На дне сосуда маленькое отверстие

Тема. Решение задач по теме “Гидростатика и гидродинамика”.

Цели:

• – рассмотреть основные приемы решения расчетных задач на тему “Гидростатика и гидродинамика”.

Ход занятия

В ходе проведения занятия необходимо рассмотреть ряд качественных задач и далее решить несколько расчетных задач.

Прежде чем приступить к выполнению задания, следует повторить основные законы гидромеханики.

Основной закон гидростатики – закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление жидкости в данной точке не зависит от ориентации площадки, на которую она действует.

Поскольку в школьном курсе рассматривается стационарное течение несжимаемой жидкости, то будет справедливо уравнение неразрывности струи.

Качественные задачи

1. К концам равноплечного рычага подвесили две одинаковые гири. Что произойдет, если одну гирю поместить в воду, а другую в керосин?

   Ответ: равновесие нарушится.

2. Почему, если близко стоишь около быстро идущего поезда, возникает эффект “притягивания” к колесам?

   Ответ: проходящий поезд увлекает за собой примыкающие к нему слои воздуха. Воздух, движущийся между человеком и поездом, оказывает на него меньшее давление, чем неподвижный. Эта разность давлений и обусловливает силу, увлекающую человека к поезду.

3. При испытании реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты его от нападения сзади, был обнаружен удивительный факт: при пуске снаряд разворачивался и догонял свой самолет. Как можно объяснить это явление?
4. Проделайте эксперимент. Вложите в воронку бумажный фильтр (рис. 1) и попробуйте выдуть его через узкий конец воронки. У вас не получилось? Почему?

   Ответ: чем сильнее вы вдуваете воздух, тем плотнее фильтр входит в воронку. Объясняется это с помощью закона Бернулли, согласно которому давление понижается в местах сужения. В узком просвете между воронкой и бумажным фильтром давление понижается, и внешнее атмосферное давление удерживает фильтр в воронке.

Примеры решения расчетных задач

Задача 1. Из отверстия в дне высокого сосуда вытекает вода. Сечение сосуда S1, сечение струи S2 (рис. 2). Найдите ускорение, с которым перемещается уровень воды в сосуде.

Решение:

Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда для каждого момента времени, согласно уравнению неразрывности струи, можно записать

S1v1 = S2v2, (1)
где v1 – скорость воды в сосуде, v2 – скорость воды в струе вблизи отверстия.
Возьмем производную по времени от (1)

,
где – ускорение воды в сосуде, – ускорение свободного падения, так на выходе из сосуда вода начинает свободно падать. Таким образом,

.

Задача 2. В сосуде с жидкостью сделано отверстие площадью S. Размеры отверстия малы по сравнению с высотой столба жидкости. В одном случае отверстие закрыто пластинкой и измеряется сила давления жидкости на пластинку F1 при высоте столба жидкости h (рис. 3). В другом случае тот же сосуд стоит на тележке, отверстие открыто, и измеряется сила отдачи F2 при установившемся токе жидкости в момент, когда высота столба жидкости будет та же, что и в первом случае. Будут ли силы F1 и F2 равны?

Решение:

Согласно закону Паскаля давление на жидкость передается во всех направлениях одинаково, поэтому в первом случае давление, производимое на пластинку жидкостью, равно гидростатическому давлению столба жидкости высотой h, а значит, F1 = ρghS , где ρ – плотность жидкости.

Во втором случае сила F2 согласно второму закону Ньютона равна изменению импульса жидкости в единицу времени

.
Изменение импульса Δp = Δmv , где Δm – масса жидкости, вытекающей в единицу времени, v – скорость истечения жидкости из отверстия.

Масса вытекающей жидкости Δm = ρgS, скорость истечения согласно формуле Торричелли . Следовательно,

F2 = ρv2S = 2ρghS.

Таким образом, F2 = 2F1 . Объяснить это можно так. Когда жидкость вытекает из малого отверстия, линии тока вблизи него сгущаются, а значит, как следует из уравнения Бернулли, давление на стенку вблизи отверстия уменьшается. Поэтому сила реакции вытекающей струи оказывается больше силы статического давления на площадь отверстия.

Задача 3. Из крана выливается вода. Начиная с некоторого места, диаметр струи уменьшается на протяжении h от а до b (рис. 3). Сколько воды вытечет из крана за время t?

Решение:
Воспользуемся условием стационарности течения несжимаемой жидкости

. (1)
Для идеальной жидкости справедливо уравнение Бернулли:

.
Поскольку жидкость свободно падает, то давления в обоих сечениях одинаковы, и уравнение Бернулли принимает вид:

. (2)
За время t через любое сечение протекает один и тот же объем воды, поэтому можно записать

. (3)
Выразим скорость v1 из (1) и (2):

.
Подставим полученное значение v1 в (3) и получим окончательный ответ:

.

Задача 4. Площадь поршня в шприце S1 = 2 см2, а площадь отверстия S2 = 1 мм2 (рис. 4). Сколько времени будет вытекать вода из шприца, если действовать на поршень с силой F = 5 H и если ход поршня l = 5 см?

Решение:

Так как из шприца вытечет вся находившаяся в нем жидкость, то

S1l = S2v2t, (5)
где v2 – скорость истечения струи. Будем считать жидкость идеальной, тогда можно использовать уравнение Бернулли:

.
Шприц расположен горизонтально, следовательно, h = const. Уравнение Бернулли тогда запишется следующим образом:

, (6)
где Ра – атмосферное давление, а v1 – скорость движения поршня. Из уравнения неразрывности следует

S1v1 = S2v2. (7)
Решая совместно уравнения (6) и (7), получим

,
отсюда

.
Подставляя найденное значение v2 в (5), получим

.
Так как S2S1 , то можно записать

.

Ответ:

Задачи для самостоятельной работы

1. “Вечерело. Уставший за нелегкий трудовой день Абдулла Ибн Сауд присел на берегу реки и стал обдумывать свой социальный статус. В колхоз не берут, кооперативы эмир разогнал, к нему самому на службу устраиваться – так стражники без золотых во дворец не пускают. Эх, жизнь… Но тут взгляд Абдуллы остановился: по реке плыл какой-то предмет, и лишь маленький кусочек сургуча был виден над водой. Абдулла бросился в воду и вытащил оттуда старинный глиняный кувшин, герметично закупоренный сургучом. Распечатав кувшин и перевернув его, Абдулла обомлел: сверкнуло золото. Из кувшина высыпалось 147 одинаковых золотых монет. Монеты Абдулла спрятал, а сосуд запечатал и бросил обратно в воду. Поплыл сосуд дальше, примерно треть его объема торчало над водой”.
   Так говорится в одной из восточных сказок. Предполагая, что кувшин был двухлитровый, оцените массу одной золотой монеты.

   Ответ: m = 4,45 г.

2. На некоторых железных дорогах пополнение паровозного котла водой производится без остановки паровоза. Для этой цели применяется изогнутая под прямым углом труба, которая опускается на ходу паровоза в канаву с водой, проложенную вдоль рельсов. При какой скорости паровоза вода может подняться на высоту 3 м?

   Ответ: v = 28 км/ч.

3. Из поднятого на высоту h резервуара выходит труба постоянного сечения S, переходящая в короткую трубу сечением S1, перекрытую краном. Найдите давление в магистральной трубе при открытом кране.

   Ответ: Р = Ратм + ρgh.

4. Определите расход воды Q, протекающей через слив плотины, имеющей ширину l, глубину потока d и понижение уровня потока по сравнению с уровнем воды в водохранилище, равное h.

   Ответ: Q = ρdl·√(2gh).

5. Какова примерно скорость катера, если при его движении вода поднимается вдоль его носовой части
   на высоту h = 1 м?

   Ответ: v ≈ √(2gh) ≈ 4,4 м/с.

6. На гладкой горизонтальной поверхности стоит цилиндрический сосуд с водой. В боковой стене сосуда у дна имеется отверстие площадью S0. Какую силу нужно приложить к сосуду в горизонтальном направлении, чтобы удержать его в равновесии? Площадь поперечного сечения сосуда равна S, высота столба жидкости h.

   Ответ: .

7. На поршень шприца площади S действует сила F. С какой скоростью v должна вытекать в горизонтальном направлении струя из отверстия иглы площади s? Плотность жидкости ρ. Трением пренебречь.

   Ответ: . Если s S, то .

Рекомендуемая литература

1. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Т. 1. Механика. – М.: Физматлит: Лаборатория базовых знаний; СПб.: Невский диалект, 2001. – С. 332-352.
2. Физика. Механика / Под ред. Г.Я. Мякишева. – М.: Просвещение, 1995. – С. 420-436.
3. Белолипецкий С.Н., Еркович О.С., Казаковцева В.А. и др. Задачник по физике. – М.: Физматлит, 2005. – С. 63-67.
4. Готовцев В.В. Лучшие задачи по механике и термодинамике. – М.; Ростов н/Д: Издательский центр “Март”, 2004. – С. 184-212.

Решебник

546. Одинаковую ли массу имеет чистый сухой воздух объемом 1 м3, взятый на первом этаже и в любой комнате на высоте 230 м здания Московского университета? Результаты поясните.
Масса воздуха объемом 1 м3 на высоте 230 м будет меньше массы воздуха такого же объема на первом этаже, гак как плотность с увеличением высоты уменьшается.

547. Ученик подсчитал, что за истекшие сутки масса воздуха, прошедшего через его легкие, составляет 15 кг. Какой объем при нормальном давлении и температуре занимает воздух, прошедший через легкие ученика? Сравните этот объем с объемом воздуха, заполняющего вашу комнату.

548. Почему при откачивании воздуха вода поднимается в трубке В, а не в трубке А (рис. 151)?
Поскольку сосуд В соединен трубкой с атмосферой давление в нем будет равно сумме атмосферного давления и давления столба жидкости, т.е. всегда больше атмосферного. Поэтому при откачивании вода будет подниматься в трубке В.

549. Почему не выливается вода из опрокинутой бутылки, если горлышко ее погружено в воду (рис. 152)?
Потому что давление, оказываемое столбом воды в бутылке, меньше атмосферного (рис.152)

550. Мальчик сорвал с ветки лист, приложил его ко рту, и, когда втянул воздух, лист лопнул. Почему лопнул лист?
Когда мальчик втянул воздух, давление в полости рта стало меньше атмосферного, и поэтому лист лопнул.

551. Пока кран К закрыт, вода из трубки не выливается (рис. 153). При открывании крана уровень воды в трубке опускается до уровня воды в сосуде. Почему?
При закрытом кране вода из трубки не выливается потому, что атмосферное давление больше, чем давление, создаваемое столбом жидкости в трубке. При открытии крана атмосферное давление действует также на столб жидкости в трубке. В результате вода выливается.

552. В некоторых тракторах горючее из бака к цилиндру двигателя поступает самотеком. Объясните, почему прекращается поступление горючего, если засорится специальное отверстие, оставляемое в пробке, закрывающей верхнее отверстие бака.
Если специальное отверстие в баке засорится, то бак перестает сообщаться с атмосферой. Таким образом, давление у выходного отверстия бака может оказаться меньше, чем давление оказываемое горючим, и оно перестает поступать к двигателю.

553. Вода из верхней пробирки (рис. 154) выливается. Почему при этом внутренняя пробирка поднимается кверху?
Объясняется это тем, что сила давления атмосферного воздуха, действующая внутри пробирки, превышает силу тяжести самой пробирки, сложенную с весом жидкости.

554. Сосуд «наказанное любопытство» устроен так: в дне сосуда проделаны узкие отверстия. Если сосуд наполнить водой и закрыть пробкой, вода из сосуда через отверстия не выливается. Если открыть пробку, то вода потечет из всех отверстий на дне сосуда. Объясните почему.
Когда пробка закрыта, давление столба жидкости в сосуде будет меньше атмосферного, и поэтому вода не будет выливаться. Как только мы откроем пробку, давление на дно будет складываться из атмосферного и давления столба жидкости в сосуде и станет больше атмосферного. В результате вода начнет выливаться через отверстия.

555. Удастся ли опыт Торричелли, если барометрическую трубку с ртутью поставить открытым концом не в чашку с ртутью, а в чашку с водой?
Нет. Ртуть выльется, и трубка заполнится водой.

556. Почему в жидкостных барометрах используют ртуть, а не воду?
Потому что плотность ртути заметно больше плотности воды.

557. Под колоколом воздушного насоса (рис. 155) находятся закрытый и открытый сосуды, соединенные стеклянной трубкой. В закрытом сосуде находится немного воды. Что произойдет, если воздух откачать из-под колокола воздушного насоса; вновь впустить под колокол насоса?
Если воздух из под колокола откачать, то вода из закрытого сосуда начнет переливаться в открытый, т.к. давление в закрытом сосуде будет больше. Если же воздух вновь пустить, то вода начнет переливаться из открытого сосуда в закрытый.

558. Высоту какого столба жидкости следует брать для расчета давления жидкости на дно сосуда (рис. 156)? Объясните почему.
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба воды в открытом сосуде, а не в перевернутой трубочке. В последней уровень воды выше за счет действия атмосферного давления на поверхность жидкости в открытом сосуде.

559. Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчете давления ее на дно сосуда (рис. 157)?
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба воды в открытом сосуде, а не в перевернутой трубочке. В последней сила давления воздуха и столба воды в трубочке уравновешивается силой атмосферного давления.

560. Какой высоты столб жидкости следует учитывать при расчете давления ее на дно сосуда (рис. 158)? Почему?
Для расчета давления жидкости на дно следует брать высоту столба жидкости в правом сосуде, так как давления воздуха и столба воды в левой трубке до уровня поверхности ее в открытом сосуде уравновешиваются атмосферным давлением.

561. а) Анероид показывает давление 1013 гПа. Определите, какая высота столба ртути соответствует этому давлению в трубке Торричелли, установленной вертикально, как показано на рисунке 159 (слева).
б) Почему, если трубку наклонить (рис. 159, справа), верхний уровень ртути в трубке относительно поверхности ртути в сосуде останется неизменным?

562. Ученик утверждал, что показания барометра за окном комнаты должны быть больше, чем в комнате, поскольку на улице на него действует значительно больший столб атмосферного воздуха. Докажите, что такое утверждение ошибочно.
Давления воздуха внутри и вне комнаты практически одинаковы. Если бы давление воздуха в комнате было меньше атмосферного, то воздух снаружи проникал бы в комнату до тех пор, пока давления не выровнялись бы.

563. В трубке, наполненной ртутью, отверстие А закрыто пробкой (рис. 160). Что произойдет, если вытащить пробку из отверстия?
Часть ртути, которая находится над пробкой, под действием атмосферного давления поднимется и останется прижатой к верхнему запаянному концу трубки, а остальная ртуть выльется в сосуд.

564. На рисунке 161 изображена схема простейшей модели анероида. Куда отклонится конец стрелки, если атмосферное давление увеличится; уменьшится?
Если атмосферное давление увеличится, то стрелка анероида отклонится вправо. Если атмосферное давление уменьшится, то стрелка анероида отклонится влево.

565. Пассажирские дальнемагистральные самолеты совершают перелеты на высоте больше 10 000 м. Зачем корпус самолета делают герметичным?
Самолеты делают герметичными потому, что на высоте порядка 10 км наружного воздуха очень мало, для того, чтобы им можно было нормально дышать.

566. Зачем космонавту нужен скафандр?
Скафандр необходим не только для дыхания, но и для защиты от космического облучения.

567. Изменится ли объем двух одинаковых мыльных пузырей (рис. 162), если, например, левую трубку опустить?
Если левую трубку опустить, то объем левого мыльного пузыря незначительно уменьшится, а правого незначительно увеличится. Объясняется это тем, что атмосферное давление внизу больше, чем вверху.

568. На рисунке 163 представлен один и тот же стратостат на различных высотах над Землей. Какому из положений стратостата соответствует большая высота подъема? На основании чего вы делаете свои выводы?
Большая высота подъема соответствует правому изображению стратостата, так как здесь давление наружного воздуха меньше, и в меньшей степени растягиваются канаты.

569. Можно ли для опыта Торричелли воспользоваться трубками, изображенными на рисунке 164? (Длина самой короткой из них 1 м.)
Да. Форма трубки значения не имеет, важно только, чтобы ее высота была больше 76см (рис. 164).

570. Больше или меньше атмосферного давление газа в сосуде (рис. 165)? Какова разница в давлении между газом в сосуде и наружным воздухом, если разность уровней ртути в манометре равна 7 мм?
Давление газа в сосуде меньше атмосферного на 7 мм.рт.ст.

571. Через отверстие А (рис. 166) насос откачивает воздух. Почему при этом жидкости поднимаются по трубкам? Почему уровень керосина выше уровней воды и ртути? Высота столба керосина 90 см. Чему равны высоты столбов воды и ртути?
Жидкости поднимаются по трубкам, так как давления воздуха в них меньше атмосферного. Уровень керосина выше уровней воды и ртути потому, что у него самая маленькая плотность (рис. 166).

572. В один и тот же час в течение нескольких суток учащиеся одной из школ Санкт-Петербурга отмечали атмосферное давление и по полученным данным построили кривую суточного изменения давления (рис. 167). Сколько дней велся учет давления? Какое самое малое давление было отмечено? Каким было самое большое давление? (Выразите эти давления в гектопаскалях.) Сколько дней давление было выше нормального? На сколько изменилось давление между седьмыми и восьмыми сутками?
Учет давления велся 16 дней. Было отмечено самое малое атмосферное давление, равное 750 мм рт.ст. = 1000 гПа, и самое большое, равное 770 мм рт.ст. = 1026 гПа. Шесть дней давление было выше нормального. Между седьмыми и восьмыми сутками давление увеличилось на 6 мм рт.ст., то есть на 8 гПа.

573. Рассчитайте силу, с которой воздух давит на площадь тетради, раскрытой перед вами книги. (Отличием температуры воздуха от 0 °С и высотой над уровнем моря пренебречь.)

574. Рассчитайте силу, с которой воздух давит на поверхность стола, который имеет длину 1,2 м, ширину 60 см (принимая атмосферное давление равным 105 Па).

575. Определите давление газа в баллоне (рис. 168) при нормальном внешнем атмосферном давлении. (В манометре находится ртуть.)

576. На какой высоте летит самолет-опылитель, если барометр в кабине летчика показывает 100 641 Па, а на поверхности Земли давление нормальное?

577. При входе в метро барометр показывает 101,3 кПа. Определите, на какой глубине находится платформа станции метро, если барометр на этой платформе показывает давление, равное 101674 Па.

578. Каково показание барометра на уровне высоты Останкинской телевизионной башни (540 м), если внизу башни барометр показывает давление 100 641 Па?

579. Рассчитайте давление атмосферы в шахте на глубине 840 м, если на поверхности Земли давление нормальное.

580. Определите глубину шахты, если на ее дне барометр показывает 109 297 Па, а на поверхности Земли — 103 965 Па.

581. У подножия горы барометр показывает 98642 Па, а на ее вершине — 90 317 Па. Используя эти данные, определите высоту горы.

582. Первый в мире выход из космического корабля в космическое пространство совершил А. Леонов. Давление в скафандре космонавта составляло 0,4 нормального атмосферного давления. Определите числовое значение этого давления.