На дне глубокого сосуда лежат спокойно n шаров

На дне глубокого сосуда лежат спокойно n шаров thumbnail

1 На дне глубокого сосуда Лежат спокойно n шаров. Поочередно их оттуда Таскают двое дураков. Сия работа им приятна, Они таскают t минут, И, вынув шар, его обратно Тотчас немедленно кладут. Ввиду занятия такого, Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул k? В. П. Скитович

2 Испытание, в результате которого ожидается наступление интересующего нас события, можно многократно повторять. Главный вопрос каждого повторения – произойдет или не произойдет это событие? А во всей серии повторений важно знать, сколько именно раз оно может произойти или не произойти. Например, какова вероятность, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил подобные вопросы в единую вероятностную схему, которую принято называть схемой Бернулли.

3 27 декабря 1654, Базель, 16 августа 1705, там же швейцарский математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года).

4 Рассматривают n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна p, а вероятность неудачи равна q. Известна формула – p+q=1. Требуется найти вероятность P n (k) того, что в этих повторениях произойдет ровно k «успехов».

5 При n независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами более кратко говорят как об n испытаниях Бернулли

6 Вероятность P n (k) наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле P n (k)=C k p k q n-k, где p – вероятность «успеха», а q=1-p – вероятность неудачи в отдельном испытании. n

7 Каждый из 4 приятелей выучил ровно 5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что: а) каждому достался тот вопрос, который он выучил; б) никому не достался вопрос, который он выучил; в) только одному достался вопрос, который он не выучил; г) хотя бы одному достался вопрос, который он выучил.

8 Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей одинакова: она равна 5/20=0,25. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с n = 4 испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p=0,25. а) В этом случае k=n=4 и поэтому P 4 (4)=C 4 p 4 q 4-4 =0,25 4 0,004. б) В этом случае k=0 и поэтому P 4 (0)=C 0 p 0 q 4-0 =0,75 4 0,316. в) Здесь k=3 и поэтому P 4 (3)=C 3 p 3 q 4-3 =4*0,25 3 *0,75 0,047. г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т.е. что произошло k=0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 1-P 4 (0)=1-0,75 4 0,

9 Найти вероятность того, что при десяти бросаниях игрального кубика «четверка» выпадет ровно три раза

10 В данном примере формула Бернулли доказывается, а не применяется для вычислений. В данном примере n=10, k=3, а «успех» состоит в выпадении «четверки» при одном бросании, поэтому p=1/6, q=5/6. Обозначим А 123 событие, состоящее в том, что «четверка» выпадет только при первом, втором и третьем бросаниях. Вероятность этого события: P(A 123 )=N(A 123 )/N. По правилу умножения при 10 независимых бросаниях кубика имеется N=6 10 равновозможных исходов. Найдем N(A 123 ), т.е. количество тех исходов, в которых наступает событие A 123. Для первых трех бросаний имеется по одному возможному исходу, а для всех остальных бросаний имеется ровно по 5 исходов: может выпасть 1, 2, 3, 5 или 6. По правилу умножения получаем, что N(A 123 )=1*1*1*5*5*…*5=5 7. Значит, P(A 123 )=N(A 123 )/N=5 7 /6 10 =(1 3 *5 7 )/(6 3 *6 7 )=(1/6) 3 *(5/6) 7 =p 3 q 7.

Читайте также:  Для сосудов от арго

11 Обозначим A 279 событие, состоящее в том, что»четверка» выпала только при втором, седьмом и девятом бросаниях кубика. Вероятность P(A 279 ) находится точно так же, как и вероятность P(A 123 ). Такой же ответ получается и для событий A 134, A 458, A 567, …, и для любого события A xyz, состоящего в том, что «четверка» выпала именно при бросаниях с номерами x, y, z. Все события A xyz между собой попарно несовместны. Вероятность P(A xyz ) каждого из событий A xyz равна p 3 q 7. Количество этих событий равно количеству выборов трех номеров из 10 данных без учета порядка, т.е. равно С 3. По теореме суммы для нахождения вероятности несовместных событий получаем: P(A)=p 3 q 7 + p 3 q 7 + … + p 3 q 7 =C 3 p 3 q 7. C 3 раз 10

12 Таблица распределения вероятностей числа «успехов» в n испытаниях Бернулли. … 012 qnqn npq n-1 C 2 p 2 q n-2 k C k p k q n-k n-1n np n-1 qpnpn nn

13 Если сложить все числа второй строки предыдущей таблицы, то получится 1: 1=C 0 q n +C 1 pq n-1 +…+C k p k q n-k +…+C n-1 p n-1 q+C n p n. Можно отметить, что данное равенство есть частный случай формулы бинома Ньютона: (q+p) n = C 0 q n +C 1 pq n-1 +…+C k p k q n-k +…+C n-1 p n-1 q+C n p n По этой причине распределение числа «успехов» в испытаниях Бернулли по вероятности их наступления, как правило, называют биномиальным распределением. nnnnn nnnnn

14 Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок производит независимо 5 выстрелов. Составить таблицу распределения вероятностей числа попаданий. Найти вероятность того, что стрелок ни разу не промахнется.

15 По условию, n=5; p=0,4; q=0,6; k=0,1,2,3,4,5: P 5 (0)=C 0 p 0 q 5 =0,6 5 0,078; P 5 (1)=C 1 pq 4 =5*0,4*0,6 4 0,259; P 5 (2)=C 2 p 2 q 3 =10*0,4 2 *0,6 3 0,346; P 5 (3)=C 3 p 3 q 2 =10*0,4 3 *0,6 2 0,23; P 5 (4)=C 1 p 4 q=5*0,4 4 *0,6 0,077; P 5 (5)=C 5 p 5 q 0 =0,4 5 0, ,0780,2590,3460,230,0770,

16 «Ни разу не промахнется» – это значит, что стрелок поразит мишень все 5 раз, т.е. k=5. Из таблицы следует, что Вероятность примерно равна 0,01. таблицы

17 Сведения, собранные в таблице предыдущей задачи можно изобразить на графике x y ,1 0,2 0,3 0,4

18 Ломаную, соединяющую отмеченные на графике точки, называют многоугольником распределения.

19 Последовательность чисел P n (0), P n (1), P n (2),…, P n (k),…, P n (n-1), P n (n) сначала возрастает, а затем, приняв наибольшее значение, убывает. Только в некоторых специальных случаях наибольшее значение достигается не для одного, а для двух соседних значений k. Можно доказать, что вероятность P n (k) принимает наибольшее значение при значении k, равном ближайшему к np-q справа целому числу. Если же само число np- q целое, то наибольшее значение вероятность принимает для двух значений k: для k=np-q и для k=np+p.

20 Найти наивероятнейшее число выпадений решки при: а) 100 бросаниях монеты; б) 1001 бросании монеты.

21 а) В данном случае n=100, p=q=0,5. Тогда число np-q=100*0,5-0,5=49,5 – не целое. Ближайшее к нему справа целое число равно 50. Оно равно половине числа всех бросаний и является наивероятнейшим числом выпадений решки. б) в данном случае n=1001, p=q=0,5. Тогда число np-q=1001*0,5-0

22 Наиболее вероятное число «успехов» в n испытаниях Бернулли приближенно равно np, где p – вероятность «успеха» в отдельном испытании. Например, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1, а вы провели 143 повторения этого испытания, то наивероятнейшее число «успехов» равно 143*0,114. При таком грубом подсчете ошибка возможна, но она невелика.

Читайте также:  Рецепты чеснока для сосудов

23 Для того, чтобы найти наивероятнейшее число k наивер. «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха» равной p, следует: 1) вычислить число np; 2) от числа np на координатной прямой отложить q влево и p вправо; 3) целое число, лежащее на отрезке [np- q;np+p] единичной длины, и будет равно k наивер. ; если таких целых чисел 2, то k наивер. может равняться любому из них.

24 Кузнецов Игорь ученик 11 Б класса МОУ «Гимназия 11»

25

Источник

Зашли братья в харчевню «Y с волной», разговорились с хозяйкой, толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город. Устроил как-то правитель Дивграда великий Тензор IV инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Такого бала еще не было в его области определения. Приехал на бал граф Икс в самосопряженной коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки X-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце «Па dt». Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты и след простыл. Как показало следствие из теоремы о монодрамии, ее похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи.

Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться силами со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тэйлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжелые граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю накрестлежащую область, населенную псевдовекторами, где господствовало классовое неравенство Коши-Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: «Направо пойдешь – в бесконечность уйдешь. Налево пойдешь – координат не соберешь. Прямо пойдешь – транспонируешься». Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись – старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран. «Знаю, братья, я вашу думу. Тяжелое дело вы замыслили. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел – простой, второй – морской, третий – логарифмический. А полином тот растет в изолированной точке и добраться до нее нелегко. Лежит она за 3 + 9 земель в пространстве хана Банаха. И охраняет ее чудище с трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот детерминант надо достать и приравнять нулю».

Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают, как им быть – не знают. Вдруг откуда ни возьмись – сигма-рыба. «Вот и пригодилась я вам, добрые молодцы!» Перевезла их всех, объяснила дорогу дальше.

Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Да предстал перед ними малый параметр. «Вот и пригодился я вам, братья!». Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону. «А теперь, – говорит им параметр, – идите по следам матриц, прямо до изолированной точки».

Читайте также:  Что попадает под сосудов под давлением

Отыскали братья следы, смотрят – расходятся они на три стороны. Отправились они каждый по своему направлению. Шел-шел I1 – вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орты хана Банаха, все, кроме, быть может, одного, одетые в жорданову форму, подстриженные под скобку Пуассона. «Эх, – опечалился вектор, – нет со мной моих любимых братьев! Да ничего, I1 в поле воин!» – и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.

Вдруг задрожало все вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья, накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудище. Издохло.

Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант… да и приравняли его нулю.

Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица Резольвента, живая и невредимая.

…Что и требовалось доказать.

Примечание 1

Сказка написана для случая n0 = 3. Пользуясь методом полной математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай любого n > n0.

Примечание 2

Обратное, вообще говоря, неверно.

(Напечатано в газете «За науку» Московского физико-технического института, №8 и 9, 1961)

4. «Дурацкая» задача

Автор этой забавной псевдозадачи по теории вероятностей, похоже, все тот же неутомимый В. П. Скитович, написавший песню «Раскинулось поле по модулю пять» (см. выше).

На дне глубокого сосуда

Лежат спокойно n шаров,

Поочередно их оттуда

Таскают двое дураков.

Сие занятье им приятно,

Они таскают m минут

И, взявши шар, его обратно

В сосуд немедленно кладут.

Ввиду условия такого

Сколь вероятность велика,

Что первый был глупей второго,

Когда шаров он вынул k?

(Цит. по книге: Лунгу К. Н. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс, под. ред. С. Н. Федина, 5-е изд. М., 2007.)

5. Теперь не забудешь!

Впервые я услышал эту двусмысленную «запоминалку» для первокурсников в конце 70-х годов прошлого века. Так что ей никак не меньше 30 лет.

Как у ряда Маклорена

Нет остаточного члена,

У Лагранжа и Коши

Члены очень хороши!

6. Все тот же Маклорен

Вспоминается отрывок из песни Бориса Бурды на сходную тему.

Смертельно уставши,

Полсессии сдавши,

Студенты идут и беседу ведут:

«Есть слухи, что скоро

Сдавать ряд Тейлора,

А кто не ответит – капут!»

Вдруг все изменилось:

Их взору открылось,

Как, прямо навстречу, учен и смирен,

С большим, как полено,

Остаточным членом

Под мышкой бредет Маклорен.

7. Древнегреческое ругательство

Мало кто из преподавателей ныне знает древнегреческий алфавит, повсеместно используемый в математических выкладках. Что уж говорить про студентов! Это забавное древнегреческое «троебучие», складывающееся в презрительное «Фи, психи!», поможет хотя бы частично заполнить пробелы в их знаниях.

8. Теорема об изоморфизме

Гомоморфный образ группы

по законам коммунизма [121]

Изоморфен фактор-группе

по ядру гомоморфизма!

9. Третья лишняя

Следующую шутку про трех студенток МГУ знают, наверное, все, кто учился в этом славном вузе.

Идут три девушки:

Две красивые, а одна с мехмата,

Две умные, а одна с филфака, [122]

Две трезвые, а одна с химфака.

6. Всяко разно

Аксиома – это истина, на которую не хватило доказательств.

В. Хмурый

Источник