыре
раза меньше плотности жидкости.

Решение

Направим ось X по направлению
стержня AB, а ось Y по вертикальной оси OO1.
По условию задачи, перемещение шара возможно
лишь вдоль стержня. Так как плотность шара меньше
плотности жидкости, составляющая силы Архимеда
вдоль оси X больше составляющей силы mgэфф,
и шар будет вытесняться жидкостью к оси вращения,
сжимая пружину. Исходное положение центра шара L0 + r.
Пусть во время вращения центр шара находится на
расстоянии x от оси, при этом пружина сжата
на величину L0 + r – x.
Уравнение движения шара массой m по
окружности радиусом x с угловой скоростью имеет вид m2x = Fц,
где сила Fц – результат сложения
горизонтальной составляющей силы Архимеда и силы упругости
сжатой пружины: Fупр = k(L
+ rx).

Если –
плотность материала шара, то

Отсюда получаем:

По условию, В итоге получаем ответ:

Задача 9 (НГУ). Цилиндрический
космический корабль радиусом R вращается
вокруг своей оси с угловой скоростью . Бассейн в корабле имеет
глубину H, а дном бассейна служит боковая
стенка корабля. Определите плотность плавающей в
бассейне палочки длиной l < H,
если из воды выступает её верхняя часть длиной .

Решение

Во вращающейся неинерциальной системе
отсчёта роль силы тяжести играет центробежная
сила инерции Fц = m2r, где r
расстояние элемента массы m от оси вращения.
Центр масс погружённой части палочки находится
от оси вращения на расстоянии

Сила Архимеда, действующая на
погружённую часть палочки длиной l – , равна FA
= ж2rц(l
– )S, где ж – плотность
жидкости (воды), S – площадь поперечного
сечения палочки.

Центр масс всей палочки находится от
оси вращения на расстоянии

Условие плавания палочки: P = FA,
где P – вес палочки.

где –
плотность палочки;

Приравняв P и FА,
находим плотность палочки:

Вячеслав Леонидович Булынин окончил
физический факультет Ленинградского
государственного университета в 1964 г. и по 1992
г. работал в научно-исследовательских институтах
в области прикладной сверхпроводимости. С
1993 г. преподаёт в школе физику, астрономию,
математику; педагогический стаж 15 лет. Учитель
высшей квалификационной категории, методист ЦО
№ 17. Автор двух пособий по физике, изданных
«Континентом-Пресс» в 2004 г.: «Физика. Тесты и
задачи» и «Физика. Пособие для подготовки к
государственному экзамену». Женат, имеет двух
дочерей.

Источник

Это уже старинная интернетовская задачка. Сколько не выкладывали эту задачу на разных ресурсах в разное время, столько разных ответов вы там можете найти. Хотя все уже давно пришли к единому и научнообоснованному варианту. Или нет?

Давайте уж выясним окончательно, какая сторона весов перевесит и опустится правая или левая?

Какая чаша весов перевесит?

Вот самые популярные ответы:

1. Весы наклонятся налево потому что:

– слева вес равен давлению столба жидкости на дно ёмкости + вес шарика , а справа вес равен только давлению столба жидкости .
соответственно при заданных условиях вес слева будет больше веса справа .

– Налево по идее. Потому что стальной шарик подвешен, дна не касается. Значит справа давит только вода. А слева маленькое преимущество дает шарик

– Левый стакан тяжелее, там в системе, кроме воды и стакана – еще и шарик. Для него можно рассматривать вариант без нити, с шариком плавающим на поверхности.

– Зачем рассматривать то что творится в колбах. Достаточно знать, что колбы одинаковые, в них налито равное количество воды, но в одной колбе находится еще и шарик для пинг-понга, в то время как во второй ничего. Если бы опора металлического шарика находилась на чаше весов то перевес бы был со стороны металлического шарика. В данном случае перевесит колба с легким шариком.

– Металлический шарик никак не влияет на массу стакана. Значит, масса левой чашки весов будет больше на массу шарика для пинг понга

2. Весы наклонятся направо, потому что:

– Вода толкает шарик вверх, сама отталкиваясь от него вниз. Слева действие выталкивающей силы компенсируется силой натяжения нити.

– представим пустую ванну (для простоты будем считать, что она пластиковая и ничего не весит).
В ванну лег человек весом 100 кг. Сколько будет весить ванна? 100 кг.
Теперь нальем туда 100 литров воды. Сколько будет весить ванна? 200 килограмм.

Теперь подвесим человека на тросе, так что-бы он остался в воде. Весь-ли вес человека придется на трос? Нет, на трос придется часть веса, потому-что в воде он стал легче. Предположим, что объем человека – 50 литров, соответственно в воде он весит на 50 кг меньше.
Соответственно, на тросе повиснет 50 кг. Значит в ванне останется на 50 кг меньше. Значит ванна будет весить 150 кг.

А левая чашка… нет разницы плавает там шарик или брошен на воду – там изменится только форма воды, а вес увеличиться на вес этого пластикового шарика.


Правая чашка весов:
После погружения стального шарика в воду, его вес (сила действующая на нить, на которой он висит) уменьшилась на вес вытесненной им воды. Компенсировать это изменение веса можно только за счёт увеличение веса стакана с водой.

Левая чашка весов:
Подъём уровня воды из-за погружённого в воду шарика (весом которого можно пренебречь) равносилен тому, что вода находится просто в более узком сосуде. Никакого изменения веса стакана не происходит.


1. Шарики одинаковы по объему и вытесняют одинаковое количество воды.
2. Тяжелый шарик никак жестко не привязан к сосуду с водой. Следовательно вес сосуда, определяется только фактическим объемом воды находящейся в нем и объемом воды вытесняемой шариком.
3. Легкий шарик жестко привязан к донышку сосуда. Шарик полый и на него действует выталкивающая сила, действующая и на сосуд по жесткой связи. Следовательно вес сосуда, определяется фактическим объемом воды находящейся в нем, объемом воды вытесняемой шариком и силой выталкивания, направленной в противоположную сторону.

При одинаковом объеме воды, сосуд с легким шариком весит меньше…

– Чаша со стальным шариком перевешивает на величину вес воды вытесненной шариком, остальной вес воспринимает подвес.

3. Система будет в равновесии:

– Равновесие. Железо не давит на рычаг, полый шар почти что тоже, объём воды в одинаковых стаканах одинаков.

– На пинг-понг действует архимедова сила но она уравновешена натяжением нити, в итоге не влияет на весы. Стальной шарик просто подвешен на внешней опоре и тоже не влияет на весы. Объем шариков не играет роли, даже если они будут разного диаметра это не нарушит равновесия. Главное одинаковый объем воды.

АПД: Кстати вот опрос в посте через час после публикации:

Не думал, что ситуация настолько неоднозначная…

Опыты:

Ну вот еще:

Кто объяснит без формул почему весы все же отклонятся вправо:

Вот вам еще несколько задачек :  вот такая задачка про весы и вот такой Парадокс :муравей на резиновом тросе плюс еще Парадокс колеса. Вот тут мы Разоблачали ! Можно ли пройти этот лабиринт ?

Источник